上海市曹杨第二中学附属学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（解析版）

2023学年第二学期第一次随堂检测（考试时间100分钟，满分150分）一、单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方，根据同底数幂的乘法除法法则和幂的乘方判断即可．【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．2.在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．【详解】解：A、a与被开方数不同，故不是同类二次根式；B、=|a|与被开方数不同，故不是同类二次根式；C、=|a|与被开方数相同，故是同类二次根式；D、=a2与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．3.潜望镜的工作原理如图所示，其中位于处的两块平面镜互相平行，光线经过两次反射后，得到的光线与也互相平行，若，那么直线与直线的夹角的度数为（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质和平面镜反射原理进行解答．【详解】解：由平面镜反射可可知，，∵光线与互相平行，∴，由平面镜反射可可知，，∴，即直线与直线的夹角的度数为或．故选：D．4.已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【详解】两圆相交时，两半径之差<圆心距<两半径之和，故选B.5.李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步），她将记录的结果绘制成了如图所示的统计图．在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（）A.1.2与1.3 B.1.4与1.35 C.1.4与1.3 D.1.3与1.3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．据此判断即可．【详解】解：∵这组数据中1.4出现的次数最多，∴在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4；每天所走的步数的中位数是：，∴在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3．故选：C．6.如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称点，那么约定该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，下列关于x的函数：①，②，③，④中，是“H函数”的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像上点的特征，熟练掌握图像上点的特征是解题的关键．根据“函数”的定义即可得到答案．【详解】解：函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，是“函数”，故①正确；是“函数”，故②正确；不是“函数”，故③错误；是“函数”，故④正确；正确的是①②④，故选：C二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.函数的定义域是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，立方根有意义的条件．根据分式有意义的条件，立方根有意义的条件，即可解答．【详解】解：根据题意得：，∴，即函数的定义域是．故答案为：8.方程的根是_____．【答案】x＝1【解析】【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．【详解】两边平方，得x2＝4﹣3x，解得，x＝1或x＝﹣4，检验：当x＝﹣4不是原方程的根，故原无理方程的解是x＝1，故答案为x＝1【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后要检验．9.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____．【答案】【解析】【分析】用列表法与树状图法求解即可.【详解】解:用列表法列举出总共4种情况，分别为：正正、正反、反正、反反，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况为：正反、反正所以概率是，故答案是.【点睛】本题考查了求随机事件的概率,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到所求的情况数是解决本题的关键.10.已知一组数据的方差是3，那么数据的方差是______．【答案】3【解析】【分析】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案．【详解】解：一组数据的方差是3，数据的方差是3．故答案为：3．11.如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是________

海里．【答案】10【解析】【分析】由已知可得△ABC是等腰直角三角形，已知AB=10海里，根据等腰直角三角形的性质即可求得斜边BC的长．【详解】解：如图，由题意得，∠BAD=30º，∠CAD=60º，∠CBE=75º，AB=10海里．∵AD∥BE，∴∠ABE=∠BAD=30º，∴∠ABC=∠CBE-∠ABE=75º-30º=45º．在△ABC中，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=30º+60º=90º，∠ABC=45º，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AB=10海里，∴AC=10海里，∴BC==10海里．故答案为：10．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质，掌握方向角的定义从而证明△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．12.某市种植60亩树苗，实际每天比原计划多种植3亩树苗，因此提前一天完成任务，求原计划每天种植多少亩树苗．设原计划每天种植工树苗亩，根据题意可列出关于x的方程_________．【答案】【解析】【详解】分析：设原计划每天种植工树苗亩，实际每天种植树苗亩，根据题目中的等量关系列出方程即可.详解：设原计划每天种植工树苗亩，需要天，实际每天种植树苗亩，需要天，根据提前一天完成任务，可得：故答案为点睛：考查分式方程的应用，关键是找到题目中的等量关系.13.近年来，出境旅游成为越来越多中国公民的假期选择，将2017年某小区居民出境游的不同方式的人次情况画成扇形图和条形图，如图所示，那么2017年该小区居民出境游中跟团游的人数为___．【答案】24【解析】【详解】分析：根据自由行的人数以及所占百分比求出总人数，再用总人数乘以跟团游的百分比即可求得.详解：总人数为：人，跟团游的人数为：人.故答案24.点睛：考查扇形统计图和条形统计图，找到它们之间的联系是解题的关键.14.在梯形ABCD中，//BC，AD=BC，设，，那么等于____________（结果用、线性组合表示）；【答案】【解析】【详解】即：15.如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是_____．【答案】6．【解析】【分析】根据正n边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可．【详解】依题意有×2，解得n＝6．故答案为：6．【点睛】此题考查多边形内角与外角，此题比较简单，解题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．16.在△ABC中，已知BC＝4cm，以边AC的中点P为圆心1cm为半径画⊙P，以边AB的中点Q为圆心xcm长为半径画⊙Q，如果⊙P与⊙Q相切，那么x＝_____cm．【答案】1或3【解析】【分析】根据三角形的中位线的性质得到，①当⊙P与⊙Q相外切时，②当⊙P与⊙Q相内切时，列方程即可得出结论.【详解】∵BC＝4cm，点P是AC的中点，点Q是AB的中点，∴，①当⊙P与⊙Q相外切时，PQ＝1+x＝2，∴x＝1cm，②当⊙P与⊙Q相内切时，PQ＝|x﹣1|＝2，∴x＝3cm（负值舍去），∴如果⊙P与⊙Q相切，那么x＝1cm或3cm，故答案为1或3．【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及相切两圆的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键.17.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升___cm（结果保留π）．【答案】π【解析】【详解】分析：求得半径为10cm，圆心角为120°的弧长，即可得出答案．详解：观察图象，可知重物上升的高度就是旋转的角度为所对应的弧长,故答案为:.点睛：考查弧长的计算，旋转的性质，熟记弧长公式是解题的关键.18.规定：平面上一点到一个图形距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①当时，线段的长度是点到线的距离；当时，线段的长度是点到线段MN的距离；如图②，在中，，，，点D为边上一点，，如果点Q为边上一点，且点Q到线段的距离不超过，设的长为d，那么d的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是理解题目所给平面上一点到一个图形的距离的定义．根据题意进行分类讨论：当点Q到线段的距离为垂线段时，当点Q到线段的距离为时．即可解答．【详解】解：∵，，，∴，根据勾股定理可得：，当点Q到线段的距离为垂线段时，过点Q作于点H，当时，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∵点Q到线段的距离不超过，∴，当点Q到线段的距离为时，过点D作于点G，当时，∵，，∴，∵，，∴，∴∴，则，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，则，在中，根据勾股定理可得：，∴，∵点Q到线段的距离不超过，∴，综上：．三、解答题19.先化简，再求值，其中．【答案】，【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，先利用分式的运算法则把分式化简，再把字母的值代入化简结果，进行计算即可．【详解】解：当时，原式20.解不等式组：，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．【答案】【解析】【详解】分析：分别解不等式，在数轴上表示出解集,找出解集的公共部分即可.详解：由①得：．解得．由②得：．．．解得．∴原不等式组的解集为.点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.21.如图，在中，，，于D，O为上一点，以O为圆心，为半径的圆交于G，交于E、F，且．（1）求的长；（2）连接，求的余切值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，垂径定理，三线合一定理等等：（1）先由垂径定理，三线合一定理得到，，进而得到，，可得，证明，可得，解方程即可得到答案；（2）过点G作于M，则，可证明，利用相似三角形的性质得到，则，即可得到．【小问1详解】解：如图所示，连接∵，，，∴，，∴，，∴，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，设，则又∵，∴，∴，即，解得或（舍去），经检验，是原方程的解，∴；【小问2详解】解：如图所示，过点G作于M，则，∴，∴，即，∴，∴，∴．22.“五一”期间小明和小丽相约到苏州乐园游玩，小丽乘私家车从上海出发30分钟后，小明乘坐火车从上海出发，先到苏州北站，然后再乘出租车去游乐园（换乘时间忽略不计），两人恰好同时到达苏州乐园，他们离上海的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示，请结合图象信息解决下面问题：（1）本次火车的平均速度_________千米/小时？（2）当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园的距离还有多少千米？【答案】（1）180；（2）48千米.【解析】【分析】（1）由图象可知，火车0.5小时行驶90千米，利用路程除以时间得出速度即可；（2）首先分别求出两函数解析式，进而求出小时小丽行驶的距离，进而得出离苏州乐园的距离．【详解】（1）v==180．故本次火车的平均速度是每小时180千米．故答案为180；（2）设l2的解析式为y=kt+b，∵当t=0.5时，y=0，当t=1时，y=90，∴，解得：，∴l2的解析式为y=180t﹣90，把t=代入，得y=180×﹣90=60，∵（，60）在直线l1上，∴直线l1的解析式为y=72t，∴当t=1时，y=72，120﹣72=48（千米），故当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园的距离还有48千米．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意结合函数图象得出一次函数解析式是解题关键．23.已知：如图，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN.（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【详解】分析：（1）由已知条件易得∠EAG=∠FCG，AG=GC结合∠AGE=∠FGC可得△EAG≌△FCG，从而可得△EAG≌△FCG，由此可得EG=FG，同理可得MG=NG，由此即可得到四边形ENFM是平行四边形；（2）如下图，由四边形ENFM为矩形可得EG=NG，结合AG=CG，∠AGE=∠CGN可得△EAG≌△NCG，则∠BAC=∠ACB，AE=CN，从而可得AB=CB，由此可得BE=BN.详解：（1）∵四边形ABCD为平行四四边形边形，∴AB//CD.∴∠EAG=∠FCG.∵点G为对角线AC的中点，∴AG=GC.∵∠AGE=∠FGC，∴△EAG≌△FCG.∴EG=FG.同理MG=NG.∴四边形ENFM为平行四边形.（2）∵四边形ENFM为矩形，∴EF=MN，且EG=,GN=，∴EG=NG，又∵AG=CG，∠AGE=∠CGN，∴△EAG≌△NCG，∴∠BAC=∠ACB，AE=CN，∴AB=BC，∴AB-AE=CB-CN，∴BE=BN.点睛：本题是一道考查平行四边形的判定和性质及矩形性质的题目，熟练掌握相关图形的性质和判定是顺利解题的关键.24.如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标；（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值.【答案】（1）;（2）P（1，）;（3）3或5.【解析】【分析】（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式.（2）对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G,由∠PBO=∠BAO，得tan∠PBO=tan∠BAO，即，可求出P的坐标.（3）新抛物线的表达式为，由题意可得DE=2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF，∴，∴FH=1.然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5.【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）∴，解得,∴抛物线解析式为,（2）,∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G,∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，∴,∴，∴,，∴P（1，）,（3）设新抛物线的表达式为则,，DE=2过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF∴，∴FH=1点D在y轴的正半轴上，则，∴,∴，∴m=3,点D在y轴的负半轴上，则，∴,∴，∴m=5,∴综上所述m的值为3或5.【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键.25.已知：如图，线段AB=4，以AB为