2024-2025学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足zi=1+3i(i为虚数单位)，则z的虚部为A.1 B.−1 C.−3 2.某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为(

)A.25 B.30 C.35 D.503.已知平面向量a=(−3,4)，b=(1,2)，则向量b在向量a上的投影向量是(

)A.(−35,45) B.(−4.已知四棱锥P−ABCD的高为2，其底面ABCD水平放置时的斜二测画法直观图A′B′C′D′为平行四边形，如图所示，已知A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1，则四棱锥P−ABCD的体积为(

)A.2 B.4 C.325.若点O是△ABC的外心，AB=6，则AC⋅A.1 B.−1 C.3 D.−36.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a：b：c=5：7：8，则此三角形的最大角与最小角之和为(

)A.2π3 B.3π5 C.3π47.若将函数f(x)=cos(2x+π6)的图象向左或右平移φ个单位，所得的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称，则A.π12 B.π6 C.π48.已知圆锥PO的侧面面积为15π，母线长为5，则圆锥PO的外接球的表面积为A.25π4 B.25π2 C.25π 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知△ABC中，点D(1,2)，E(2,0)，F(3,2)分别为AB，BC，CA的中点，则(

)A.EF=(1,2) B.CF=(1,−2)

C.点A的坐标为(2,4) D.△ABF10.某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩(单位：厘米)为：145，155，132，135，140，130，136，则(

)A.该组数据的极差是35 B.该组数据的中位数是136

C.该组数据的40%分位数是135 D.该组数据的平均数为13911.记sinx+cosy=a，cosx+siny=b，则(

)A.a的取值范围为[−2,2] B.若a=0，则b=0

C.a+b的最小值为−22 D.若a=3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z满足|z+i|=1，则|z|的最大值为______．13.样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______．14.如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得BC=20m，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则A，B两点间的距离为______m.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在边长为1的菱形ABCD中，∠A=π3，DE=2EC，设AB=a，AD=b．

(1)用a，b，表示BE，并求|BE|；16.(本小题15分)

某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区.现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求x的值；

(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数(每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数)．17.(本小题15分)

已知向量a=(sinx,cosx)，b=(3cosx,cosx)，设函数f(x)=a⋅b−12，x∈R．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间；

18.(本小题17分)

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sinA=2sinB，2−bcosC=ccosB．

(1)求b；

(2)若c=2，求△ABC的面积；

(3)若△ABC为锐角三角形，且2BD=DA，求|19.(本小题17分)

如图1，图2，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB的中点．

(1)图1中求证：AC1//平面MB1C；

(2)图1中求二面角A1−CM−A的正切值；

(3)图2中，已知AB=2，N为B1C1的中点，点答案解析1.【答案】B

【解析】解：因为zi=1+3i，所以z=1+3ii=(1+3i)⋅(−i)i⋅(−i)=32.【答案】C

【解析】解：由分层随机抽样的定义可知，选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为100×250+1001000=35．

故选：C．

3.【答案】A

【解析】解：因为向量a=(−3,4)，b=(1,2)，

所以a⋅b=−3×1+4×2=5，|a|=(−3)2+42=5，

所以向量b4.【答案】B

【解析】解：由题意可知，四边形ABCD为矩形，AB=CD=3，AD=BC=2，

所以矩形ABCD的面积为3×2=6，

所以四棱锥P−ABCD的体积为13×6×2=4．

故选：B．

由直观图可得到底面ABCD为矩形，同时可求矩形ABCD的面积，然后利用锥体体积公式计算可得答案．5.【答案】D

【解析】解：已知点O是△ABC的外心，AB=6，

取AB的中点M，连接OM，

因为点O是△ABC的外心，

所以OM⊥AB，

所以OM⋅AB=0．

因为AC⋅BO+CB⋅BO=(AC+CB)⋅BO=AB⋅BO

=AB⋅(BM+MO)=6.【答案】A

【解析】解：根据a：b：c=5：7：8，设a=5k，b=7k，c=8k(k>0)，

由余弦定理得cosB=(5k)2+(8k)2−(7k)22×5k×8k=12，结合0<B<π，可得B=π3，

因为a<b<c，可得C角最大且A角最小，

所以△ABC的最大角与最小角之和为A+C=π−B=2π37.【答案】B

【解析】解：由题意，f(x)=cos(2x+π6)图象的对称轴方程为2x+π6=kπ，k∈Z，

即x=−π12+kπ2，k∈Z，可得f(x)距离y轴最近的一条对称轴为x=−π12，此时f(x)取得最大值，

函数y=f(x)图象关于y轴对称的图象，

对应函数解析式为y=cos(−2x+π6)=cos(2x−π6)，

距离y轴最近的一条对称轴为x=8.【答案】B

【解析】解：圆锥母线长l=5，设圆锥底面圆半径为r，

因为圆锥PO的侧面面积为15π，

所以πrl=15π，

解得r=15l=3，

所以圆锥的高为l2−r2=2，

设圆锥PO的外接球的球心为M，则M在OP上，设半径为R，

则MB=MP=R，OM=2−R，

OM29.【答案】ACD

【解析】解：E(2,0)，F(3,2)，所以EF=(3,2)−(2,0)=(1,2)，故A选项正确；

因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以CF=ED=(1,2)−(2,0)=(−1,2)，故B选项错误；

设A(x,y)，B(m,n)，C(p,q)，

则有1=x+m22=y+n2，2=m+p20=n+q2，3=x+p22=y+q2，

解得A(2,4)，B(0,0)，C(4,0)，故C选项正确；

由C可知S△ABC=12×4×4=8，S△BCF=12×4×2=4

所以△ABF的面积为S△ABC−S△BCF=8−4=4，故D选项正确．

故选：ACD．

根据E，F两点的坐标求出向量EF的坐标，即可判断A，利用CF10.【答案】BCD

【解析】解：将该组数据从小到大排序依次为130，132，135，136，140，145，155，

对于A，该组数据的极差是155−130=25，故A错误；

对于B，该组数据的中位数是136，故B正确；

对于C，因为7×40%=2.8，

所以该组数据的40%分位数是第3个数据，即135，故C正确；

对于D，该组数据的平均数为17(145+155+132+135+140+130+136)=139，故D正确．

故选：BCD．

找到该组数据的最大值及最小值，求出极差，即可判断A；将该组数据从小到大排序依次，找到中位数，即可判断B；求出该组数据的40%分位数，即可判断C；求出该组数据的平均数即可判断D．11.【答案】ACD

【解析】解：根据sinx+cosy=a，且sinx、cosy∈[−1,1]，

可知a的取值范围为[−2,2]，A选项正确；

若a=sinx+cosy=0，可能x=−π6，y=π3，此时b=cosx+siny=3≠0，所以B选项错误；

根据a+b=sinx+cosy+siny+cosx=2sin(x+π4)+2sin(y+π4)，

当x=y=−3π4+2kπ(k∈Z)时，a+b取得最小值−22，可知C选项正确；

根据sinx+cosy=a，cosx+siny=b，

平方相加，可得(sinx+cosy)2+(siny+cosx)2

=2+2(sinxcosy+cosxsiny)=2+2sin(x+y)=a2+b2，

若a=12.【答案】2

【解析】设复数z=a+bi(a,b∈R)，

因为|z+i|=1，

所以a2+(b+1)2=1，即a2+(b+1)2=1，表示以(0,−1)为圆心，1为半径的圆，

|z|表示圆上的点到原点的距离，

故|z|的最大值为13.【答案】4

【解析】解：因为该样本的平均数为2，

所以第五个值为2×5−1−2−3−5=−1，

所以样本方差s2=15×[(1−2)2+(2−2)2+(3−214.【答案】10【解析】解：因为∠ABC=75°，∠ACB=60°，

所以∠BAC=180°−75°−60°=45°，

在△ABC中，由正弦定理，得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC，

可得AB=BCsin∠ACBsin∠BAC=20sin60°sin45∘15.【答案】BE=b−13a，|【解析】(1)已知在边长为1的菱形ABCD中，∠A=π3，DE=2EC，

又AB=a，AD=b，

则BE=BC+CE=AD−13AB=b−13a．

因为|a|=|b|=1，∠A=π3，

所以a⋅b=12，

则BE2=(b−13a)2=b2−23a⋅b+19a2=716.【答案】x=0.03；

中位数约为86.67.平均数为84．

【解析】(1)根据题意可知，10×(0.005+0.01+0.015+x+0.04)=1，可得x=0.03；

(2)因为10×(0.005+0.01+0.015)=0.3<0.5，

10×(0.005+0.01+0.015+0.03)=0.6>0.5，

所以中位数在区间[80,90)内，令其为m，

则0.3+0.03×(m−80)=0.5，解得m=80+203≈86.67，

所以满意度评分的中位数约为86.67，

由频率分布直方图可知，平均数为：

x−=55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84．

(1)根据直方图中频率和为1求参数即可；17.【答案】π；

[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z【解析】(1)已知向量a=(sinx,cosx)，b=(3cosx,cosx)，设函数f(x)=a⋅b−12，x∈R，

则f(x)=3sinxcosx+cos2x−12=32(2sinxcosx)+12(2cos2x−1)

=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，

由T=2π|ω|=2π2=π，

得f(x)的最小正周期为π．

(2)由(1)知f(x)=sin(2x+π6)，

令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，

即−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为[−π18.【答案】1；

154；

(【解析】(1)因为2−bcosC=ccosB，

由余弦定理可得c×a2+c2−b22ac+b×a2+b2−c22ab=2，解得a=2．

又因为sinA=2sinB，所以a=2b=2，所以b=1．

(2)由(1)可知：a=2，b=1，且c=2，

由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=14，

且C∈(0,π)，可得sinC=154，

所以△ABC的面积S=12absinC=154．

(3)由(1)可知：a=2，b=1，

由余弦定理可得c=a2+19.【答案】证明见解析；

5；

20−4【解析】(1)证明：如图所示，连接BC1，交B1C于G，连接MG，

∵ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴B1BCC1