高数二重积分的计算教学教案

第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第九章一、利用直角坐标计算二重积分如果积分区域为：［X－型］其中函数、在区间上连续.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法得立体体积Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式既是X—型区域又是Y—型区域既非X—型区域又非Y—型区域积分限：或注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤①画域，②选序，③定限ⅱ）累次积分中积分的上限不小于下限ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线，若是X—型，就先

y后

x若是Y—型，就先x后

y

，注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,

则机动目录上页下页返回结束例3计算D解一D：X—型D解二DY—型例4计算解DY—型I=若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。2121例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。解解积分区域如图例1

改变积分òò-xdyyxfdx1010),(的次序.原式òò-=ydxyxfdy1010),(解积分区域如图例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束解例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束解计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以机动目录上页下页返回结束例3.计算二重积分解:两部分,则把与D分成作辅助线机动目录上页下页返回结束化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。以上各例说明4。关于对称性利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用对①若D关于x

轴对称②若D关于

y轴对称③若D关于原点对称——称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”①、②、③简单地说就是④若D关于直线

y=x对称例5.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为机动目录上页下页返回结束即机动目录上页下页返回结束二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束解例1

写出积分òòDdxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD-££-=

}10££x.在极坐标系下所以圆方程为

1=r,直线方程为qqcossin1+=r,例6.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束解解解计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:利用极坐标原式机动目录上页下页返回结束解D的边界极点在D的边界上圆周在(0,0)的切线斜率为故例4计算例1.

计算二重积分其中:D为圆域解:利用对称性.机动目录上页下页返回结束内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束则极坐标系情形:若积分区域为机动目录上页下页返回结束(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数