2024-2025学年贵州省六盘水市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年贵州省六盘水市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据2，8，13，13，20的众数为(

)A.2 B.8 C.13 D.202.已知集合A={x∈Z|−2<x<3}，B={−2,−1,0,2,3}，则A∩B=(

)A.{−1,2} B.{−1,0,2}

C.{−1,0,1,2} D.{−2,−1,0,1,2,3}3.已知复数z=2−i，则1z−2=(

)A.−i B.i C.−1 D.14.下列图象中，有可能表示指数函数的是(

)A. B.

C. D.5.已知a=ln13，b=e13，c=log32，则A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a6.已知角α的终边经过点P(−4,3)，则下列选项正确的是(

)A.sinα=−34 B.cosα=35 C.7.已知三棱锥P−ABC，PA，PB，PC两两垂直，PA=2，PB=3，PC=5A.10π B.20π C.25π D.40π8.已知边长为1的正方形ABCD，动点P在以点A为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD，则λ+μA.2 B.1 C.22二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项为真命题的是(

)A.若c>b，b<a，则c>a B.若a<b<c<0，则ca<cb

C.若a>b>0，则a>b10.若a，b表示两条直线，α表示一个平面，则下列选项为真命题的是(

)A.若a//b，b⊂α，则a//α B.若a⊥α，a//b，则b⊥α

C.若a⊥α，b⊥α，则a//b D.若a//α，b⊂α，则a//b11.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=ac，AD=2DC，BDsin∠ABC=asinC，△ABD的面积为S1，△ABC的面积为A.S1=23S2 B.BD=b三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.写出命题“∃x∈R，x+3≥0”的否定：______．13.若函数f(x)=ax(a>1)在[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则f(log14.已知函数f(x)=x3−1,x>0−x,x≤0，g(x)=f(x)+f(−x)，则函数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知向量a=(2,−3)，b=(3,1)．

(1)求|a|及a⋅b的值；

(2)16.(本小题15分)

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．

(1)证明：BC⊥平面PAC；

(2)若PA=2AC，求二面角P−BC−A的平面角的正弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)18.(本小题15分)

为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图计算样本成绩的80%分位数；

(3)若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：m，x−，s12；n，y−，s22，记总的样本平均数为ω−，样本方差为s2，则s2=1m+n{m[s12+(x19.(本小题17分)

若定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f(x)+f(ax)=0，则称函数f(x)为“a型”弱对称函数．

(1)若函数f(x)=lnx−x+mx+1为“1型”弱对称函数，求m的值；

(2)若函数f(x)为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点x1，x2，x3，求x1x2x3的值；

(3)若函数f(x)为“2025型”弱对称函数，且恰有答案解析1.【答案】C

【解析】解：这组数据中13出现了2次，出现次数最多，所以众数是13．

故选：C．

根据众数的定义求解．

本题主要考查了众数的定义，属于基础题．2.【答案】B

【解析】解：∵A={x∈Z|−2<x<3}={−1,0,1,2}，B={−2,−1,0,2,3}，

∴A∩B={−1,0,2}．

故选：B．

根据集合的交集运算求解．

本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．3.【答案】B

【解析】解：由z=2−i，则1z−2=1−i=i．

故选：B4.【答案】D

【解析】解：指数函数的一般形式为y=ax(a>0且a≠1)，其具有以下性质：

定义域为R，值域为(0,+∞)

当a>1时，函数在R上单调递增；

当0<a<1时，函数在R上单调递减．

图象恒过点(0,1)，

A，C的图象不过点(0,1)，不可能是指数函数的图象；

B的图象表示一条直线，是一次函数，不可能是指数函数的图象；

观察图像可知，D有可能是指数函数图象．

故选：D．

5.【答案】A

【解析】解：因为y=log3x在(0,+∞)上单调递增，所以0=log31<log32<log33=1，即0<c<1，

因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，所以a=ln13<ln1=0，

由y=ex在R上单调递增，则b=e13>e6.【答案】D

【解析】解：对于A，sinα=3(−4)2+32=35，故A错误；

对于B，cosα=−4(−4)2+32=−45，故B错误；

7.【答案】A

【解析】解：因为三棱锥P−ABC，PA，PB，PC两两垂直，PA=2，PB=3，PC=5，

所以三棱锥P−ABC的外接球的直径2R即为长，宽，高分别为2，3，5的长方体的体对角线长，

所以(2R)2=2+3+5=10，

所以三棱锥8.【答案】B

【解析】解：已知边长为1的正方形ABCD，动点P在以点A为圆心且与BD相切的圆上．

以点A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，

则B(1,0)，D(0,1)，以A为圆心与BD相切的圆的半径为22，

设P(x,y)，

则x2+y2=12，

由AP=λAB+μAD，

所以(x,y)=(λ,0)+(0,μ)=(λ,μ)，

则x=λ，y=μ，

则λ+μ=x+y≤2×x2+y2=2×19.【答案】BCD

【解析】解：取a=5，b=0，c=2，满足c>b，b<a，但c<a，故A错误；

若a<b<0，则b−a>0，ab>0，所以1a−1b=b−aab>0，

又c<0，故ca<cb，故B正确；

因为a>b>0，所以a>b，故C正确；

因为c<d，所以−c>−d，又a>b，则a−c>b−d，故D正确．10.【答案】BC

【解析】解：若a/​/b，b⊂α，则a/​/α或a⊂α，所以A选项错误；

若a⊥α，a/​/b，则b⊥α，所以B选项正确；

若a⊥α，b⊥α，则a/​/b，所以C选项正确；

若a/​/α，b⊂α，则a/​/b或a与b异面，所以D选项错误．

故选：BC．

根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．11.【答案】ABD

【解析】解：A选项，因为AD=2DC，所以AD=2DC=23b，

所以S1S2=ADAC=23，即S1=23S2，故A选项正确；

B选项，根据正弦定理，得cb=sinCsin∠ABC，又BDa=sinCsin∠ABC，

所以cb=BDa，即BD=acb=b2b=b，故B选项正确；

C选项，D选项，在△ABC中，根据余弦定理，cosC=a2+b2−c22ab，

在△BCD中，cosC=a2+b29−b22a×b3，则a2+b2−c22ab12.【答案】∀x∈R，x+3<0

【解析】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，

命题“∃x∈R，x+3≥0”的否定为“∀x∈R，x+3<0”．

故答案为：∀x∈R，x+3<0．

利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出即可．

本题考查了存在量词命题的否定问题，是基础题．13.【答案】5

【解析】解：∵a>1，∴f(x)=ax在[1,2]单调递增，

∴f(x)的最小值为f(1)=a，最大值为f(2)=a2，

∵最大值是最小值的2倍，∴a2=2a，解得a=2或a=0(舍)，

∴f(x)=2x，

∴f(log214.【答案】3

【解析】解：当x=0时，g(0)=2f(0)=0，

所以0是g(x)的零点，

当x>0时，−x<0，

所以g(x)=f(x)+f(−x)=x3−1+x=x3+x−1，

因为y=x3，y=x−1均在(0,+∞)上单调递增，

所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，

又g(0)=−1<0，g(1)=1>0，

则g(0)⋅g(1)<0，

所以g(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点，

当x<0时，−x>0，

g(x)=f(x)+f(−x)=−x+(−x)3−1=−x3−x−1，

易知g(x)在(−∞,0)上单调递减，

又g(−1)=1>0，g(0)=−1<0，

则g(−1)⋅g(0)<0，

所以g(x)在(−∞,0)上有且仅有1个零点，

综上，15.【答案】13，3；

12【解析】(1)由a=(2,−3)，b=(3,1)，

可得|a|=13，

a⋅b=2×3+(−3)×1=3；

(2)由题意，a−λb=(2−3λ,−3−λ)，2a−b=(1,−7)，

由(a−λb)//(2a16.【答案】证明见解析；

25【解析】(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．

因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，

所以BC⊥AC．

又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC．

(2)由(1)知BC⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC．

又因为BC⊥AC，

所以∠PCA就是二面角P−BC−A的平面角．

设AC=a，因为PA=2AC，所以PA=2a．

在Rt△PAC中，因为PC=PA2+AC2=5a．

所以sin∠PCA=PAPC=2a5a=255．17.【答案】π；

f(x)max=3，f(x)min=0【解析】(1)由题意可得f(x)=cos2x+3sin2x+1=2cos(2x−π3)+1，

可得f(x)的最小正周期T=2π2=π；

(2)由x∈[0,π2]，可得2x−π3∈[−π3,2π3]，

可得当2x−π3=0，即x=π6时，f(x)max=3，

当2x−π3=2π3，即x=π2时，f(x)min=0；

(3)由题意可得g(x)=f(x+φ)−1=2cos[2(x+φ)−π3]=2cos(2x+2φ−π3)，

若g(x)为奇函数，可得18.【答案】0.030；

86；

z−=71，s【解析】(1)根据题意可知，(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，解得a=0.030；

(2)由题，成绩在[40,80)的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

在[40,90)的频率为0.65+0.25=0.9，

所以样本成绩的80%分位数在[80,90)内，设样本成绩的80%分位数为m，

则0.65+(m−80)×0.025=0.8，解得m=86，

所以样本成绩的80%分位数为86；

(3)[60,70)频率为0.2，样本量m=20，[70,80)的频率为0.3，样本量n=30，

所以两组样本的总体平均数z−=25×65+35×75=71，

两组样本的总方差s2=25[6+(65−71)2]+19.【答案】−1．

8．

4545．

【解析】(1)由于函数f(x)为“1型”弱对称函数，因此f(x)+f(1x)=0，

所以lnx−x+mx+1+ln1x−1x+m1x+1=0，化简整理得方程(1+m)x+1+m=0