2024-2025学年贵州省黔南州高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年贵州省黔南州高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−1<x≤4}，N={x|x−2>0}，则M∩N=(

)A.(−1,4] B.(−1,4) C.(2,4) D.(2,4]2.样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是(

)A.6 B.7 C.8 D.93.在△ABC中，E为边BC上的一点，且BE=3EC，则AE=A.14AB+34AC B.34.从0～9这10个数中随机选择一个数，则事件“这个数平方的个位上的数字是6”的概率为(

)A.110 B.15 C.3105.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则圆台的体积为(

)A.33π B.83π6.某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下：观看比赛场数01234567观看人数所占百分比7%18%15%m%10%14%15%5%从表中可以得出正确的结论为(

)A.估计观看比赛场数的极差为6

B.估计观看比赛场数的众数为2

C.估计观看比赛不低于4场的学生约为200人

D.估计观看比赛不超过2场的学生概率为0.47.如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一平面的两个测量基点C与D.现测量得∠BCD=30°，∠BDC=120°，CD=10m，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=(

)A.20m

B.203m

C.30m

8.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2，则函数g(x)=x−[x]的值域为(

)A.[0,1) B.(0,1] C.(−1,0) D.(−1,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=−1+2i(i是虚数单位)，则下列说法正确的是(

)A.|z|=5 B.z的虚部是2

C.复数z的共轭复数为z−=1+2i 10.已知事件A，B满足P(A)=0.1，P(B)=0.6，则下列说法正确的是(

)A.事件A与事件B可能为对立事件

B.若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立

C.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=0.7

D.若事件A与事件B相互独立，则P(AB)=0.0611.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是BB1，DD1，C1A.A，B1，P，N四点共面

B.异面直线CD1与BC1所成的角为π4

C.当点Q在线段B1C上运动时，三棱锥A1三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知θ为锐角，且cosθ=23，则tanθ=______．13.在一次猜灯谜活动中，共有10道灯谜、甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了4道，假设猜对每道灯谜是等可能的.若任选一道灯谜，则恰有一人猜对的概率为______．14.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，三棱柱ABC−A1B1C1为一“堑堵”，P是BB1的中点，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=lg(1+x)−lg(1−x)．

(1)求函数f(x)的定义域M；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，若f(t)=216.(本小题15分)

已知平面向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y)，且a//b,a⊥c．

(1)求b17.(本小题15分)

在△ABC中，c=3，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题.条件①：csinA=3acosC；条件②：(a−b)2=c2−ab．

18.(本小题17分)

2025年7月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行.志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值．

(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数)．

(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和15，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为线段PA，DC的中点．

(1)证明：EF//平面PBC；

(2)证明：AC⊥平面PBD；

(3)若PD=2，∠DAB=60°，记PC与平面PAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：因为M={x|−1<x≤4}，N={x|x−2>0}={x|x>2}，

所以M∩N={x|2<x≤4}=(2,4]．

故选：D．

根据集合的交集运算求解即可．

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】B

【解析】解：由题意可知，这组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数，即6+82=7．

故选：B．

根据中位数的定义求解．3.【答案】A

【解析】解：∵BE=3EC，

∴AE−AB=3(AC−AE)，

∴4AE=AB4.【答案】B

【解析】解：根据题意，从0～9这10个数中随机选择一个数，Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

若一个数平方的个位上的数字是6，则该数是4或6，共2种情况，

故所求概率为210=15．

故选：B．5.【答案】C

【解析】解：由题意圆台上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，

可设上、下底面的半径分别为r1，r2，高为ℎ，母线l=2，

则S1=πr12=π,S2=πr22=4π6.【答案】D

【解析】解：对于A，由表可知，估计观看比赛场数的极差为7−0=7，故A错误；

对于B，由表可知，m=100−7−18−15−10−14−15−5=16，

所以出现频率最高的场数为1，所以众数为1，故B错误；

对于C，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为10%+14%+15%+5%=44%，

所以估计观看比赛不低于4场的学生约为500×44%=220(人)，故C错误；

对于D，估计观看比赛不超过2场的学生概率为7%+18%+15%=40%=0.4，故D正确．

故选：D．

A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出m=16，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项．

本题主要考查了统计图的应用，考查了极差和众数的定义，属于基础题．7.【答案】C

【解析】解：在△BCD中，因为∠BCD=30°，∠BDC=120°，

所以∠CBD=180°−∠BDC−∠BCD=180°−120°−30°=30°，

由正弦定理得：BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，

即BCsin120∘=10sin30∘，解得BC=103，

在Rt△ABC中，AB=BCtan60°=103×8.【答案】A

【解析】解：设x=a+b，其中a=[x]，b为x的小数部分，则0≤b<1，

∴g(x)=x−[x]=b，

即g(x)的值域为[0,1)．

故选：A．

根据取整函数的定义求解即可．

本题考查了取整函数的定义与应用问题，是基础题．9.【答案】AB

【解析】解：由复数z=−1+2i，得|z|=(−1)2+22=5，故A正确；

复数z=−1+2i的虚部为2，故B正确；

复数z=−1+2i的共轭复数为z−=−1−2i，故C错误；

对于D，复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，位于第二象限，故D错误．

故选：AB．10.【答案】BCD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，已知P(A)=0.1，P(B)=0.6，由于P(A)+P(B)=0.7≠1，故A错误；

对于B，若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立，故B正确；

对于C，若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7，故C正确；

对于D，若事件A与事件B相互独立，P(AB)=P(A)P(B)=0.06，故D正确．

故选：BCD．

利用事件的对立可对A判断；由利用相互独立事件的定义，可对B判断；利用互斥事件的概率公式，即可对C判断；利用相互独立事件的概率公式即可对D判断．

本题考查相互独立事件、互斥事件的性质，涉及对立事件的性质，属于基础题．11.【答案】ACD

【解析】解：对于A：如图1，在正方体中，易知AB1/​/DC1．

又P，N分别是C1D1，DD1的中点，则PN//DC1，所以AB1//PN，即A，B1，P，N四点共面，故A正确；

对于B：如图2，分别连接AD1，CD1，AC，BC1，由题意，易知BC1/​/AD1，

则异面直线CD1与BC1所成的角为∠AD1C，易知△AD1C为等边三角形，故∠AD1C=π3，故B错误；

对于C：如图3，由等体积法，得VA1−BDQ=VQ−A1BD．

因为B1C/​/A1D，可得B1C/​/平面A1BD，又点Q在线段B1C上运动，

所以点Q到平面A1BD的距离为定值．又S△A1BD也为定值，

所以VQ−A1BD为定值，即VA1−BDQ=VQ−A1BD为定值，

且VA1−BDQ=VQ−A1BD=VC−A1BD=VA1−BCD=13S△BCD⋅AA1=1312.【答案】5【解析】解：由题意可得sinθ=1−cos2θ=1−49=53，

故tanθ=sinθcosθ13.【答案】1425【解析】解：根据题意可知，设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P(A)=810=45，P(B)=410=25，

所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：

P(AB−∪A−B)=P(A)P(B14.【答案】48π

6【解析】解：如图1，将三棱柱ABC−A1B1C1补成正方体ACBQ−A1C1B1Q1，

则其外接球的半径为23，

所以其外接球的表面积为4π×12=46π．

如图2，分别取AA1，A1C1，B1C1的中点为E，F，G，连接FG，EP，EF，PG．

易知FG/​/A1B1且FG=12A1B1=22，又AA1/​/BB1且AA1=BB1，

又A1E//B1P且A1E=B1P，

所以四边形A1B1PE为平行四边形，所以PE//A1B1，所以FG//PE，且FG=12PE，

所以P，E，F，G四点共面．

因为EF//AC1，又EF⊂平面PEFG，AC1⊄平面PEFG，

所以AC1/​/平面PEFG．

因为A1C1=B1C1且F，G分别为A1C1，B15.【答案】函数f(x)的定义域为(−1,1)；

−2．

【解析】(1)由题可得：1+x>01−x>0，解得−1<x<1，

则函数f(x)的定义域为M=(−1,1)，

(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，

又f(−x)=lg(1−x)−lg(1+x)=−[lg(1+x)−lg(1−x)]=−f(x)，

所以函数f(x)为奇函数，

又f(t)=2，所以f(−t)=−f(t)=−2．

(1)根据函数解析式，得1+x>01−x>0，解出不等式，取交集即可；

16.【答案】b=(3,6),c=(2,−1)；

【解析】(1)因为a/​/b，所以x−2×3=0，解得x=6，可得b=(3,6)，

根据a⊥c，可得1×2+2y=0，解得y=−1，可得c=(2,−1)；

(2)因为2a=(2,4)，b+c=(5,5)，

所以2a⋅(b+c)=2×5+4×5=30，|2a|=4+16=25，|b+c|=25+25=52，17.【答案】32；

(【解析】(1)选条件①：csinA=3acosC，由正弦定理得sinCsinA=3sinAcosC，

因为A∈(0,π)，所以sinA>0，可得tanC=3，

因为C∈(0,π)，所以C=π3，

在△ABC中，当c=3,b=2,C=π3时，

由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，

即3=a2+4−2×a×2×12，解得a=1，

所以S△ABC=12absinC=12×1×2×sinπ3=32；

选条件②：因为(a−b)2=c2−ab，整理得a2+b2−c2=ab，

由余弦定理可得a2+b2−c2=2abcosC，

可得cosC=12，

因为C∈(0,π)，所以C=π3，

在△ABC中，当c=3,b=2,C=π3时，

由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，

得3=a2+4−2×a×2×12，可得a=1，

所以S△ABC=12absinC=12×1×2×sinπ3=32；

(2)解法一：由题设及(1)可知C=π3,c=3．

由余弦定理，得(3)2=18.【答案】a=0.025；

69.50；71.67；

32．

【解析】(1)由频率分布直方图可得：10×(0.005+a+0.045+0.020+0.005)=1，解得a=0.025．

(2)由频率分布直方图易知每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.20，0.05，

所以这100名候选者面试成绩的平均数约为：

x−=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.20+90×0.05=69.50．

因为0.05+0.25=0.30<0.60，0.05+0.25+0.45=0.75>0.60，

设这100名候选者面试成绩的第60百分位数为m，则m∈[65,75)，

则0.30+(m−65)×0.045=0.60，解得m≈71.67，

故第60百分位数为71.67