北师大版六年级数学下册一圆柱与圆锥复习

一圆柱与圆锥

复习课件知识网络圆柱与圆锥面的旋转圆柱的表面积圆柱的体积圆锥的体积“点、线、面、体”之间的联络圆柱、圆锥的特性圆柱的侧面积、表面积的计算措施圆柱表面积的应用圆柱体积的计算公式圆柱体积公式的应用圆锥体积的计算公式圆锥体积公式的应用复习驿站1．面的旋转点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体。2．圆柱和圆锥的认识（1）圆柱：以长方形的一边为轴旋转360°，得到的空间几何体叫作圆柱。圆柱底面：圆柱上下的两个圆面叫作底面。圆柱两个底面都是圆，并且大小相似。圆柱侧面：圆柱周围的面叫作侧面。圆柱的侧面沿高展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。圆柱的高：两个底面的距离叫作高。圆柱有无数条高，每条高的长度都相等。（2）圆柱的特性：两个底面、一种侧面。底面由两个大小完全相似的圆构成。侧面是一种曲面。（3）圆锥：以三角形的一条直角边为轴旋转360°，得到的空间几何体叫作圆锥。（4）圆锥的特性：由一种底面（圆）、一种侧面（曲面）构成。从圆锥的顶点究竟面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。3．圆柱和圆锥的表面展开图沿着圆柱的一条高将圆柱的侧面剪开，可以得到一种平面图形，这个平面图形是长方形。在圆柱表面展开图中有两个底面、一种侧面。底面是两个大小完全相似的圆。侧面展开是长方形，特殊状况下是正方形。圆锥的表面展开后，底面是一种圆，侧面是一种扇形。圆锥只有一条高。4．圆柱的表面积圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋两个底面的面积。（1）圆柱的侧面积＝底面周长×高＝Ch。因C＝πd，因此也可以表达为圆柱的侧面积＝πdh＝2πrh。（2）两个底面的面积＝底面积×2＝2πr。5．圆柱表面积的应用在生活中，我们常常碰到包装圆柱形的饮料、制作通风管等，求包装面积、材料面积等实际问题，解题时，要根据实际状况，理清要计算几种面的面积。例如：制作无盖的圆柱形水桶时，求侧面积加1个底面积（没有上面）；制作通风管、烟囱时，只求侧面积（没有底面）。6．体积（容积）的意义和体积单位（1）体积（容积）的意义：任何物体都占据空间，有的物体占据的空间大，有的物体占据的空间小。物体所占空间的大小叫作物体的体积。容器能容纳物体的体积，叫作这个容器的容积。有些物体有容积也有体积，如油桶、瓶子等；有些物体只有体积，如石头等。一种容器容积的大小与它所能盛物体的多少有关，由于容器均有一定的厚度，因此一种容器的体积一定不小于它的容积。（2）体积（容积）单位：计算一种物体的体积要用体积单位，棱长是1厘米、1分米、1米的正方体，体积是1立方厘米、1立方分米、1立方米；立方厘米、立方分米、立方米用字母表达是cm、dm、m。计量容积一般用体积单位，但计量液体的体积，如水、油等常用容积单位。容积单位有升和毫升，用字母表达为L和mL。1立方厘米＝1毫升，1立方分米＝1升。7．圆柱和圆锥的体积计算（1）圆柱的体积把圆柱的底面提成许多相等的扇形，沿高把圆柱切开，再把它们拼起来，得到一种近似的长方体。长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。长方体的体积＝底面积×高，因此圆柱体积的计算公式为：圆柱的体积＝底面积×高＝Sh，由于S＝πr，因此V＝πrh。（2）圆锥的体积圆锥体积的计算公式为：圆锥的体积＝底面积×高×＝Sh，由于S＝πr，因此V＝πrh。复习驿站（3）怎样辨别是求圆柱的体积、容积还是求表面积求做圆柱形状的物体需要的材料、圆柱形状的墙壁抹水泥面积的多少，或贴墙需要多少瓷砖等，这样的表述是求表面积。尚有一种鉴定措施就是看所求问题的单位，所求问题的单位是平方的，则求表面积；所求问题的单位是立方、升、毫升的，则求体积。求圆柱能装下多少的问题，就是求容积，用体积公式。例如：一种装满稻谷的粮囤，高0.9m，上面是圆锥形，下面是圆柱形。量得底面周长是12.56m，圆柱的高是0.5m。这个粮囤大概能装稻谷多少立方米？分析：在解答本题时，0.9m是圆柱和圆锥高的和。它们两个的底面积也是同样的。3.14×r×0.5（r为粮囤的底面半径）计算的是圆柱的体积，还应计算圆锥的体积，粮囤的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积。解答：半径：12.56÷3.14÷2＝2（m）圆柱的体积：3.14×2×0.5＝6.28（m）圆锥的体积：×3.14×2×（0.9－0.5）≈1.67（m）1.67＋6.28＝7.95（m）答：这个粮囤大概能装稻谷7.95立方米。8．圆锥、圆柱的体积关系（1）等底（面积）等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，即圆锥的体积＝圆柱的体积×。（2）等底（面积）等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，即圆柱的体积＝圆锥的体积×3。（3）等底（面积）等高时，圆柱的体积与圆锥的体积比是3∶1。（4）等底（面积）等高时，圆柱的体积比圆锥的体积多200%。（5）等底（面积）等高时，圆锥的体积比圆柱的体积少

。

注意：这些结论的前提都是等底（面积）等高，没有这个前提就不成立。经典例题分析例1：玲玲想用一张长为15.7cm的长方形纸（如图）围成一种圆柱的侧面，你能协助她从下面的圆中选择一种合适的圆作底吗？分析：根据圆柱的侧面和底面的关系可知：圆柱的底面的周长应当等于长方形的长或宽。因此，只需计算出三个圆的周长，再和长方形的长或宽进行比较，即可选择出合适的底面。经典例题分析解答：圆①的周长：3.14×4＝12.56（cm）

圆②的周长：3.14×5＝15.7（cm）

圆③的周长：3.14×6＝18.84（cm）

比较：圆②的周长等于长方形的长。

答：选择圆②作底合适。经典例题分析例题2：一种粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱（如下图）。圆柱的底面周长是12.56m，高是2m，圆锥的高是0.6m。求这个粮囤的体积。经典例题分析分析：按一般的计算措施，先分别求出圆锥、圆柱的体积，再把它们合并在一起求出总体积。但我们仔细想一想，假如把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆柱，这样求出变化后直圆柱的体积就可以了。经典例题分析解答：将上面圆锥形的稻谷铺成圆柱形后，体积和底面积不变，高变了。根据

Sh

＝Sh，得h＝h，变化后的高是

×0.6＝0.2（m），圆柱的底面积是3.14×（12.56÷3.14÷2）

＝12.56（m），粮囤的体积是12.56×（2＋0.2）＝27.632（m）。经典例题分析例题3：一种圆柱高8cm，假如它的高增长2cm，那么表面积增长25.12cm，求本来圆柱的表面积。经典例题分析分析：由题意可知，增长的表面积就是高2cm的圆柱的侧面积，用增长的表面积除以2，即可得到本来圆柱的底面周长，由底面周长求出底面半径，进而可求出底面积，底面周长乘高可以得到侧面积，两个底面积加侧面积就是本来圆柱的表面积。经典例题分析

解答：底面周长：25.12÷2＝12.56（cm）底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（cm）两个底面积：3.14×22×2＝25.12（cm）侧面积：12.56×8＝100.48（cm）表面积：25.12＋100.48＝125.6（cm）经典例题分析例题4：一种高8cm的圆柱完全浸没在长10cm、宽8cm、高7cm的装满水的长方体容器内。把这个圆柱拿出来后，发现水面下降了3cm，你懂得这个圆柱的底面积是多少吗？经典例题分析分析：完全浸没在水中的物体的体积等于水面上升或下降部分的体积，因此圆柱的体积等于水面下降3那部分长方体的体积。根据圆柱的体积＝底面积×高，题中已知圆柱的高，求圆柱的底面积，可以用体积除以高。经典例题分析解答：10×8×3＝240（cm）240÷8＝30（cm）答：这个圆柱的底面积是30cm。经典例题分析例题5：一种圆锥沿底面直径通过顶点切开（如下图）后表面积比本来增长了36cm，已知这个圆锥的高是6cm，这个圆锥的底面半径是多少厘米？经典例题分析分析：圆锥沿底面直径通过顶点切开后表面积比本来增长了两个三角形的面积，这两个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高。先求出每个三角形的面积，已知三角形的高是6cm，根据三角形的面积公式求出底，继而求出圆锥的底面半径。经典例题分析解答：36÷2＝18（cm）18×2÷6＝6（cm）6÷2＝3（cm）答：这个圆锥的底面半径是3cm。经典例题分析容错展板错例1.判断：圆柱和圆锥均有无数条高。（√）错解分析：圆柱有无数条高，圆锥只有1条高，圆锥的高是顶点究竟面圆心的距离，圆锥只有1个顶点和1个底面圆心，因此只有1条高。容错展板对的解答：×温馨提醒：出现此类错误的原因是没有对的理解圆锥的高的含义。容错展板错例2.做一种高5dm、底面半径2dm的圆柱形无盖水桶，至少需要铁皮多少平方分米？容错展板错误解答：侧面积：2×3.14×2×5＝62.8（dm）底面积：3.14×22＝12.56（dm）

表面积：62.8＋12.56×2＝87.92（dm）答：至少需要铁皮87.92dm。错解分析：根据生活实际计算圆柱形状的物体的表面积，要注意观测需要计算的是圆柱哪些部分的面积。无盖的水桶只有一种底面，在计算需要铁皮多少平方分米时，用侧面积加上一种底面的面积就可以了。容错展板对的解答：侧面积：2×3.14×2×5＝62.8（dm）底面积：3.14×22＝12.56（dm）表面积：62.8＋12.56＝75.36（dm）答：至少需要铁皮75.36dm。容错展板错例3.大厅里有10根圆柱，圆柱的底面直径是1m，高是8m。在这些圆柱的表面涂油漆，平均每平方米用油漆0.8kg，共需油漆多少公斤？错误解答：每根圆柱涂油漆面积：3.14×1×8＋3.14×（1÷2）

×2＝26.69（m）10根圆柱涂油漆面积：26.69×10＝266.9（m）需要油漆的质量：266.9×0.8＝213.52（kg）容错展板错解分析：每根圆柱的涂漆面积只是圆柱的侧面积，而不是圆柱的表面积。容错展板对的解答：3.14×1×8×10＝251.2（m）251.2×0.8＝200.96（kg）

温馨提醒：出现此类错误的原因是没有联络生活实际，在解答与圆柱表面积有关的实际问题时，一定要认真审题，弄清规定的是圆柱的哪几种面的面积。（对应训练参见第一周复习第六题第2小题内容）容错展板错例4.有一种圆锥形的煤堆，它的底面半径是2.5m，高是1.5m，假如每立方米煤重1.7t，这堆煤约重多少吨？（得数保留整吨数）错误解答：3.14×2.5×1.5＝29.4375（m）29．4375×1.7≈50（