2024-2025学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2i(−2+i)，则|z|=(

)A.2 B.4 C.22 2.已知集合A={x|x2−x+m=0}，B={1}.若B⊆A，则m=A.0 B.1 C.2 D.−23.若sinα−cosα=64，则sin2α=A.14 B.38 C.584.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=4，则f(−1)=(

)A.0 B.1 C.2 D.−25.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1A.39 B.156 C.395 D.6.若数据x1，x2，x3和数据x4，x5，x6的平均数均为x−，方差均为s2，则数据x1，x2，xA.s24 B.s2 C.27.若lnx+y−2>lny+xA.ex2>exy>1 B.e8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1((a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A.5 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.将函数f(x)=sin(x+π3)的图象向右平移π6A.g(x)的最小正周期为2π B.g(x)是偶函数

C.g(x)的图象关于直线x=−π6轴对称 D.g(x)在10.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，记函数f(x)=P(ξ≥x)，且f(x)的图象关于点(1,12)对称，若存在实数a，使得(参考数据：若ξ∼N(μ,σ2)，则A.μ=1 B.a=0

C.σ=1 D.P(ξ≥11.已知O为坐标原点，点P(x0,y0)在曲线CA.曲线C关于y轴对称 B.y0≥0

C.y0≤20三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若曲线y=ln(ax)与直线y=x−1相切，则a=______．13.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，边长为5的正方形ABCD由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，且E为DF的中点，则AE⋅AB=14.如图，在四面体A−BCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，AC=2，平面ABD⊥平面BCD，则四面体A−BCD外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A(4,m)(m>0)为C上一点，且|AF|=5．

(1)求p；

(2)若点B(−2,1)在椭圆T：x2a2+y16.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A+cos2A=1，b=1．

(1)若c=22，求a；

(2)若△ABC为钝角三角形，求△ABC17.(本小题15分)

在一次闯关游戏中，某一关有A，B，C三道题.将这三道题按一定顺序排好后(如第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题)，玩家开始答题.若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关.假设每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5.每次答题正确与否相互独立．

(1)求玩家通过这一关的概率．

(2)规定：答对A题积30分，答对B题积20分，答对C题积10分.现有两种题序可供选择：①第一道题为A题，第二道题为B题，第三道题为C题；②第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题.为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？18.(本小题17分)

如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD为锐角，E，F，G分别是AB，BC，A1D的中点．19.(本小题17分)

(1)证明：当1<x<2时，x2sinπx2+x−2>0．

(2)若∀x∈(0,2),lnx+2答案解析1.【答案】D

【解析】解：∵z=2i(−2+i)=−4i+2i2=−2−4i，

∴|z|=(−2)2+(−4)2.【答案】A

【解析】解：由题知B⊆A，故1∈A，代入得12−1+m=0，得m=0，故A正确．

故选：A．

根据B⊆A，则1−1+m=0，从而可求解．3.【答案】C

【解析】解：将已知等式两边平方，可得(sinα−cosα)2=sin2α+cos2α−2sinα⋅cosα=1−sin2α=38，

可得sin2α=584.【答案】C

【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=4，

所以令x=1，可得f(1)=2．

又由f(x)是偶函数，则f(−1)=f(1)=2．

故选：C．

令x=1，可得f(1)=2，再利用函数的奇偶性可得答案．

本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】D

【解析】解：等比数列{an}中，a1=15,a3a4=a5，

设等比数列{an}的公比为q，

由a3a46.【答案】B

【解析】解：因为数据x1，x2，x3和数据x4，x5，x6的平均数均为x−，方差均为s2，

所以s2=13[(x1−x−)2+(x2−x−)2+(x3−x−)2]=13[(x7.【答案】A

【解析】解：根据题设lnx−x−2>lny−y−2，

令函数f(x)=lnx−x−2，并且定义域x>0，那么导函数f′(x)=1x+2x3>0，

因此函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，因此x>y>0，

因此x2>xy>0，那么8.【答案】D

【解析】解：已知双曲线C：x2a2−y2b2=1((a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，

记O为坐标原点，由双曲线的性质可知：在Rt△POF中，|PF|=b，|OF|=c，|PO|=a，cos∠PFO=bc．

在△PAF中，|PA|2=|PF|2+|AF|2−2|PF||AF|cos∠PFA=b2+(a+c)2−2b(a+c)bc，

因为|PF|=3|PA|，所以|PA|2=|PF|23=b23，所以b9.【答案】AD

【解析】解：将函数f(x)=sin(x+π3)的图象向右平移π6个单位长度，得g(x)=sin(x+π6)，

对于A，函数g(x)最小正周期为2π，故A正确；

对于B，因为g(−x)=sin(−x+π6)≠g(x)，所以g(x)不是偶函数，故B错误；

对于C，因为g(−π6)=0，所以函数g(x)的图象关于点(−π6,0)对称，故C错误．10.【答案】ABD

【解析】解：根据题意可知，f(x)的图象关于点(1,12)对称，所以f(x)+f(−x+2)=1，f(1)=P(ξ≥1)=12，所以μ=1，A正确；

因为f(a)≈0.97725，f(a+2)≈0.02275，所以f(a)+f(a+2)=1，

因为f(a)+f(−a+2)=1，所以f(a+2)=f(−a+2)，所以a+2=−a+2，解得a=0，B正确；

因为f(a)−f(a+2)=P(ξ≥0)−P(ξ≥2)=P(0≤ξ<2)≈0.9545，

所以P(0≤ξ<2)=P(1−2σ≤ξ≤1+2σ)，所以1−2σ=0,1+2σ=2解得σ=12，C错误；

P(ξ≥12)=0.5+12P(12≤ξ≤3211.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A，点P(x0,y0)关于y轴对称的对称点为P′(−x0,y0)，

满足[(−x0)2+y02]2−y0[10(−x0)2+y02]=0，

即(x02+y02)2−y0(10x02+y02)=0，所以选项A正确；

对于选项B，(x02+y02)2−y0(10x02+y02)=0⇒y0(10x02+y02)=(x02+y02)2≥0，

又10x02+y02≥0，所以y0≥0，故选项B正确；

对于选项12.【答案】1

【解析】解：因为y=ln(ax)，所以y′=1x.直线y=x−1的斜率为1，

令y′=1x=1，解得x=1，y=x−1=0，即切点是(0,0)，所以0=lna，解得a=1．

故答案为：1．

由题意13.【答案】2

【解析】解：已知边长为5的正方形ABCD由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，且E为DF的中点，

则AB=5，DE=EF=GE=AG，

根据勾股定理得：DE2+AE2=DE2+4DE2=5，

所以DE=AG=1，14.【答案】5π

【解析】解：作出示意图如下：

取BD的中点E，连接AE，CE，

易知AE⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，

因为平面ABD∩平面BCD=CD，所以AE⊥平面BCD，

设BE=x，则AE2=1−x2,cos∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD=3+4x28x，

所以CE2=BE2+BC2−2BE⋅BCcos∠CBD=x2+4−2⋅2x⋅3+4x28x=52−x2，

因为AC2=AE2+CE2，所以1−x2+52−x2=2，解得x=32，则AE=12，

所以BD=2x=3，所以BD2+CD2=BC2，所以BD⊥CD，

取BC的中点H，则15.【答案】2；

x28【解析】(1)因为A(4,m)(m>0)为C上一点，且|AF|=5，

所以|AF|=4+p2=5，

解得p=2；

(2)由(1)得A(4,4)，

所以直线AB的斜率k=4−14+2=12，

则直线AB的方程为x−2y+4=0，

联立x2a2+y2b2=1x−2y+4=0，消去x并整理得(4b2+a2)y2−16b2y+16b2−a2b2=0，

此时Δ=(16b2)2−4(4b2+a2)(16b2−a2b2)=016.【答案】a=5；

(0,【解析】(1)因为sin2A+cos2A=1，所以2sinAcosA+1−2sin2A=1，即sinAcosA=sin2A.

因为A∈(0,π)，sinA≠0，所以sinA=cosA，及tanA=sinAcosA=1，所以A=π4．

因为b=1，c=22，

所以由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=1+8−2×22cosπ4=5，

所以a=5；

(2)因为b=1，A=π4，所以S△ABC=12bcsinA=24c．

由正弦定理得：c=bsinCsinB=sin(A+B)sinB=sin(π4+B)sinB

17.【答案】0.72；

选择题序①．

【解析】(1)设通关概率为P(A)，未通关概率为P(B)：

则P(B)=(1−0.2)×(1−0.3)×(1−0.5)=0.28，

那么，P(A)=1−P(B)=1−0.28=0.72，

故玩家通过这一关的概率为0.72；

(2)计算两种答题顺序的期望积分：

顺序①A→B→C：

答对A题：30×0.2，答错A答对B：20×0.8×0.3，答错A、B答对C：10×0.8×0.7×0.5

期望总积分①：=30×0.2+20×0.8×0.3+10×0.8×0.7×0.5=13.6，

顺序②C→B→A：

答对C：10×0.5，答错C答对B：20×0.5×0.3，答错C、B答对A：30×0.5×0.7×0.2，

期望总积分②：=10×0.5+20×0.5×0.3+30×0.5×0.7×0.2=10.1，

比较结果大小：13.6>10.1

故应选择题序①．

(1)根据题意可知，通关概率和未通关概率互为对立事件，设通关概率为P(A)，未通关概率为P(B)，则P(A)=1−P(B)，未通关概率P(B)，即A，B，C三道题均答错概率，通过求解对立事件概率P(B)，进而得出通关概率P(A)；

(2)计算并比较两种题序下，获得不同积分的期望值．

本题考查了对立事件，属于中档题．18.【答案】证明见解析；

1717【解析】(1)证明：连接AD1，BD1，CD1，设CD1∩C1D=H，连接FH．

在△ABD1中，E，G分别是AB，AD1的中点，

所以EG//BD1．

在△CBD1中，F，H分别是BC，CD1的中点，

所以FH//BD1，则EG/​/FH．

因为EG⊄平面C1DF，FH⊂平面C1DF，

所以EG/​/平面C1DF．

(2)过点D作DK⊥AB交AB于点K．

以D为坐标原点，DK所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，C1(0,2,4)．

设∠BAD=α，且α∈(0,π2)，则DK=ADsinα=2sinα，AK=ADcosα=2cosα．

设F(x0,y0,0)，

则x0=12DK=sinα,y0=12(CD+BK)=2−cosα，

即F(sinα,2−cosα,0)，

则DC1=(0,2,4),DF=(sinα,2−cosα,0)．

设平面C1DF的法向量为m=(x,y,z)，

则m⊥DC1m⊥19.【答案】证明见解析；

(−∞,2]．

【解析】(1)证明：令g(x)=x2sinπx2+x−2，那么导函数g′(x)=2xsinπx2+π2x2cosπx2+1．

令ℎ(x)=g′(x)，那么导函数ℎ′(x)=(2−π2x24)sinπx2+2πxcosπx2．

由于2−π2x24<0，sinπx2>0，2πxcosπx2<0，因此ℎ(x)<0，ℎ(x)在(1,2