2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2<x<5}，B={x|2x≤8}，则A∪B=A.{x|2<x≤3} B.{x|x<5} C.{x|3≤x<5} D.{x|x≤3}2.某班有60名同学，一次数学考试(满分150分)的成绩X服从正态分布N(90,σ2)，若P(80≤X≤100)=0.6，则本班在100分以上的人数约为A.6 B.12 C.18 D.243.已知x与y之间具有相关关系，并测得如下一组数据，x与y之间的经验回归方程为y​=−0.7x+10.3，则m的值为x681012y65m2A.3 B.3.3 C.4 D.4.34.在公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ayA.32 B.53 C.655.已知y=1−alog2x是减函数，则函数f(x)=|x|(x−a)的大致图象为A. B.

C. D.6.已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m−2)xα的图象上，设a=f(α+1m)，b=f(ln2)，A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a7.已知数列{an}满足an=(−1)nn2，某同学将其前A.64 B.−81 C.100 D.−1218.已知函数f(x)=xex+1−kx+k，有且只有一个负整数x0，使f(x0A.(23e,12] B.(0,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设数列{an}的前项n和为Sn，若aA.{Sn}为等比数列 B.Sn=3n10.已知函数f(x)=(x−4)ex，下列说法正确的是(

)A.limΔx→0f(1+Δx)−f(1−Δx)3Δx=−43e

B.当且仅当m>−e3时，方程f(x)−m=0有两个不等的实根

C.对区间(2,+∞)上任意两个实数x1≠x11.已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件A1、A2，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是(

)A.P(A2)=34 B.P(B|A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.“a>12”是“1a13.设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x)，若在(a,b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，已知f(x)=ex−xlnx−m2x214.在n维空间中(n≥2,n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标(a1,a2,⋯,an)，其中ai∈{0,1}(1≤i≤n，i∈N)，定义：在n维空间中的两点(a1,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知命题p：∀x∈R，不等式2x2+4x+7−m>0恒成立；命题q：∃x∈R，使x2−2mx+m+2<0成立．

(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若命题p，q16.(本小题15分)

钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如表：0项1项2项3项4项5项5项以上男生(人)166720173女生(人)25581082(1)完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”比较了解不太了解合计男生女生合计(2)在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记X为这4人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．

附：P(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828K2=n(ad−bc)17.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a5=8，S6=33．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列18.(本小题17分)

已知函数f(x)=m(1−x)−lnx−1．

(1)当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)≥−1，求m的值；

(3)当m>1时，证明：g(x)=f(x)+xex−m有219.(本小题17分)

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn．

(Ⅰ)写出X1的分布列并计算E(X1)；

(Ⅱ)某人重复进行了100次操作，记an=1,Xn=00,Xn≠0，(n∈N,1≤n≤100)，求该数列{a答案解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={x|2<x<5}，B={x|2x≤8}={x|x≤3}，

则A∪B={x|x<5}．

故选：B．

2.【答案】B

【解析】解：∵成绩X服从正态分布N(90,σ2)，P(80≤X≤100)=0.6，

∴P(X>100)=P(X>90)−P(80≤X≤100)2=0.5−0.62=0.2，

所以本班在100分以上的人数约为60×0.2=123.【答案】A

【解析】解：根据题意可知，x−=6+8+10+124=364=9，y−=6+5+m+24=13+m4，

4.【答案】A

【解析】解：公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则2a3=ax+ay，

所以x+y=6，x>0，y>0，

则1x+45.【答案】B

【解析】解：已知y=1−alog2x是减函数，又由于对数函数y=log2x是增函数，

所以a>0，

又f(x)=−x(x−a),x≤0x(x−a),x>0，

当x>0时，f(x)=(x−a2)2−a24，

则函数f(x)的图象是对称轴为直线x=a2>0，顶点为(6.【答案】C

【解析】解：因为f(x)=(m−2)xα为幂函数，所以m−2=1，解得m=3，

把点(3,9)代入f(x)=xα中，得3α=9，解得α=2，所以f(x)=x2，

因为a=f(a+1m)=f(1)，b=f(ln2)，c=f(32)，

且f(x)在(0,+∞)上为增函数，

又因为0<ln2<1<32，则f(ln2)<f(1)<f(32)，

所以7.【答案】A

【解析】解：因为an=(−1)nn2，

则前20项和S=−12+22−32+42−…−192+202

=(8.【答案】A

【解析】解：已知函数f(x)=xex+1−kx+k，则f(x)≤0⇔xex+1≤kx−k有且只有一个负整数解．

令g(x)=xex+1，则g′(x)=(x+1)ex+1，

当x<−1时，g′(x)<0，

当x>−1时，g′(x)>0，

所以g(x)在(−∞,−1)上递减，在(−1,+∞)上递增，

当x=−1时，g(x)取得最小值为g(−1)=(−1)×e−1+1=−1，

设ℎ(x)=kx−k=k(x−1)，则ℎ(x)恒过点(1,0)，

在同一坐标系中分别作出y=g(x)和y=ℎ(x)的图象，如图所示：

显然x0=−1，依题意得g(−1)≤ℎ(−1)且g(−2)>ℎ(−2)，即−1≤−2k且−2e>−3k，解得23e<k≤12，

9.【答案】AD

【解析】解：因为a1=1,an+1=2Sn(n∈N∗)，

所以当n=1时，a2=2S1=2a1=2，

当n≥2时，an+1=Sn+1−Sn=an+22−an+12，

所以32an+1=an+22，所以an+2=3an+1，

因为a2=2a1，所以从第二项起，数列{an}是公比为3的等比数列，

所以an=2,n=12×310.【答案】ACD

【解析】解：函数f(x)=(x−4)ex的定义域为R，

f′(x)=ex+(x−4)ex=(x−3)ex，

当x<3时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,3)上单调递减；

当x>3时，f′(x)>0，函数f(x)在(3,+∞)上单调递增，

对于A，limΔx→0f(1+Δx)−f(1−Δx)3Δx=23limΔx→0f(1+Δx)−f(1−Δx)2Δx=23f′(1)=−43e，A正确；

对于B，当m=0时，f(x)=0只有1个根4，B错误；

对于C，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)=(x1−4)ex1+(x2−4)ex2−2(x1+x22−4)ex1+x22

=(ex12−ex22)[(x1−4)ex12−(x2−4)ex22]，令函数ℎ(t)=(2t−4)et，t>1，

求导得ℎ′(t)=(2t−2)et>0，函数ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增，

由x1，x2∈(2,+∞)，x1≠x2，不妨令x1>x2>2，则ℎ(x12)>ℎ(x22)，

即(x1−4)ex12>(x2−4)11.【答案】BCD

【解析】解：对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个红球，所以P(A2)=14，故A错误；

对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，

从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为P(B|A2)=24=12，故B正确；

对于C，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以P(A1)=34，

若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，

从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为P(B|A1)=34，

所以P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=34×12.【答案】充分不必要

【解析】解：1a<2⇔a>2或a<0，

故“a>12”是“1a<2”的充分不必要条件．13.【答案】[e【解析】解：函数f(x)=ex−xlnx−m2x2,x>0，

求导得f′(x)=ex−1−lnx−mx，f″(x)=ex−1x−m，

依题意，∀x∈(1,2)，f″(x)<0⇔m>ex−1x恒成立，

而函数g(x)=ex−1x14.【答案】6421【解析】解：对于X=k(1≤k≤6,k∈Z)的随机变量，在坐标(a1,a2,a3,⋯⋯,a6)与(b1,x12…6PCC…C所以E(X)=1⋅c6126−1+2⋅c622615.【答案】解：(1)命题p：∀x∈R，不等式2x2+4x+7−m>0恒成立；

若p为真命题，则Δ1=16−4×2×(7−m)=8m−40<0，

解得m<5，所以m的取值范围是(−∞,5)．

(2)命题q：∃x∈R，使x2−2mx+m+2<0成立．

当q为真命题时：Δ2=4m2−4(m+2)=4m2−4m−8>0，

解得m<−1或m>2，所以m的取值范围是(−∞,−1)∪(2,+∞)．

当命题p，q中恰有一个为真命题时，

①P为真命题，q为假命题，即m<5−1⩽m⩽2，

所以m的取值范围是[−1,2]．

②p为假命题，q【解析】(1)利用判别式Δ<0，求出不等式2x2+4x+7−m>0恒成立时m的取值范围；

(2)求出命题q为真命题时m的取值范围，讨论①P为真命题，q为假命题和②p为假命题，q为真命题时m16.【答案】解：(1)依题意填写2×2的列联表如下：比较了解不太了解合计男生402060女生202040合计6040100K2=100(40×20−20×20)260×40×60×40≈2.78<3.841，

∴没有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”．

(2)抽取的女生人数为10×40100=4(人)，男生人数为10×60100=6(人)．

所以X的可能取值为0，1，2，3，4，

则P(X=0)=C40X01234P18341数学期望为E(X)=0×114【解析】(1)依题意填写2×2的列联表，求出K2，然后判断是否有95%的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”．

(2)抽取的女生人数，男生人数，X的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到X的分布列，然后求数学期望E(X)．

17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

又a1+a5=8，S6=33，

则2a1+4d=86a1+15d=33，

则a1=−2d=3，

则an=−2+3(n−1)=3n−5；

(2)由(1)可得：1an+1an+2=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，

则【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则2a1+4d=86a1+15d=3318.【答案】3x+y−2=0；

m=−1；

证明见解析．

【解析】(1)当m=2时，f(x)=1−2x−lnx，则f′(x)=−2−1x，

∴f(1)=−1，f′(1)=−3，

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+1=−3(x−1)，

即3x+y−2=0．

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=−m−1x=−mx+1x，

①当m≥0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，

又f(1)=−1，∴当x>1时，f(x)<−1，不符合题意；

②当m<0时，由f′(x)<0，得0<x<−1m，由f′(x)>0，得x>−1m，

∴f(x)在(0,−1m)上单调递减，在(−1m,+∞)上单调递增，

∴f(x)min=f(−1m)=m+ln(−m)，

∵f(x)≥−1，则其等价于m+ln(−m)≥−1，即1+m+ln(−m)≥0．

令u(m)=1+m+ln(−m)(m<0)，则u′(m)=1+1m=m+1m，

∴当m∈(−∞,−1)时，u′(m)>0，u(m)单调递增，

当m∈(−1,0)时，u′(m)<0，u(m)单调递减，

∴u(m)max=u(−1)=0，因u(m)≥0恒成立，故m=−1．

(3)证明：g(x)=f(x)+xex−m=xex−lnx−mx−1，x∈(0,+∞