2024-2025学年广西桂林中学高二（下）期末数学试卷（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西桂林中学高二（下）期末数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−1<x≤4}，N={x|x−2>0}，则M∩N=(

)A.(−1,4] B.(−1,4) C.(2,4) D.(2,4]2.在等比数列{an}中，a1+a2=1A.4 B.±4 C.2 D.±23.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2A.433 B.3344.(x+1)n的展开式中x2的系数为21，则A.4 B.5 C.6 D.75.若命题p：f(x)=a−22x+1为奇函数，q：g(x)=x2+(aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验.根据种群一的试验结果得到如下列联表：药物A疾病B合计未患病患病未服用282250服用341650合计6238100计算得到χ2≈1.528，假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为表格对应单元格数据的5倍，则根据小概率值α的独立性检验，(

)

附：α0.10.050.010.005x2.7063.8416.6357.879A.当α=0.05时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5%B.当α=0.05时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10%

C.当α=0.01时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1%

D.当α=0.005时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5%7.Sn=−n2+8n，则数列A.112 B.48 C.80 D.648.已知对任意的正数x，不等式ex+1e≥(a+1A.e B.e1e C.e+1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于(x2−2A.展开式在合并同类项之后共有7项 B.展开式中常数项为15

C.展开式的系数之和为1 D.展开式的最后一项的系数最大10.已知函数f(x)=13x3A.f(x)的图象关于点(0,4)对称

B.f(x)的极大值点为(−2,283)

C.f(x)在区间[0,3]上的值域为[−43,4]

D.若关于x11.已知F1，F2分别为双曲线x2−y2=2的左，右焦点，P为双曲线右支上一点且满足2A.双曲线的虚轴长为2

B.PF1⋅PF2=12

C.r的取值范围为[三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某事件A发生的概率为p(0<p<1)，则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为______．13.已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>3)的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点的直线l交14.已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0)的图象与直线y=1在区间[0,2π]上恰有4个交点，从左向右依次为A，B，C，D，且AB=2BC=CD，则M+ω的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ex−ax2−x，a∈R．

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若不等式f(x)≥1对任意16.(本小题15分)

已知某产品的一个零件在甲工厂生产，由于设备老化，甲工厂生产的零件次品率为0.1．

(1)为了解甲工厂生产情况，从生产的所有零件中随机抽取3件，记这3件产品中正品⊨次品的个数分别为X，Y，记随机变量ξ=X−Y，求ξ的分布列及E(ξ)；

(2)为降低产品次品率，甲工厂进行了技术改进，从改进后第1个月开始连续收集5个月的观测数据，用xi表示改进后的第i个月，用yi(单位：%)表示改进后第i个月的次品率，其中i=15(yi−y−)2≈1.3，利用最小二乘法得到经验回归直线方程为y=−0.4x+6.3，求相关系数r(精确到17.(本小题15分)

如图，正三棱柱ABC−A1B1C1(底面为正三角形，侧棱和底面垂直)的所有棱长都为2，D为CC1的中点，O为BC中点．

(1)求证：BD⊥平面AO18.(本小题17分)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足1a1−1a2=2a3,S4=30，数列{bn}满足：b1=1，19.(本小题17分)

如图，已知椭圆Γ：x2a2+y2=1的焦距为2，若△PQR是椭圆Γ的内接三角形，点P在x轴上方，PQ，PR分别经过椭圆Γ的左右焦点F1，F2，则称△PQR为“好三角形”．

(1)求椭圆Γ的离心率；

(2)若“好三角形”△PQR满足：PF

参考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.A

6.C

7.C

8.A

9.AC

10.AC

11.BC

12.1413.x214.[1115.解：(1)由f(x)=ex−ax2−x，得f′(x)=ex−2ax−1，

所以当x=0时，f(0)=e0−0−0=1，f′(0)=e0−0−1=0，

由曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−f(0)=f′(0)(x−0)，可得y−1=0(x−0)，

化简得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1．

(2)令g(x)=f′(x)=ex−2ax−1，则g′(x)=ex−2a，

由x∈[0,+∞)，得ex∈[1,+∞)，所以将参数a按以下情况分类讨论：

①当a≤12时，有g′(x)=ex−2a≥0，则g(x)=ex−2ax−1在区间[0,+∞)上是单调递增函数，

即[g(x)]min=g(0)=0，从而可知f′(x)=g(x)≥0，

所以函数f(x)=ex−ax2−x在区间[0,+∞)上也是单调递增函数，

即f(x)有最小值f(0)=1，此时不等式f(x)≥1对任意x∈[0,+∞)恒成立，

所以当a≤12时，满足题意；

②当a>12时，由g′(x)=ex−2a=0得，x=ln2a∈(0,+∞)，

则当x∈[0,ln2a)时，g′(x)=ex−2a<0，则g(x)=ex−2ax−1在区间[0,ln2a)上是单调递减函数，

且当x∈(ln2a,+∞)时，g′(x)=ex−2a>0，则g(x)=ex16.(1)由已知X+Y=3，所以ξ=X−Y=3−2Y，Y～B(3,0.1)，

ξ的取值分别为3，1，−1，−3，

P(ξ=3)=P(Y=0)=0.93=0.729，

P(ξ=1)=P(Y=1)=C31×0.1×0.92=0.243，ξ31−1−3P0.7290.2430.0270.001Eξ=3×0.729+1×0.243+(−1)×0.027+(−3)×0.001=2.4

(2)由已知x−=1+2+3+4+55=3i=15(xi−x−)17.证明：(1)∵△ABC是正三角形，O为BC中点，∴AO⊥BC，

∵在正三棱锥ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

平面ABC∩平面BCC1B1=BC，

∴AO⊥平面BCC1B1，∴AO⊥BD，

∵正方形BCC1B1中，△BCD≌△B1BO，

∴∠BOB1+∠OBD=∠CDB+∠OBD=90°，

∴B1O⊥BD，

∵AO∩B1O=O，∴BD⊥平面AOB1．

解：(2)设B1C1中点为O1，

由(1)知可取O为原点，分别取OB，OO1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，D(−1,1,0)，A1(0,2,3)，A(0,0,3)，C(−1,0,0)，18.解：(1)设数列{an}的公比为q，

因为1a1−1a2=2a3，即1a1−1a1⋅q=2a1⋅q2，解得q=−1或q=2，

当q=−1时，S4=0，不合题意，舍去，

所以q=2，

由S4=30=a1(1−24)1−2，解得a1=2，

所以an=2n，

对于{bn}，因为b1+12b2+13b3+⋯+1nbn=bn+1−1①，

当n=1时，b1=b2−1，则b2=2，

当n>1时，b1+12b2+13b3+⋯+1n−1bn−1=b19.(1)因为椭圆Γ：x2a2+y2=1的焦距为2，

所以2c=2，故c=1，又b=1，

所以a=b2+c2=2，

故椭圆的离心率e=ca=22；

(2)设P(x0,y0)，y0>0，Q(x1,