2024-2025学年云南省煤炭第一中学高二下学期期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省煤炭第一中学高二下学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∈Nx+2x−2≤0，B=xA.−2,1 B.−2,1 C.−2,−1,0 D.02.在▵ABC，点P是中线AD上一点(不包含端点)，且BP=xBA+yBC，则1x+8A.8 B.16 C.18 D.253.设函数fx=mx2−mx−1，命题“∃x∈1,3A.−∞,37 B.−∞,3 C.374.一组数据x1，x2，…，x10满足xi−xi−1=2(2≤i≤10)A.方差变小 B.平均数变大 C.极差变大 D.中位数变小5.如图，在三棱锥S−ABC中，▵ABC为等边三角形，SA⊥AB，SB=SC，若SA+AB=2，则三棱锥S−ABC外接球半径的最小值为(

)

A.17 B.77 C.26.已知cosx+π4=3A.−2875 B.2875 C.−7.已知函数fx=x−a−1ex−bxx2A.0 B.1 C.1e D.8.过点1,0可以作两条直线与曲线fx=ex+lnxA.1,e B.−5e2,e C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若An3=6Cn4，则n的值为6

B.若1−2x8=a0+a1x+a2x10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x，左、右焦点分别为F1,F2A.双曲线C的离心率为2

B.若PQ⊥F1F2，则|PQ|=2F1F2

C.若|PQ|=P11.若函数g(x)为函数f′(x)的导函数，且对于任意实数x0，函数值fx0，f′x0，A.函数y=f(x)可能为奇函数 B.函数y=f(x)存在最大值

C.函数y=f(x)存在最小值 D.函数y=f(x)有且仅有一个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设i是虚数单位，则复数(1−i)2−4+2i1−2i13.已知an是首项为a，公差为1的等差数列，bn=1+anan，若对任意的n∈14.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=−bc，四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知抛物线M:y2=2pxp>0的焦点F为椭圆N:x29(1)求M的方程；(2)求以CF为直径的圆的标准方程；(3)设过点D且倾斜角为135∘的直线l与M交于A，B两点，求AB16.(本小题12分)如图，在六面体ABC−A1D1B1C1

中，平面ABC//

(1)求证：AC//平面BB1(2)若CC1⊥

平面ABC

，AC=2，CC1=117.(本小题12分)已知数列an满足(I)证明：数列an+1(II)求数列an(III)若数列bn满足4b1−118.(本小题12分)函数fx=e(1)证明：当a=1时，fx(2)当x≥0时，fx≥(x+1)219.(本小题12分)深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中25的人选择只游览海滨栈道，另外35的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)从游客中随机抽取n个人n∈N∗，记这n个人的合计得分恰为n+1分的概率为pn(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分n∈N∗的概率为an，随着抽取人数的无限增加，a答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】解分式不等式、对数函数的性质求定义域得到集合，再由交运算求结果．【详解】由x+2x−2≤0⇒(x+2)(x−2)≤0根据对数函数的性质知B={x|x<1}，则A∩B=0故选：D2.【答案】D

【解析】【分析】利用共线向量定理的推论可得x+2y=1，且x>0,y>0，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解．【详解】由D是BC的中点得BC=2BD，所以因为A,P,D三点共线，所以x+2y=1x>0,y>0所以1x当且仅当2yx=8x所以1x+8故选：D3.【答案】D

【解析】【分析】由命题“∃x∈1,3,fx【详解】因为命题“∃x∈1,3所以∀x∈1,3又fx>−m+2可化为mx当x∈1,3时，x所以m>3x2所以m>3x2当x=1时x2−x+1有最小值为1，此时3x所以m>3，故实数m的取值范围是3,+∞，故选：D4.【答案】A

【解析】【分析】根据极差，平均数，方差与中位数的定义计算出去掉x1【详解】由于xi故x2=x1+2，x3=对B：原来的平均数为x1去掉x1,x平均数不变，故B错误；对A：原来的方差为x1去掉x1,x方差变小，故A正确；对C：原来的极差为x10−x1=18极差变小，故C错误；对D：原来的中位数与现在的中位数均为x5故中位数不变，故D错误．故选：A．5.【答案】D

【解析】【分析】取BC中点E，连接SE，AE，则BC⊥SE，BC⊥AE，先证明SA⊥平面ABC，可得三棱锥S−ABC的外接球球心O必在过▵ABC的中心O1，且平行于SA的直线上，OO1=1【详解】如图，取BC中点E，连接SE，AE，则BC⊥SE，BC⊥AE，

又SE∩AE=E，SE,AE⊂平面ASE，所以BC⊥平面ASE，又SA⊂平面ASE，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，AB∩BC=B，AB,BC⊂平面ABC，所以SA⊥平面ABC，所以三棱锥S−ABC的外接球球心O必在过▵ABC的中心O1，且平行于SA的直线上，O设AB=x(0<x<1)，又SA+AB=2，所以SA=2−x，AO设三棱锥S−ABC的外接球半径为R，则R2所以当x=67时，Rmin故选：D．6.【答案】A

【解析】【分析】利用平方关系与和差公式求出sinx,【详解】由cosx+π因为17π12<x<7π4，所以即22由①②解得sinx=−则sin2x+2si=2×故选：A7.【答案】B

【解析】【分析】根据函数fx在R单调递增，即f′(x)≥0在R恒成立，解得a=lnb【详解】由题意，函数fx=x−a−1导函数为f′(x)=e因为函数fx在R所以f′(x)=(x−a)(ex−b)≥0所以a=lnb，即故b−a=e令g(a)=ea−a令g′(a)>0，则a>0，令g′(a)<0，则a<0，所以g(a)在−∞,0单调递减，在0,+∞单调递增，所以g(a)所以b−a的最小值为1．故选：B．8.【答案】A

【解析】【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得曲线fx的切线方程，从而将问题化为y=t与y=gm=−emm2−m−1在【详解】因为y=fx所以f′x设过点1,0的切线切曲线于点m,me则切线方程为y−m又切线过点1,0，所以0−m因为过点1,0可以作两条直线与曲线fx所以方程t=−emm2−m−1所以y=t与y=gm=−emm又g′m令g′m=0，可得m=−2或当m∈0,1时，g′m>0当m∈1,+∞时，g′m<0所以gm的极大值为g1=e，又g0=1所以要使y=t与y=−emm2−m−1在0,+∞故选：A．9.【答案】BC

【解析】【分析】应用组合数及排列数运算得出A，应用赋值法计算判断B，应用二项式展开式计算得出余数判断C，应用正态分布对称性计算判断D．【详解】因为An3=6Cn4，所以nn−1因为1−2x8令x=1得a0令x=0得18=a0，则55C550−1所以C5555−155×560=−1除8的余数是5555被随机变量ξ∼N4,12，若P(ξ≥6)=15故选：BC．10.【答案】ACD

【解析】【分析】对于A选项：由渐近线方程为y=±x得到a=b，从而求出离心率；对于B选项：PQ⊥F1F2时，求出通径长|PQ|=2b2a，与焦距长相比即可得到长度关系；对于【详解】依题意可知a=b，则e=ca=若PQ⊥F1F2，则|PQ|=2不妨设a=1，因为PQ=则PF1−PF则在▵QF1F则cos∠QPF1=cos联立x联立则x2所以xP则PQ=1+故选：ACD．11.【答案】CD

【解析】【分析】通过分析函数fx【详解】由题意，在函数fx中，函数g(x)为函数f′(x)设d(x)=f′(x)−f(x)>0，则d′(x)=g(x)−f′(x)>0，由题意可知：f(x)+g(x)=2f′(x)，则d′(x)=d(x)，即d′(x)−d(x)=0，故ex则存在正实数a满足：d(x)ex=a，即d(x)=a⋅故exf′(x)−exf(x)故f(x)=(ax+b)⋅e故f′(x)=f(x)+a⋅e∴当x∈−∞,−ba−1时，f′(x)<0，当∴fx在−∞,−ba对于A，由fx的单调性可知，函数y=fx不可能为奇函数，故对于B，对任意实数x，当x→+∞时，fx→+∞，故函数f(x)没有最大值，故对于C，f(x)在x=−ba−1对于D，因为函数f(x)⋅e−x=ax+b有且仅有一个零点−ba，而e−x>0故选：CD．【点睛】本题考查函数的求导，二次求导，构造函数，求函数的单调区间，具有极强的综合性．12.【答案】−4i

【解析】【分析】利用复数四则运算法则计算出结果．【详解】复数(1−i)故答案为：−4i．13.【答案】−4,−3

【解析】【分析】根据bn【详解】由题可知：b当n∈−∞,1−a和1−a,+∞若1−a≤0，则该数列在n∈N若1−a>0，要满足题意，只需：1−a∈解得：a∈−4,−3故答案为：−4,−3．【点睛】本题考查数列的单调性，要用函数的角度去看待数列的单调性，同时也要注意其与函数不同的点．14.【答案】4,+∞

【解析】【分析】利用余弦定理求出A=2π3，由正弦定理得到a=3sinB，c=2【详解】由题意b2+c可得cosA=由于0<A<π，可得A=2π由题意利用正弦定理可得asin可得a=3sin可得a=3−4由于0<B<π3，可得0<tan可得2所以a2−c故答案为：4,+∞．15.【答案】【详解】(1)因为9−5=4，所以N的右焦点坐标为(2,0)，所以p2=2，即所以M的方程为y2(2)依题意得C的坐标为(−3,0)，所以线段CF的中点坐标为−1因为以CF为直径的圆的半径R=|CF|所以以CF为直径的圆的标准方程为x+1(3)依题意可得直线l的方程为y=−x+3．由y=−x+3,y2=8x,设Ax1,y1，Bx2则AB=

【解析】【分析】(1)先计算求出椭圆的焦点，再结合抛物线的焦点得出抛物线方程；(2)根据CF为直径得出圆心及半径即可得出圆的方程；(3)先联立方程组，再应用弦长公式计算求解．16.【答案】【详解】(1)设AB，BC中点分别为E，F，连接ED1，由于平面ABC//平面A1D1B1平面A1D1所以AB//A又E是AB的中点，则AE=1由于A1D1=1所以四边形AED1A同理，可得C又AA1//C所以确定平面EFB1D1，又平面平面EFB1D所以EF//B由于EF是▵ABC的中位线，则EF//AC，所以AC//B而B1D1⊂平面BB所以AC//平面BB(2)在▵ABC中，因为BC=2，AC=2，AB=2所以AB2=B由于CC1⊥所以以C为原点，CA、CB、CC1分别x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A2,0,0，B0,2,0，C0,0,0所以CB=0,2,0，CD设平面BCD1的一个法向量为nn⋅CB取x=−1，则y=0,z=1，所以n=(−1,0,1)为平面BCD设直线AD1与平面BCD则sinθ=所以直线AD1与平面BCD1所成角

【解析】【分析】(1)设AB，BC中点分别为E，F，由面面平行性质定理证明AB//A1D1，再证明AA1//E(2)结论空间直角坐标系，求直线AD1的方向向量与平面17.【答案】【详解】(I)证明：∵a∴∴an+1−an(II)解：由(I)得a∴=(III)证明：∵∴∴2[(2[(②−①，得2(即(n−1)n④−③，得n即b∴∴b

【解析】略18.【答案】【详解】(1)证明：a=1时，要证ex−x>ln设mx=ex−x−设nx=ex−1−1x所以m′x=e又m′1=e−2>0，m′12=且x0∈1当0<x<x0时，m′x<0，当所以mx在0,x0所以m(x)因为x0∈12,1，所以1x0即m(x)min>0，所以e(2)当x≥0时，fx当x=0时，上式恒成立，即a∈R；当x>0时，a≤e设gx则g′x设ℎx=ex−x−1，x>0即ℎx在0,+∞又ℎ0=e0−0−1=0所以由g′x>0⇒x>1，由所以gx在0,1上单调递减，在1,+∞所以g(x)min=g综上可知：a的取值范围为−∞,e−4．

【解析】【分析】(1)问题转化为证明ex−x−lnx−1>0，设mx=e(2)分情况讨论，分离参数，可把问题转化为a≤ex−(x+1)2x，19.【答案】【详解】(1)依题意，随机变量X的可能取值为2,3,4，则P(X=2)=(25)2所以X的分布列如下表所示：X

2

3

4P4129数学期望为E(X)=2×4(2)由这n人的合计得分为n+1分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，于是Pn=Cn1⋅3则Sn于是25两式相减得3=23−所以i=1n(3)在随机抽取的若干人的合计得分为n−1分的基础上再抽取1人，则这些人