2024-2025学年广西河池市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西河池市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.z与z−是共轭复数，已知复数z=3−ii，则A.−1+3i B.−1−3i C.1−3i D.1+3i2.某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校5000名学生中抽取了一个容量为100的样本，已知样本的成绩全部分布在区间[45,95]内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中m=(

)A.0.3 B.0.03 C.0.25 D.0.0253.下列向量的概念错误的是(

)A.长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的

B.零向量和任何向量都是共线向量

C.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等

D.a//b，b4.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.π6 B.π4 C.π35.如图所示，已知在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，AF与DE交于点M.设AB=a,AD=bA.AC=a−b

B.AF=a6.已知样本空间Ω={a,b,c,d}，事件A={a,b}，事件B={a,c}，则下列选项错误的是(

)A.P(A)=12 B.P(B)=12

C.事件A与事件B独立 D.事件7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=π2,AC=4,BC=2,AA1A.4+25

B.42+2

8.某市圆形花圃，现要均分成24块，种植24种不同花卉，工匠计划将花圃按图1方式分割.先将花圃均分成8块，在按照图2将每个18角花圃近似的均分成三块(三部分面积近似均等)，从弧AC的中点B出发，左右对称分割，已知图2中DE=DF，EB=FB，BD=AD=CD=r，则DE的长度最接近(sinπ8≈0.4,π≈3.1)A.12r B.13r C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设α，β为不重合的两平面，n，m为不重合的两直线，则下列说法正确的是(

)A.m⊥α，m⊥n，则n⊥α

B.m//α，n//α，m⊂β，n⊂β，m∩n=P，则β//α

C.m//α，α//β，则m//β

D.m⊥α，n⊥α，则m//n10.已知复数z1=1+i，z2=2−2iA.|z1+z2|=10 B.z1−z2对应的点在复平面的第三象限11.在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2，且|F1|=|F2|,A.θ越大越费力，θ越小越省力

B.当θ=π3时，|F1|=|G|

C.当θ=π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,x),b=(−4,x)，若a⊥b，则13.3+i是关于x的方程x2−6x+m=0的一个根，则实数m=______．14.正四面体ABCD的棱长为8，E为棱BC的中点，过点E作正四面体ABCD外接球的截面，则截面面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a(sinA+sinB)=(c−b)(sinC+sinB)．

(1)求角C；

(2)若c=3，△ABC的面积为334，求△ABC16.(本小题15分)

2025年NBA选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩(个数)如下：甲476549107810乙7586797678(1)求甲运动员的样本数据第75百分位数；

(2)分别计算这两位运动员每轮投篮成绩的平均数和方差；

(3)根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？17.(本小题15分)

一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的4个小球，其中3个红球，1个白球，设计了两个摸球游戏，其规则如表所示：游戏1游戏2摸球方式不放回依次摸2球有放回依次摸2球获胜规则若摸出2个红球，则甲获胜，否则乙获胜(1)写出游戏1与游戏2的样本空间，并分别求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率；

(2)甲与乙两人玩游戏1，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率．18.(本小题17分)

如图，已知三棱锥P−ABC中，平面ABC//平面A1B1C1，BC⊥平面PAB，N为AB的中点，△PAB为等边三角形，A1为PA中点，AB=BC=4．

(1)证明：PN⊥平面ABC；

(2)求直线AB1与平面19.(本小题17分)

已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．

(1)记向量ON=(2,2)的相伴函数为f(x)，若当f(x)=2且x∈(0,π)时，求x的值；

(2)设g(x)=3cos(x+π3)+sin(x+π3)(x∈R)，试求函数g(x)的相伴特征向量OM答案解析1.【答案】A

【解析】解：由题意可知，z=3−ii=(3−i)ii2=3i+1−1=−1−3i，

所以z−2.【答案】B

【解析】解：由题意可得(0.01×2+0.015+0.035+m)×10=1，

解得m=0.03．

故选：B．

根据所有矩形面积之和为1列式求出m的值．

本题考查由频率分布直方图求参数，属于基础题．3.【答案】D

【解析】解：对于A，零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确，

对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确，

对于C，相等向量的模长和方向都相同，一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确，

对于D，对于a//b，b/​/c，当b为零向量时，此时不一定能得到a/​/c，故D错误．

故选：4.【答案】C

【解析】解：连结A1D，BD，则A1D/​/B1C，

所以∠DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，

在正方体中，因为△A1BD为正三角形，

所以∠DA1B=π3．

5.【答案】A

【解析】解：在正方形ABCD中，有AC=AB+AD=a+b，故A错误；

由F为BC的中点，可得AF=AB+BF=a+12b，故B正确；

由E为AB的中点，可得DE=AE−AD=12a−b，故C正确；

6.【答案】D

【解析】解：样本空间Ω={a,b,c,d}，事件A={a,b}，事件B={a,c}，

对于A，P(A)=24=12，故A正确；

对于B，P(B)=24=12，故B正确；

对于C，∵A∩B={a}，∴P(AB)=14=P(A)P(B)，∴事件A与事件B独立，故C正确；

对于D，∵事件A与事件B有公共的样本点{a}，∴事件B与事件B不是互斥事件，故D错误．

7.【答案】D

【解析】解：将平面ABC、平面AA1C1C沿AC翻折至同一平面，如下图所示：

则当A1、B、D三点共线时，A1D+DB取最小值，

因为A1C1=CC1=4，BC=2，且∠ACB=∠ACC1=90°，

延展后，B、C、C1共线，所以BC1=2+4=6，A1C1=4，∠A1C1B=90°，

8.【答案】B

【解析】解：由已知得，AD=BD=CD=r，设DF=DE=x，

则S四边形DEFB=13×S扇形ADC=13×18πr2=124πr9.【答案】BD

【解析】解：已知α，β为不重合的两平面，n，m为不重合的两直线，

对于A选项，若m⊥α，m⊥n，

则n/​/α或n⊂α，

A错；

对于B选项，若m/​/α，n/​/α，m⊂β，n⊂β，m∩n=P，

则β/​/α，

B对；

对于C选项，若m/​/α，α/​/β，

则m//β或m⊂β，

C错；

对于D选项，若m⊥α，n⊥α，

由线面垂直的性质可得m/​/n，

D对．

故选：BD．

根据线面、面面的位置关系可判断AC选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用线面垂直的性质定理可判断D选项．

本题考查了线面位置关系，线线位置关系，属基础题．10.【答案】ACD

【解析】解：复数z1=1+i，z2=2−2i，

对于A，|z1+z2|=|3−i|=10，故A正确，

对于B，z1−z2=−1+3i，则对应的点为(−1,3)，位于第二象限，故B错误，

对于C，z3=z1×z2=(1+i)(2−2i)=2−2i+2i−211.【答案】AD

【解析】解：对于A，由|G|=|F1+F2|为定值，

得|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cosθ=2|F1|2(1+cosθ)，

解得|F1|2=|G|22(1+cosθ)；

由题意知θ∈(0,π)时，y=cosθ单调递减，且|G|2为定值，

由符合函数的单调性可得|F1|2单调递增，

即12.【答案】±2

【解析】解：由题意可得，a⋅b=−4+x2=0，解得x=±2．

故答案为：±2．13.【答案】10

【解析】解：3+i是关于x的方程x2−6x+m=0的一个根，

则3−i也是关于x的方程x2−6x+m=0的一个根，

由韦达定理，m1=(3+i)(3−i)=10．

故答案为：10．

根据已知条件，推得3−i也是关于14.【答案】16π

【解析】解：如图，

由对称性可知其外接球的球心在高PA所在的直线上，

设球心为O，

则DP=12×BCsinπ3=833，

AP=AD2−DP2=863，

EP=ED−DP=32BC−833=433，

设外接球的半径为R，则AO=OD=R，

故R2=(AP−R)2+DP2，

代入AP15.【答案】C=2π3；

3+2【解析】(1)因为a(sinA+sinB)=(c−b)(sinC+sinB)，

所以a(a+b)=(c−b)(c+b)=c2−b2，

整理可得a2+b2−c2=−ab，

所以cosC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，

又0<C<π，

所以C=2π3；

(2)由题意可得S△ABC=12absinC=34ab=16.【答案】9；

甲的平均数为7，方差为4.6，乙的平均数为7，方差为1.2；

乙发挥的更加稳定，理由见解析．

【解析】(1)甲运动员的成绩从小到大排列为4，4，5，6，7，7，8，9，10，10，

因为10×75%=7.5，

所以甲运动员的样本数据第75百分位数为9；

(2)由题意可知，甲的平均数为4+4+5+6+7+7+8+9+10+1010=7，

所以方差为s12=110[(4−7)2+(7−7)2+(6−7)2+(5−7)2+(4−7)2+(9−7)2+(10−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(10−717.【答案】P(A1)=12，P(A【解析】(1)根据题意，记三个红球为1，2，3，记白球为w，用(x,y)表示两次摸球的情况，

记游戏1与游戏2的样本空间分别为Ω1，Ω2

Ω1={(1,2)，(1,3)，(1,w)，(2,1)，(2,3)，(2,w)，(3,1)，(3,2)，(3,w)，(w,1)，(w,2)，(w,3)}

Ω2={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,w)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,w)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,w)，(w,1)，(w,2)，(w,3)，(w,w)}

记A1=“在游戏1中甲获胜”，记A2=“在游戏2中甲获胜”，

在游戏1中甲获胜，即甲摸出2个红球，

则A1={(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，

故P(A1)=n(A1)n(Ω1)=612=12，

在游戏2中甲获胜，即甲摸出2个红球，

则A2={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}，

故P(A2)=n(A2)n(Ω2)=916，

(2)根据题意，记18.【答案】证明见解析；

π6；

3【解析】(1)证明：因为△PAB为等边三角形，N为AB的中点，

所以PN⊥AB，

因为BC⊥平面PAB，PN⊂平面PAB，

所以PN⊥BC，

因为AB∩BC=B，AB、BC⊂平面ABC，

故PN⊥平面ABC．

(2)取线段BN的中点E，连接B1E，如下图所示：

因为B1、E分别为PB、BN的中点，所以B1E//PN，

因为PN⊥平面ABC，

所以B1E⊥平面ABC，

故∠BAB1为直线AB1与平面ABC所成角，

因为平面ABC/​/平面A1B1C1，平面PAB∩平面ABC=AB，

平面PAB∩平面A1B1C1=A1B1，所以A1B1/​/AB，

因为A1为PA的中点，故B ​1为PB的中点，

又因为△PAB为等边三角形，故∠BAB1=π6，

因此，直线AB1与平面ABC所成角为π6．

(3)连接C