2024-2025学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页024-2025学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知正项等比数列{an}，a2aA.2 B.3 C.4 D.82.已知x与y之间的一组数据：x1234y5.543.53若y与x满足回归方程y=bx+5，则A.−25 B.−45 C.3.在正方体ABCD−A′B′C′D′中，O为底面ABCD的中心，则直线A′O与B′D′所成的角为(

)A.45° B.60° C.90° D.120°4.小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为(

)A.12 B.24 C.36 D.485.已知圆锥的表面积为12π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为(

)A.4π B.433π C.6.已知曲线f(x)=(x+1)3在点(1,8)处的切线与直线y=kx平行，则k=(

)A.8 B.12 C.13 D.147.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB⊥CD，PB与底面ABCD所成角为60°，PB=2，则CD到平面PAB的距离是(

)A.12 B.1 C.328.袋子A中有2张10元纸币和4张1元纸币，袋子B中有6张5元纸币.现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从两个袋子中各取出几张纸币，则从A中取出的纸币的面值之和大于从B中取出的纸币的面值之和的概率为(

)A.730 B.2390 C.310二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设某车床生产的零件长度为随机变量X，X～N(5,1)，则下列说法正确的是(

)A.E(X+3)=8 B.D(3X+1)=4

C.P(2≤X≤8)=1−2P(X>8) D.P(6≤X≤7)<P(4≤X≤5)10.等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=1A.a5=−3 B.数列{a2n−1}的第10项为−13

C.数列{1ana11.已知棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1A.正方体棱上满足条件的P的个数为3

B.正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，截面面积为23

C.正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，被截去较小部分的体积为12

D.点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2x+1x)5的展开式中，x3的系数是______(13.已知∀x∈[1,2]，xlnx+ax+2≤0恒成立，则a的取值范围是______．14.在一个数字转换程序中，S1，S2分别输入正整数m，n，经该转换程序处理后输出的数值为A(m,n)，该程序运行满足以下3个条件：

①A(1,1)=1；②A(m+1,1)=4A(m,1)+3；③A(m,n+1)=A(m,n)+3．

若S2输入2025，且输出的数值为6103，则S四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=(x+2)ex．

(1)求f(x)的单调区间及最值；

(2)设g(x)=f(x)−k，讨论g(x)在区间[−1,1]上的零点个数．16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2,a2n+1=2an+3(n∈N∗)，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，E，F分别是棱BC，CD上的动点．

(1)设E，F分别为BC、CD的中点.证明：EF//平面AB′D′；

(2)设BE=CF．

(i)证明：B′F⊥D′E；

(ii)当三棱锥A′−CEF的体积取得最大值时，求平面A′EF与平面CEF夹角的余弦值．18.(本小题17分)

某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据：

单位：人性别商场购物意愿合计喜欢在商场购物不喜欢商场购物男性603090女性9020110合计15050200(1)根据小概率值α=0.050的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联．

(2)采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望．

(3)某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为P(n)，求当P(n)取最大值时n的值．

附：χ2=n(ad−bcα0.0500.0100.001x3.8416.63510.82819.(本小题17分)

已知f(x)=ex+e−x+λsinx(λ∈R)．

(1)若f(x)为偶函数，求λ的值；

(2)若f(x)在区间(0,π)内有两个不同的极值点x1，x2，求证：x1+x2>π；

(3)当λ=2时，定义复数zn=f(nπ)+if′(nπ)，答案解析1.【答案】C

【解析】解：正项等比数列{an}，a2a4=16，

∴a2a4=a32，即2.【答案】A

【解析】解：x=14(1+2+3+4)=52，y=14(5.5+4+3.5+3)=4，

根据线性回归方程的性质可知，线性回归方程y=bx+5过样本中心点(523.【答案】C

【解析】解：因为B′D′//BD，

所以直线A′O与B′D′所成的角即为∠BOA′，

设正方体棱长为2，

所以A′B=22，A′O=6，BO=2，

由余弦定理cos∠BOA′=BO2+A′O2−A′B22BO⋅A′O=2+6−82×4.【答案】D

【解析】解：已知1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，

将“a”和“b”看成一个整体，与1，2，3进行全排列，再将“a”和“b”交换顺序，

所以不同的放置方式种数为A44A22=48．

故选：D．

将“5.【答案】D

【解析】解：设圆锥的半径为r，母线长为l，

∵侧面展开图是一个半圆，则πl=2πr，即l=2r，

又圆锥的表面积为12π，则πr2+πrl=12π，解得r=2，l=4，

则圆锥的高ℎ=l2−r2=23，

∴圆锥的体积V=13πr26.【答案】B

【解析】解：因为f(x)=(x+1)3，

所以f′(x)=3(x+1)2，

故f(x)在点(1,8)处切线斜率为f′(1)=12，

由两直线平行得斜率相等，即k=12．

故选：B．

求导，利用导数的几何意义求出f(x)在点(1,8)处切线斜率7.【答案】D

【解析】解：点P到平面ABCD的距离ℎ=2sin60°=3，

又AB⊥PB，

所以S△PAB=12×2×2=2，S△ABD=12×2×2sin60°=3，

设点D到平面PAB的距离为d，

由VD−PAB=VP−ABD，

所以13⋅S△PAB⋅d=13⋅S△ABD⋅ℎ，

则2d=3×3，

所以d=32．

8.【答案】B

【解析】解：根据题意，设骰子掷出的点数为X，事件C=“从A中取出的纸币的面值之和大于从B中取出的纸币的面值之和”，由题可得X可取1，2，3，4，

则P(C)=P(X=1)×26+P(X=2)×C62−C42C62+P(X=3)×C22C41C9.【答案】ACD

【解析】解：对于A：由题易知X满足正态分布，所以E(X)=5，D(X)=1；

进而得到E(X+3)=E(X)+3=8，A正确；

对于B：根据方差的性质可以得到D(3X+1)=32D(X)=9，B错误；

对于C：因为X满足正态分布X～N(5,1)，

所以其密度曲线关于X=5对称，

所以P(X<2)=P(X>8)，

即P(2≤X≤8)=1−P(X<2)−P(X>8)=1−2P(X>8)，C正确；

对于D：由正态分布密度曲线可知P(6≤X≤7)=P(3≤X≤4)<P(4≤X≤5)，D正确．

故选：ACD．

AB选项，根据E(X)=5，D(X)=1和期望和方差的性质判断AB；

CD选项，利用正态分布密度曲线对称性和概率之和为1得到CD10.【答案】AC

【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=1，S4=8，

对于A，设数列{an}的公差为d，

则a3=a1+2d=1，S4=4a1+4×32d=8，

解得a1=5，d=−2．

∴an=5+(n−1)×(−2)=−2n+7，a5=−3，故A正确；

对于B，由A，an=−2n+7，则数列{a2n−1}的第10项a19=−31，故B错误；

对于C，由A，得1anan+1=1(7−2n)(5−2n)=12(15−2n−17−2n)，

∴数列11.【答案】ACD

【解析】解：取过直线AB的平面，在此平面内建立平面直角坐标系，如图，

则A(0,0)，B(3,0)，设P(x,y)，由PA=2PB，

得3(x−3)2+y2=x2+y2，

整理得(x−4)2+y2=4，点P的轨迹是以点O(4,0)为圆心，2为半径的圆，即PO=2，

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，延长AB至O，使BO=1，则PO=2，

因此在空间中，点P的轨迹是以O为球心，2为半径的球面，如图所示，

该球面与正方体的棱有3个交点E，F，G，OE=OF=OG=2，BE=1，

BF=BG=3，EF=EG=2,FG=6，

截面为三角形EFG，且S△EFG=12×6×22−(612.【答案】80

【解析】解：Tr+1=∁5r(2x)5−r(1x)r=25−r∁513.【答案】(−∞,−2]

【解析】解：根据条件，可得a≤−lnx−2x，令函数f(x)=−lnx−2x，x∈[1,2]，

那么导函数f′(x)=−1x+2x2=2−xx2≥0，

因此函数f(x)在[1,2]单调上递增，即函数f(x)的最小值为f(1)=−2，那么a≤−2．

14.【答案】3

【解析】解：S1，S2分别输入正整数m，n，经该转换程序处理后输出的数值为A(m,n)，

该程序运行满足以下3个条件：

①A(1,1)=1；②A(m+1,1)=4A(m,1)+3；③A(m,n+1)=A(m,n)+3，

依题意得：A(1,1)=1，A(m+1,1)=4A(m,1)+3，

A(m+1,1)=A(m,1)+3，

∵A(m+1,1)=4A(m,1)+3，

∴A(m+1,1)+1=A(m,1)+4=4[A(m,1)+1]，

∴A(1,1)+1，A(2,1)+1，…，A(m,1)+1是以首项为A(1,1)+1=2，

公比为4的等比数列．

∴A(m,1)+1=2×4m−1=22m−1，∴A(m,1)=22m−1−1．

∵A(m,n+1)=A(m,n)+3，∴A(m,n+1)−A(m,n)=3．

∴A(m,1)，A(m,2)，…，A(m,n)是以首项为A(m,1)=22m−1−1，

公差为3的等差数列．

∴A(m,n)=A(m,1)+(n−1)⋅3=22m−1−1+3n−3=22m−1+3n−4．

A(m,n)=22m−1+3n−4=6103中，令n=2025，

可得22m−1+3×2025−4=6103⇒m=3，S1输入的正整数为3．

故答案为：3．

先推出A(1,1)+1，A(2,1)+115.【答案】单调递减区间为(−∞,−3)，单调递增区间为(−3,+∞)，最小值为f(−3)=−1e3，没有最大值．

当k∈(−∞,1e)∪(3e,+∞)时，g(x)在[−1,1]上没有零点；

当k∈[1e【解析】(1)导函数f′(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，令f′(x)=0，解得x=−3．

当x>−3时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x<−3时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

因此当x=−3时，函数f(x)取最小值为f(−3)=−1e3，f(x)没有最大值．

因此函数f(x)单调递增区间为(−3,+∞)，单调递减区间为(−∞,−3)，

且f(x)没有最大值，最小值为f(−3)=−1e3．

(2)g(x)=f(x)−k，由(1)，可知f(x)在[−1,1]上递增，而f(−1)=1e，f(1)=3e．

根据k的不同取值，分情况讨论：

①当k<1e时，对于x∈[−1,1]，由于f(x)≥f(−1)=1e>k，则g(x)>0恒成立，故g(x)没有零点．

②当k>3e时，由f(x)≤f(1)=3e<k，即g(x)<0恒成立，故g(x)没有零点；

③当1e≤k≤3e时，由f(x)的单调性，可知存在唯一c∈[−1,1]，使g(c)=0，

故g(x)有唯一零点x=c．

综上，当k∈(−∞,1e)∪(3e,+∞)时，g(x)在[−1,1]上没有零点；

当k∈[116.【答案】an=2n−1，bn=2n【解析】(1)由等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2,a2n+1=2an+3(n∈N∗)，

可得4a1+6d=4(2a1+d)，即d=2a1，又a3=a1+2d=2a1+3，即a1=2d−3，解得a1=1d=2．

所以an=1+(n−1)×2=2n−1．

在等比数列{bn}中，当n≥2时，由bn+1=Tn+2(n∈N∗)，可得bn=Tn−1+2，

相减可得17.【答案】证明见解析；

(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)3【解析】(1)证明：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a，E，F分别是棱BC，DC的中点，

则D′(0,0,a)，B′(a,a,a)，F(0,12a,0)，E(12a,a,0)，

所以D′B′=(a,a,0)，FE=(12a,12a,0)，

则D′B′=2FE，所以D′B′//EF，

又EF⊄平面AB′D′，B′D′⊂平面AB′D′，

所以EF/​/平面AB′D′．

(2)(ⅰ)证明：设BE=CF=m，则F(0,a−m,0)，E(a−m,a,0)，

所以D′E=(a−m,a,−a)，B′F=(−a,−m,−a)，D′E⋅B′F=(a−m)(−a)−am+a2=0，

所以B′F⊥D′E．

(ⅱ)在正方体ABCD−A′B′C′D′中，VA′−CEF=13⋅S△CEF⋅AA′，

若三棱锥A′−CEF的体积取得最大值，

则S△CEF取得最大值，又BE=CF=m．

S△CEF=12⋅CE⋅CF=12⋅(a−m)⋅m≤12⋅(a−m+m2)2=a28，

当且仅当a−m=m时，即m=a2时取等号，即E，F分别是棱BC，CD上中点，

由A′(a,0,a)，F(0,12a,0)，E(12a,a,0)，

得FA′=(a,−12a,a)，FE=(12a,12a,0)，

平面CEF的法向量为n=(0,0,1)，

设平面A′EF的法向量为m=(x,y,z)，

则m⊥FA′m⊥FE，则m⋅18.【答案】性别与商场购物意愿有关；

分布列见解析，45；

5．【解析】(1)假设零假设H0：性别与商场购物意愿无关，

将题干数据代入公式可以得到：χ2=200×(60×20−30×90)290×110×150×50=20033≈6.061>3.841，

所以根