2024年上海市浦东新区三校联考模拟数学试题（解析版）

2024学年浦东新区三校联考3月自适应性练习数学卷（满分：150分考试时间：100分钟）考生注意：1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊．4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负．5．本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）1.下列各数属于无理数的是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的定义．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合各选项进行判断即可．【详解】解：0，，都是有理数，是无理数，故选：C．2.图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，AB＝1，则CD的长为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解，求AB，BC，根据全等三角形的性质可得BD=AC，进一步可得结论．【详解】解：如图，在中，，AB＝1，∵∴∵∴∴故选：A【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确识别直角三角形边角关系是解答本题的关键．3.下列说法错误是（）A.“对顶角相等”的逆命题是真命题B.通过平移或旋转得到的图形与原图形全等C.“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件D.函数的图象经过点【答案】A【解析】【分析】根据平移、旋转的性质、对顶角的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、随机事件的概念判断即可．【详解】解：“对顶角相等”逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，A错误，符合题意；通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，B正确，不符合题意；“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，C正确，不符合题意；因为时，，所以函数的图象经过点，D正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4.抛物线与x轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与x轴相交于、两点，下列式子正确的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线与轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键．因为抛物线开口向下，所以抛物线向下平移，对称轴不变，与轴的两交点距离变短解答即可．【详解】解：抛物线与轴相交于、两点，抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点，抛物线的对称轴为直线，抛物线上下平移对称轴不变，，即，抛物线开口向下，将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴两交点间距离会变短，，故选：A5.在同一直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．【详解】解：∵，①若，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限，②若，则经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限，只有选项A符合题意，故选：A．6.如图1，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，AB＝2.4，BC＝3.4．动点M从点A出发，沿A→B→C→D→A匀速运动，到点A停止，设点M运动的路程为x，点M到四边形EFGH的某一个顶点的距离为y，如果表示y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么四边形EFGH的这个顶点是（）A.点E B.点F C.点G D.点H【答案】C【解析】【分析】利用分类讨论的方法可以判断四个选项是否正确，从而可以解答本题.【详解】解：由题意可得，从A到B的过程中，点M到点E的距离由1.2减小到0，再从0增加到1.2，不符合题意，故选项A错误；从A到B的过程中，点M到点F的距离由大变小，由B到C的过程中，点M到F的距离由1.7减小到0，再从0增加到1.7，与图象不符，故选项B错误；从A到B的过程中，点M到点G的距离由大变小，然后由小变大，由B到C的过程中，点M到G的距离一直变小，从C到D的过程中，点M到G的距离由1.2减小到0，再由0增加到1.2，从D到A的过程中，点M到G的距离一直变大，故选项C正确；从A到B的过程中，点M到点H的距离一直变大，不符合函数图象，故选项D错误；故选C．【点睛】本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.二．填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.计算：_____．【答案】【解析】【分析】本题考查的是二次根式的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.利用二次根式的加法法则计算即可.【详解】解：原式.故答案为：.8.若式子有意义，则实数x的取值范围是_____．【答案】x≤1且x≠-2【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，1−x≥0且|x|-2≠0，解得x≤1且x≠-2．故答案为：x≤1且x≠-2．【点睛】本题考查了代数式有意义：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是明确什么情况下代数式有意义．9.过，________．【答案】【解析】【分析】本题考查正比例函数图像上点的坐标特征，因为点在正比例函数图像上，故直接代入点的坐标，得到的方程，求解即可．利用正比例函数图像上点的坐标特征，列出的方程是解题的关键．【详解】解：∵过，∴．故答案为：．10.正n边形外角和为_________．【答案】##360度【解析】【分析】本题考查多边形的外角，熟知任何多边形的外角和是是正确解决本题的关键，利用多边形的外角和是即可得出答案．【详解】解：∵多边形的外角和是，正n边形外角和为，故答案为：．11.分解因式：=_________________________．【答案】【解析】【详解】解：==．故答案为．12.点P是外一点，分别与相切于点A，B，连结，已知的半径为1，，则劣弧的长为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了切线的性质，四边形内角和，求弧长等知识，掌握切线的性质是关键．先画出图形，由切线性质得，由四边形内角和得，由弧长公式即可求解．【详解】解：画图如下：分别与相切，，由四边形内角和得，则劣弧的长为；故答案为：．13.小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是_____．【答案】8【解析】【分析】由，可知这组数据为7、7、8、8、8、9，然后根据众数的定义求解作答即可．【详解】解：∵，∴这组数据为7、7、8、8、8、9，∴这组数据的众数为8，故答案为：8．【点睛】本题考查了方差，众数．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14.如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若DE＝2，则BC的长是______．【答案】6【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得，再根据DE=2，进而得到BC长．【详解】解：根据题意，∵，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DE＝2，∴，∴；故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质进行计算．15.已知向量与单位向量方向相同，且，那么________．（用向量的式子表示）【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解题的关键．根据“单位向量是指模等于1的向量”以及“向量同向意味着它们的方向角度相同”即可解答．【详解】解：∵向量与单位向量方向相同，，∴，故答案为：．16.如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解．【详解】，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得；当抛物线经过点时，此时，可得，此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意；当抛物线经过点时，此时，可得，此时关于对称轴对称点，不在线段上，符合题意；结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或；故答案为：或．17.如图，在矩形中，，，点E在上，且，将沿对角线翻折到，连接．则______．【答案】【解析】【分析】过F作，根据，可得，即可得到，从而得到，根据折叠得到，，即可求出，，根据，得到，即可得到，从而得到，，即可得到答案；【详解】解：过F作，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵沿对角线翻折到，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：；【点睛】本题考查矩形折叠，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据线段关系得到一些角度值，结合折叠得到等角转化，从而得到相应的线段的值．18.如图，过反比例函数（x＞0）图像上一点A作x轴的平行线，交双曲线（x＜0）于点B，过B作BCOA交双曲线y（x＜0）于点D，交x轴于点C，连接AD交y轴于点E．若OC＝3，则△AOE的面积是_____________．【答案】【解析】【分析】先连接OB，得到△AOB的面积|﹣3||6|，求得，由此得到A（2，3），B（1，3），再求直线OA的解析式为yx，可设直线BC为yx+b求得点D的坐标，然后求出直线AD的解析式，求出点E的坐标，进而求出OE的长度，最后用三角形面积公式求解．【详解】解：如图所示，连接OB，则△AOB的面积|﹣3||6|，由AB∥CO，AO∥BC，可得四边形ABCO是平行四边形，∴ABCO3，∴由AB×OF，可得OF3，在y（x＞0）中，令y3，可得x2，即A（2，3），在y（x＜0）中，令y3，可得x1，即B（1，3），由A（2，3）可得，直线OA的解析式为yx，可设直线BC为yx+b，则将B（1，3）代入可得3b，解得b，故BC为，解方程组，可得D（2，），设直线AD解析式为ymx+n，则将D（2，），A（2，3）代入可得，解得，∴AD解析式为，令x0，则y，即E（0，），∴OE的长为．△AOE的面积是．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积计算．解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．三．解答题（满分78分）19.计算：．【答案】【解析】【分析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】解：原式．20.解方程：【答案】无解【解析】【分析】方程两边都乘x-2得出1+3（x-2）=-（1-x），求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：方程两边都乘x-2，得1+3（x-2）=-（1-x），解得：x=2，检验：当x=2时x-2=0，所以x=2是原方程的增根，即原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．21.一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．（1）求点转动到点的路径长；（2）求点到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，）【答案】（1）；（2）点到直线的距离约为7.3cm．【解析】【分析】（1）根据题目中的条件，首先由，，求出，再继续求出，点转动到点的路径长，是以为半径，为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径；（2）求点到直线的距离，实际上是过点作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵，，∴．∵，∴．又∵，∴点转动到点的路径长．（2）如图，过点作于点，过点作于点．在中，．在中，．∴．又∵，∴点到直线距离约为7.3cm．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．22“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素材料一反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离．制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离．材料二汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据．材料三经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足．【任务一】①利用材料二判断最适合描述、分别与x的函数关系的是（）A．、B．、C．、②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与x的函数关系式．【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至少，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到）【答案】[任务一]①B；②，；[任务二]超速；[任务三]限速：【解析】【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是求函数的解析式；[任务一]①根据材料二分析判定即可；②，将，代入可求，将，代入可求；[任务二]，代入与作比即可；[任务三]如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可．【详解】解：[任务一]①根据材料二发现，随着速度的增大，有减少趋势，越来越大，且非线性变化，B选项合适；故选：B．②设，将，代入得：，解得：，∴，设，将，代入得，解得：，故；[任务二]超速，理由：，当时，∴超速；[任务三]要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为，∴，列式得，解得，故应限速．23.我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图，，则四边形为等邻角四边形．（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是．①平行四边形②矩形③菱形④等腰梯形（2）如图，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结，，且，求证：四边形为等邻角四边形．（3）如图，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由．【答案】（1）②④（2）证明见解析；（3），理由见解析【解析】【分析】（1）根据等邻角四边形的定义即可直接得出答案；（2）连接，证明，得出，从而得到，，即可证明四边形为等邻角四边形；（3）过点P作，证明得到，再由矩形得到，即可得出．【小问1详解】∵矩形和等腰梯形都有一组邻角相等，∴矩形和等腰梯形是等邻角四边形，故答案是：②④【小问2详解】证明：连接，∵垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∴四边形为等邻角四边形．【小问3详解】，理由如下：过点P作，垂足为F，∵，∴，∴，∵四边形为等邻角四边形，，∴，∵，∴，∴在和中，∴，∴，∵，，，∴四边形为矩形，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了新定义“等邻角四边形”，涉及线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，正确理解“等邻角四边形”的定义是解题的关键．24.小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数的自变量的取值范围是______；（2）下表是与的几组对应值．表中的值为______，的值为______；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的大致图象．（4）结合函数图象，请写出函数的一条性质：______；（5）解决问题：若关于的方程无解，直接写出的取值范围．【答案】（1）全体实数；（2），；（3）见解析；（4）当时，该函数有最大值；（5）或．【解析】【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；（3）根据描点法画函数图象，可得答案；（4）根据图象的变化趋势，可得答案；（5）根据图象可得当或时方程无解，即或，求解可得答案．【小问1详解】解：∵，∴x可以取全体实数，故答案为：全