2024-2025学年福建省百校高二下学期期末联考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省百校高二下学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“α为锐角”是“α<π2”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知函数f(x)在x=1处可导，且limΔx→0f(1+Δx)−f(1)4ΔxA.18 B.14 C.4 3.设随机变量X～N3,σ2，P(X≤5)=0.8，则P(1≤X≤3)=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.64.在等比数列an中，若a32=8a2且A.64 B.32 C.16 D.85.已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为(

)A.0.46 B.0.22 C.0.18 D.0.046.若函数f(x)=2x+lnx+1x在其定义域内的区间(2m−1,2m)内有极值点，则实数mA.23,34 B.13,7.从编号1∼10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则PBA A.23 B.1318 C.798.在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(

)

A.1450种 B.1480种 C.1520种 D.1560种二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.曲线f(x)=x3−x+3在点P处的切线平行于直线y=2x−1，则点P的坐标可能为A.(1,3) B.(0,3) C.(2,9) D.(−1,3)10.关于1x−2x6A.各项系数之和为1 B.第二项与第四项的二项式系数相等

C.常数项为60 D.有理项共有4项11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0A.f(x)的图象关于直线x=−4π3对称

B.f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)=3cos2x

C.fπ12−x的单调递增区间为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知cos2α=−12，则sin13.已知圆台的上、下底面半径分别为r，2r，高为6−2r，则圆台体积的最大值为

．14.已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(1)求A；(2)若a=13，▵ABC的面积为316.(本小题15分)在等差数列an中，a6=−(1)求an通项公式及其前n项和S(2)若数列bn为等比数列，且b1=a9，b2=a17.(本小题15分已知函数f(x)=x3−ax2(1)求实数a，b的值；(2)若t>0，求函数f(x)在区间[0,t]18.(本小题17分甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数(考生能够正确作答的概率)均为p(0<p<1)，每道岗位实践题的难度系数均为q(0<q<1)，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对(1)当p=23时，求(2)求甲能够进入面试的概率f(p)的最小值及相应的p值；(3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是(2)中求得的p值，令甲面试结束时的答题数为X，求X的分布列与数学期望．19.(本小题17分)已知函数f(x)=e(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)有且仅有两个零点x1，x2，且x2>x答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可．【详解】若α为锐角，则0<α<π2所以“α为锐角”是“α<故选：A2.【答案】D

【解析】【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可．【详解】由limΔx→0f(1+Δx)−f(1)4Δx故选：D．3.【答案】B

【解析】【分析】根据正态分布的对称性计算可得P(1≤X≤3)=P(X≥1)−0.5=0.3，即可得B正确．【详解】根据X～N3,σ2易知P(X≤5)=P(X≥1)=0.8，因此可得P(1≤X≤3)=P(X≥1)−0.5=0.3．故选：B4.【答案】C

【解析】【分析】由等比数列的性质得到a4【详解】由等比数列的性质可得a32=8a2又a1=1，所以q3=a故选：C．5.【答案】B

【解析】【分析】设相应事件，由题意可得P(A),PB【详解】设“解出第一问”为事件A，“解出第二问”为事件B，由题意可得：P(A)=30则PA所以P(B)=P(A)P(B|故选：B．6.【答案】C

【解析】【分析】利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式，求解即可．【详解】由f′则当x∈0,12时，f′所以函数f(x)的减区间为0,12，增区间为则依题意有0≤2m−1<12故选：C．7.【答案】B

【解析】【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可．【详解】由题意，在1∼10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个，所以事件A发生的概率P(A)=2记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法；若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法；所以P(AB)=4+9根据条件概率公式，PB故选：B．8.【答案】D

【解析】【分析】先涂3区域，然后涂1区域，然后涂5区域，进而分若1和5区域同色与不同色两种情况求解即可．【详解】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法，然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为A6若1和5区不同色，一共的涂法种数为A6故一共的涂色总数为480+1080=1560．故选：D．9.【答案】AD

【解析】【分析】设切点Px【详解】设切点Px因为曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0)=3x02故选：AD．10.【答案】ACD

【解析】【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案．【详解】对于A，令x=1时，则1x−2x6展开式中各项系数之和为对于B，第二项二项式系数C61=6，第四项的二项式系数C对于C，1x−2x令−6−r2+r=0，∴r=2，展开式中的常数项为(−2)对于D，1x−2x6展开式的通项为C6r(1故选：ACD．11.【答案】ACD

【解析】【分析】先根据函数图象即得A=3,代入两点坐标，求得ω,φ的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断．【详解】由图可知，A=3,且经过(0,32由①，结合|φ|<π2，则得φ=π6，代入由图知，原函数的最小正周期T满足T2=πω>5π对于A，当x=−4π3时，因f(−4π3对于B，将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数y=f(x+π3对于C，因f(π由π2+2kπ即fπ12−x的单调递增区间为[对于D，由f(x)=32可得sin(2x+π6)=1依题意函数y=sint与y=12在由图知，需使37π6<2m+π故选：ACD．12.【答案】34【解析】【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可．【详解】cos2α=1−2故答案为：3413.【答案】56π【解析】【分析】根据题意结合台体的体积公式可得V=7【详解】由题意可得：6−2r>0r因为圆台的体积为V=1则V′=7令V′<0，解得2<r可得函数V=73π6r且当r=2时，V=56π3故答案为：56π14.【答案】300

【解析】【分析】由n为奇数，则n+1是偶数，n+2是奇数，根据题意的递推关系式可得到an+2=a【详解】若n为奇数，则n+1是偶数，n+2是奇数，则an+1=an+1

①由①+②得所以数列an的奇数项是首项为a1=1故S==2=210故答案为：300．15.【答案】解：(1)∵∴sinA又B∈0,∴sinA−3又A∈0,π(2)∵A=π3，∴12bc由余弦定理可得a2即13=b又bc=4，∴b+c=5∴△ABC的周长为5+

【解析】(1)由正弦定理即可求得tanA=(2)由三角形面积公式和余弦定理即可求解．16.【答案】解：(1)设等差数列an的公差为d因为a6=−6,a所以an所以Sn因为n∈N∗，所以当n=7或n=8且最小值为S7(2)由(1)可得：b1=a所以等比数列bn的公比为q=所以bn=b1⋅qn−1

【解析】(1)根据题意，列出关于a1,d的方程，代入计算，再由等差数列的前(2)根据题意，由等比数列的前n项和公式，代入计算，即可得到结果；17.【答案】解：(1)由f′(x)=3解得a=3，b=2，故a=3，b=2．(2)由(1)有f(x)=x3−3令f′(x)>0有x<0或x>2，可得函数又由f(0)=2，f(2)=−2，令x3−3x①当0<t≤2时，f(x)max=f(0)=2，f(x)min②当2<t≤3时，f(x)max=f(0)=2，f(x)min③当t>3时，f(x)min=f(2)=−2，f(x综上所述：当0<t≤2时，函数f(x)在区间[0,t]上的值域为当2<t≤3时，函数f(x)在区间[0,t]上的值域为当t>3时，函数f(x)在区间[0,t]上的值域为

【解析】(1)由题意可得f(2)=8−4a+b=−(2)求导得f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，求得函数f(x)的单调区间，分018.【答案】解：(1)由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，所以甲笔试满分的概率为p2q2又p=23，所以(2)由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，所以甲能够进入面试的概率f(p)=C由(1)知pq=14，则则f(p)=2p(1−p)1整理得f(p)=1因为0<p<所以f(p)=1当且仅当18p=p所以甲能够进入面试的概率f(p)的最小值为516，相应的p值为1(3)由(2)知，面试时每道题的难度系数是q=12，则甲答对每道面试题的概率由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束，所以甲面试结束时的答题数X的可能取值为3，4，5，当X=3时，p(X=3)=1当X=4时，p(X=4)=C当X=5时，p(X=5)=1−p(X=3)−p(X=4)=3所以X的分布列为：X

345p

143838数学期望为：E(X)=3×

【解析】(1)由甲笔试得满分的概率为116，可得p2q(2)由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率f(p)=C21p(1−p)q2+(3)由题意，甲面试结束时的答题数X的可能取值为3，4，5，求出对应概率，得到分布列与数学期望．19.【答案】解：(1)由f′①当a≤0时，有f′(x)>②当a>0时，令f′(x)>0，有x>ln(2)①当a=0时，由f(x)=e②当a<0时，由③当a>0，若f(x)≥0，有fln由上知，若f(x)≥0，则实数a的取值范围为0,e(3)由(1)知，当a≤0时，函数f(x)单调递增，最多只有一