中值定理说课稿

中值定理洛必达法则泰勒公式函数单调性的鉴别办法函数的极值及其求法最大值、最小值问题曲线的凹凸性、拐点与渐近线曲率方程的近似解第三章中值定理与导数应用导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念无法体现这种工具的作用,需要微分中值定理作为桥梁.中值定理是微分学应用的理论根据之一,它是微分学的理论基础,它在研究函数的整体性态起到重要作用.本章先介绍微分中值定理,然后以微分中值定理为理论基础,以导数为工具,先给出求一类特殊极限——未定式极限的一种简便求法,其后讨论函数的单调性、极值、最值在经济领域的某些应用和函数曲线凸性与拐点.微分中值定理涉及罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔(Rolle)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理柯西(Cauchy)中值定理第一节

中值定理

一、罗尔(Rolle)定理定理1

(罗尔定理)设函数ƒ(x)满足下列条件:(1)在闭区间

[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)ƒ(a)=ƒ(b);则在(a,b)内至少存在一点ξ

,使得boxABy=f(x)ay罗尔定理的几何意义:函数ƒ(x)在[a,b]上的图形是持续曲线段AB,如果除端点外,到处含有不垂直于x轴的切线,且在闭boxABy=f(x)ay区间[a,b]的两个端点a与b处的纵坐标相似,即ƒ(a)=ƒ(b)此时线段AB平行于x轴,则在曲线上最少能找到一点C((ξ)),使曲线在点C处的切线平行于x轴,显然这些点在最高点或最低点(局部范畴内)处获得,由此启发了我们的证明思路.从而该点C处的切线斜率为ƒ(x)在[a,b]上必有最大值M和最小值m.下面分两种情形讨论:(1)若M=m,则ƒ(x)在[a,b]上恒为常数.从而证因ƒ(x)在闭区间[a,b]上持续,故故在(a,b)内的每一点都可取作ξ,定理显然成立.从而在区间(a,b)内最少存在一点ξ,使得ƒ(ξ)=M.则数M

与m中至少有一(2)若,而ƒ(a)=ƒ(b),个不等于端点的数值,不妨设下面证明由于ƒ(ξ)=M,则不管Δx>0或Δx<0,恒有当Δx>0时,有而ƒ(x)在(a,b)内可导,则当Δx<0时,有故必有则对式(1)和式(2)取极限有注1罗尔定理中的三个条件是充足条件,缺一不可.即缺一条件可能使结论不成立.举例阐明:例1函数在f(x)在[0,1]的左端点x=0间断,不满足在闭区间持续的条件,此时即使满足定理另外两个条件,但显然没有水平切线.oxy=f(x)y例2函数在f(x)在x=0不可导,因而不满足在开区间内可导的条件,此时即使满足定理另外两个条件,但显然没有水平切线.oxyy=f(x)例3,虽然函数在f(x)在[0,1]上持续,在(0,1)内可导,但f(0)=0,f(1)=1,即在两端点函数值相等的条件不满足,但显然没有水平切线.oxyy=f(x)上面三个例子阐明,罗尔定理的三个条件都成立,结论才成立.注2罗尔定理中的三个条件是充足但非必要的,如oxy=f(x)y°•π函数在其定义域内存在和ξ=π,使注3罗尔定理是定性的成果,它只必定了最少存在一种ξ,而不能必定ξ的个数,也没有指出实际计算ξ的值的办法.但对某些简朴情形,可从方程中解出ξ.但是此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足.

例4验证函数在区间[–1,2]上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的ξ值.解因为ƒ(x)是初等函数,其定义域为则ƒ(x)在[–1,2]上持续,

在(–1,2)内存在,即ƒ(x)在

(–1,2）可导.

而ƒ(–1)=ƒ(2)=0.即ƒ(x)在[–1,2]上满足罗尔定理的条件.解得于是由，得则满足题意的点为运用罗尔定理能够证明某些方程根的存在性.由于函数ƒ(x)在闭区间[0,1]上持续,在开区间(0,1)上可导,且证

设

由罗尔定理可知,至少存在一点已知例5运用罗尔定理证明问题,普通要构造辅助函数,使之满足罗尔定理的条件.

不求函数ƒ(x)=x(x–1)(x–2)(x–3)的导数,说明方程有几个实根?并指出它们所在区间.

有三个不相等的根练一练例5设ƒ(x)在[a,b]上持续,在(a,b)内可导,且ƒ(a)=ƒ(b)=0.试证:在(a,b)内最少存在一点ξ,使得证则F(x)在[a,b]上持续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0则在(a,b)内最少存在一即函数F(x)满足罗尔定理的条件.点ξ,使得练一练设ƒ(x)在[0,π]上持续,在(0,π)内可导,试证:在(0,π)内最少存在一点ξ,使得证则F(x)在[0,π]上连续,在(a,b)内可导,且F(0)=F(π)=0则在(0,π)内至少存在一即函数F(x)满足罗尔定理的条件.点ξ,使得证例6由零点定理即为方程的不大于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理将罗尔定理的条件削弱,即使得不到罗尔定理的成果,但是能够得到其它的成果,这就是拉格朗日中值定理.定理2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)设函数ƒ(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上持续；(2)在开区间(a,b)上可导,则在(a,b)内最少存在一点ξ,使得或注拉格朗日中值定理与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b),因此罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.则在曲线段AB上最少能找到一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB.不垂直于x轴的切线,又因弦AB的斜率为几何意义:如果在连续曲线线段AB上,除端点外,处处具有下面运用构造辅助函数的办法来证明拉格朗日中值定理.证分析:作辅助函数容易验证函数F(x)满足罗尔定理的条件.需证方程存在根注构造辅助函数的另一种方法：拉格朗日中值公式注1拉氏公式精确地体现了函数在一种区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.注2拉格朗日中值公式的等价形式：由于当Δx为有限时,上式是Δy的精确体现式.因而也把拉格朗日中值公式称为有限增量公式.特别地,若x与x+Δx为区间(a,b)内的任意两点,则函数的微分仅是Δy的近似体现式,因此有限增量公式在理论上十分有用.例7设函数ƒ(x)在区间(a,b)内可导,x1和x2是(a,b)内的任意两点,且x1<x2,则最少存在一点ξ,使()成立.C注3

在可导区间(a,b)内的任意闭区间上,拉格朗日中值定理均成立.验证函数ƒ(x)=lnx在[1,e]上满足拉格朗日中值定理.若满足求出ξ.解由于ƒ(x)在[1,e]上持续,在(1,e)内可导.即ƒ(x)在[1,e]上满足拉格朗日中值定理.而

则由拉格朗日中值公式有练一练推论1证几何意义切线斜率到处为0的曲线,一定是平行于x轴的直线.注此推论惯用来证明某些等式.例8

证明证

证明证

练一练推论2的充要条件是总结利用推论1证明等式的关键是:根据等式特点选取适当的函数ƒ(x).先证,于是,推论3：推论4：运用拉格朗日中值定理还能够证明某些不等式.例9

证明不等式分析

因0<a<b,从而b–a不为0,

即只须证是函数值之差,能够考虑用拉格朗日中值定理.解令ƒ(x)=lnx

由于ƒ(x)在[a,b]上持续,在(a,b)内可导.即ƒ(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理.从而由于另首先总结运用拉格朗日定理证明不等式的核心是:根据不等式的特点选用适宜的函数ƒ(x)及对应区间[a,b],使其满足定理的条件,便有再根据a<ξ<b放大或缩小导数,证出不等式.当x>1时,证明不等式解

令练一练证由上式得练一练三、柯西(Cauchy)中值定理则在(a,b)内最少存在一点ξ,使得定理3(柯西Cauchy中值定理)(1)在闭区间[a,b]上连续；若函数ƒ(x),g(x)满足下列条件：(2)在开区间(a,b)上可导；证明思路

构造辅助函数且由能够验证F(x)满足罗尔定理,运用罗尔定理能够得到结论.柯西Cauchy中值定理意义:在同一区间[a,b]上两个函数增量之比,等于在区间内同一点ξ处导数之比.注罗尔定理拉格朗日定理柯西定理推广推广g(x)=xf(a)=f(b)

结论

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广;柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广.柯西中值定理的特殊情形为拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理的特殊情形为罗尔定理