（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第04讲 对数与对数函数（原卷版）

第页第04讲对数与对数函数1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为；(3)对数的性质和运算法则：①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．对数函数的图象图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例题1-1】______．【例题1-2】计算的值为______.【例题1-3】若，，用a，b表示____________【变式1-1】若，且，则__________．【变式1-2】解关于x的不等式解集为_____．题型二：对数函数的图像【例题2-1】函数的图象恒过定点（

）A．B．C．D．【变式2-1】已知函数，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【变式2-2】不等式的解集为__________．题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例题3-1】已知函数，若在上为减函数，则a的取值范围为（

）A．B．C．D．【例题3-2】已知函数在上的最大值是2，则a等于_________【例题3-3】若函数有最小值，则的取值范围是______．【变式3-1】函数的单调递区间为（

）A．B．C．D．【变式3-2】已知函数，则（

）A．在单调递减，在单调递增B．在单调递减C．的图像关于直线对称D．有最小值，但无最大值【变式3-3】若函数在上单调，则a的取值范围是（

）A．B．C．D．题型四：对数函数中的恒成立问题【例题4-1】已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.【例题4-2】若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【变式4-1】已知函数.(1)若，求a的值；(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.题型五：对数函数的综合问题【例题5-1】已知正实数，满足：，则的最小值为______.【变式5-1】若满足，满足，则等于（

）A．2B．3C．4D．5【变式5-2】已知是方程的根，是方程的根，则的值为（

）A．2B．3C．6D．10第04讲对数与对数函数1．“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知，，有以下命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（

）A．②③B．①③C．①④D．②④3．函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（

）A．B．C．D．4．“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．设，则的大小关系为（

）A．B．C．D．6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．697．已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（

）A．B．C．D．8．已知，，，则的最小值为（

）A．4B．6C．8D．107．（多选）（已知，现有下面四个命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则8．设定义在上且，则______．9．设，，，若，，则