2024-2025学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=−1−2i，则z的虚部是(

)A.−1 B.−2 C.2i D.−2i2.函数y=tan4x的最小正周期为(

)A.2π B.π C.π2 D.3.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的第20百分位数是(

)A.10 B.12 C.16 D.244.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.90° B.60° C.45° D.30°5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=30°，b=2，c=2，则角C=(

)A.45° B.135° C.45°或135° D.30°6.设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是(

)A.若α⊥β，m//α，l//β，则m⊥l

B.若α//β，m⊂α，l⊂β，则m//l

C.若α∩β=m，l//α，l//β，则m//l

D.若m⊥α，l⊥β，m//l，则α⊥β7.已知cos(α+β)=25，cos(α−β)=4A.−3 B.3 C.−13 8.菱形ABCD的边长是2，且AD在AB方向上的投影向量为12AB，若AE=EB，则A.3 B.7 C.22 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人，有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法，从500个学生中抽取一个容量为50的样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为175，方差为17，女生样本的均值为165，方差为30，则下列说法正确的是(    )(注：总体划分为2层，通过分层抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n1，x−，s12，n2，y−，s22A.抽取的男生人数为30

B.抽取的女生人数为20

C.估计该校高中学生身高的总体均值约为170

D.估计该校高中学生身高的总体方差约为46.210.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中点A(π12,1)，B(πA.ω=2

B.函数y=f(x+π12)是奇函数

C.f(x)的图象可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π12个单位得到

D.f(x)在区间(5π12,13π12)上单调递增

11.如图，在圆柱O1O2中，轴截面ABCD是边长为2的正方形，M是以AO2为直径的圆上一动点(异于AA.l//MO2

B.直线NB与直线AO1有可能垂直

C.AO1与平面MO1O2所成角的余弦值的取值范围为(25512.已知向量a=(x,4)，b=(1,−2)，若a//b，则x=13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是6，则它的体积是______．14.在△OAB中，O为坐标原点，A(cosθ,3)，B(sinθ,1)，θ∈[0,π2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知复数z=1+mi(m∈R)．

(1)当m=1时，求|z−z|；

(2)设z−2，z在复平面xOy内对应的点分别为A，B，若OA16.(本小题12分)

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85)[85,95)(95,105][105,115)[115,125]频数42238288(1)在答题卡上按照示例补全这些数据的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定？17.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2+ab=c2，c=2bcosB．

(1)求角B的大小；

(2)若18.(本小题12分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，侧棱PD⊥底面ABCD，且CD=2PD=2AB=4，点E是PC的中点，连接BE．

(1)证明：BE//平面PAD；

(2)若AD=AB，证明：BC⊥平面PBD；

(3)若二面角A−PB−D的正弦值为35，求AD的长．19.(本小题12分)

已知函数f(x)=cos4x+asin4x+bsinxcosx．

(1)当a=−1，b=−2时，求f(x)在[0,π2]上的最小值；

(2)当a=b=1时，方程f(x)=m在(0,π4)内有两个不相等的实数根x1，x参考答案1.B

2.D

3.B

4.B

5.C

6.C

7.D

8.A

9.ABD

10.AC

11.ACD

12.−2

13.56314.315.(1)当m=1时，z=1+i，则z−=1−i，

∴|z−z|=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，

∴|z−z|=1；

(2)由z−2，z在复平面xOy内对应的点分别为A，B，可得z−2=−1+mi，所以16.(1)由频数分布表中对应频数，可得频率分布直方图中各个小长方形的高，

补全直方图如图所示：

(2)根据频率分布直方图，可得这种产品质量指标值的平均数为：

x−=80×0.04+90×0.22+100×0.38+110×0.28+120×0.08=101.4．

(3)质量指标值不低于90的产品所占比例的估计值为5×0.022+0.38+0.28+0.08=0.85>0.8，

所以能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于90的产品至少要占全部产品的80%”的规定．17.(1)根据题意可知，a2+b2+ab=c2，得a2+b2−c2=−ab，又a2+b2−c2=2abcosC，

∴−ab=2abcosC，得cosC=−12，又0<C<π，∴C=2π3，

由c=2bcosB及正弦定理得sinC=2sinBcosB=sin2B，

∴sin2B=32，又0<B<π3，0<2B<2π3，

∴2B=π3，得B=π6；

(2)由(1)知，B=π6，C=2π3，则A=π6，

∴a=b，又c=2bcosB，得c=3b，

∵△ABC的周长为4+218.(1)证明：如图，取PD的中点F，连接AF，EF，

因为E为中点，所以EF//CD且EF=12CD，

又因为CD=2PD=2AB=4，且AB//CD，

所以EF//CD且EF=CD，

故四边形ABEF为平行四边形，

故BE//AF，BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，

所以BE//平面PAD．

(2)证明：如图，

取CD的中点G，连接BG，则CG=12CD=2，

因为DG=12CD,AB=12CD，

所以AB=DG，又因为AD=AB，AB/​/CD，

所以四边形ABGD为正方形，所以BG=AB=2，

且BD=AB2+AD2=22，

在三角形BGC中，BC=CG2+BG2=22，在三角形BCD中，

因为CD2=BC2+BD2，故BC⊥BD，

又因为PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，

所以PD⊥BC，

又因为PD∩BD=D，且PD，BD⊂平面PBD，

所以BC⊥平面PBD．

(3)如图，作DM⊥PA交PA于M，作DN⊥PB交PB于点N，连接MN，

由AB//CD，∠ADC=90°，所以∠DAB=90°，所以AB⊥AD，

又因为PD⊥底面ABCD，且AB⊂底面ABCD，所以PD⊥AB，

又PD∩AD=D，且PD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，

因为DM⊂平面PAD，所以AB⊥DM，又DM⊥PA，且PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

所以DM⊥平面PAB，

因为PB⊂平面PAB，所以DM⊥PB，又DN⊥PB，DM∩DN=D，DM，DN⊂平面DMN，

所以PB⊥平面DMN，

所以二面角A−PB−D的平面角为∠DNM，

设AD=x，在三角形PAD中，利用等面积法得DM=2x4+x2，

19.(1)当a=−1，b=−2时，f(x)=cos4x−sin4x−2sinxcosx=cos2x−sin2x=2sin(2x+π4)；

由于x∈[0,π2]，所以2x+π4∈[π4,5π4]，

所以当2x+π4=π，即x=3π8时，f(x)取得最小值，最小值为−2．

(2)(i)当a=b=1时，f(x)=co