15.3等腰三角形课堂讲义人教版数学八年级上册（原卷版）

15.3等腰三角形讲解目录讲解目录TOC\o"13"\h\u【知识点1】等腰三角形的性质 1【知识点2】等腰三角形的判定 2【知识点3】等边三角形的性质 3【知识点4】等边三角形的判定 4【知识点5】直角三角形的性质 4【知识点6】含30度角的直角三角形 5【知识点7】直角三角形斜边上的中线 6【题型1】等腰三角形的概念应用问题 7【题型2】等边对等角的应用问题 9【题型3】三线合一的应用问题 10【题型4】等腰三角形性质与折叠问题 11【题型5】等腰三角形的性质与尺规作图 12【题型6】等腰三角形性质的实际应用 13【题型7】用定义判定等腰三角形 14【题型8】用等角对等边求边长、周长或面积问题 15【题型9】等边三角形的性质应用 16【题型10】等边三角形的判定问题 17【题型11】含30°角的直角三角形的性质问题 18【题型12】等腰直角三角形的性质与判定问题 19知识讲解知识讲解【知识点1】等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．即学即练1．（2025春•灵璧县期末）△ABC为等腰三角形，其中顶角为40°，则该三角形的底角为（）A．75°B．70°C．65°D．60°2．（2024秋•姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm,4cm,那么它的周长为（）A．8cmB．10cmC．11cmD．8cm或10cm3．（2025•城关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．60°B．45°C．40°D．30°【知识点2】等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．即学即练1．（2025春•萍乡期末）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（）A．2，3，4B．3，7，7C．2，2，6D．5，6，72．（2024秋•蔡甸区校级月考）已知O为原点，A（2，2）为坐标平面内一点，B是坐标轴上一点，且△AOB为等腰三角形，那么符合条件的点B的个数为（）A．5B．6C．7D．83．（2024春•宝安区期中）若长度分别为a,2，5的三条线段能组成一个等腰三角形，则a=______．4．（2023•东海县三模）在△ABC中，∠A=80°，当∠B=______时，△ABC是等腰三角形．【知识点3】等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．即学即练1．（2024秋•旬阳市期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，若△ABC的周长为12，则BC的长为​（）A．3B．4C．8D．92．（2024•泰安）如图，直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l,m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（）A．45°B．39°C．29°D．21°3．（2024•青山湖区模拟）如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE=（）A．120°B．110°C．100°D．140°【知识点4】等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．即学即练1．（2024秋•琼海校级期末）已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（）A．等腰直角三角形B．一般的等腰三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形2．（2024秋•荔湾区校级期中）已知a,b,c为△ABC的三边长，且a−b+|b−c|=0A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．（2024秋•溧阳市期中）在△ABC中，∠A=60°，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是（）A．AB=ACB．∠A=∠BC．AD⊥BCD．∠B=∠C【知识点5】直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．即学即练1．（2025春•象州县期中）在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是（）A．70°B．50°C．30°D．10°2．（2025春•于都县期中）将两把相同的直尺如图放置．若∠1=164°，则∠2的度数等于（）A．103°B．104°C．105°D．106°3．（2025•雷州市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，若∠A=24°，则∠BCD的度数是（）A．66°B．22°C．26°D．24°【知识点6】含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．即学即练1．（2025春•法库县期末）如图，AC=BC=6cm,∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm2．（2025春•三水区校级期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC⊥AC于点C），跷跷板的一头A着地时∠OAC=30°，点A、C、B′在同一水平线上，若OC=1m时，则OA的长度为（）A．0.5mB．1mC．1.5mD．2m3．（2025春•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠B=15°，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，若BE=6cm,则AC的长是（）A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm【知识点7】直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．即学即练1．（2025春•增城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，若AB=10，则CD的长为（）A．5B．4.8C．2.4D．无法确定2．（2025•安徽三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作AE⊥BD于点E，若DE=2BE，AB=6A．2B．5C．30D．43．（2025春•海淀区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE=BE，连接DE，若CD=3，AE=4，则DE的长为______．题型专练题型专练【题型1】等腰三角形的概念【典型例题】如图，AB=AD，AC=BC=CD，则BD图中等腰三角形（）的底边.A.△ABCB.△ADCC.△ABDD.△ABD和△CBD【举一反三1】如图，AB=AC，DE=DC，则等腰△DEC的底角是（）.A.∠BB.∠CC.∠B和∠CD.∠DEC和∠C【举一反三2】如图，△ABC中，AB=AC，AC⊥BD于E，则图中等腰△ABC腰上的高是线段（）A.BEB.BDC.AED.CE【举一反三3】如图，在△ABC中，BD=BC，则等腰△BDC的顶角是（）.A.∠AB.∠ABCC.∠DBCD.∠EBC【举一反三4】如图，AE=BE，EC=BC，则等腰△ABE的底边是

，等腰△BCE的底边是

.【题型2】等边对等角【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，AD平分∠BAC，则∠C的度数是（）A.28°B.36°C.54°D.72°【举一反三1】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为（）A.48°B.50°C.55°D.60°【举一反三2】如图，∠B=50°，∠ANC=120°，AM=AN，则∠MAB的度数等于（）A.10°B.70°C.60°D.50°【举一反三3】点M是△ABC三边垂直平分线的交点，连接MA、MB、MC，若∠MBC+∠ACM＝75°，则∠BAM的值是（）A.45°B.30°C.25°D.15°【举一反三4】如图，AB=AC，∠BAC=110°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=（）A.50°B.60°C.70°D.80°【题型3】三线合一【典型例题】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.60°【举一反三1】如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是（）A.AD⊥BCB.∠EBC=∠ECBC.∠ABE=∠ACED.AE=BE【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，则∠B等于（）A.70°B.50°C.20°D.40°【举一反三3】如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是____________．【举一反三4】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，则CD=__________．【题型4】等腰三角形性质与折叠【典型例题】如图，纸片△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将纸片对折，使点A与点B重合，折痕为DE，连结BE．则∠EBC的度数为（

）A.30°B.40°C.60°D.80°【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线BD交AC于D，把直角三角形ABC沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上的点E处，并且△ABD是等腰三角形，那么∠AA.60°B.45°C.30°D.22.5°【举一反三2】如图将一张长方形纸的一角折叠过去，使顶点A落在A'处，BC为折痕，若AB=AC且BD为∠CBE的平分线，则∠A.45B.67.5C.22.5D.89.5【举一反三3】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．则∠BEC的度数是

．【题型5】等腰三角形的性质与尺规作图【典型例题】如图所示，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为（

）A.44°B.40°C.36°D.34°【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=32°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（）A.42°B.45°C.40°D.35°【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（）A.142°B.132°C.119°D.109°【题型6】等腰三角形性质的实际应用【典型例题】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A.等边对等角B.等角对等边C.垂线段最短D.等腰三角形“三线合一”【举一反三1】在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角∠B＝50°，则顶角∠A的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°【举一反三2】玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如下图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信放量是水平的，其理由是（）A.等腰三角形两腰等分B.等腰三角形两底角相等C.三角形具有稳定性D.等腰三角形的底边中线和底边上的高重合【举一反三3】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（）A.60°B.69°C.76°D.88°【题型7】用定义判定等腰三角形【典型例题】三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【举一反三1】下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（）A.1，1，2B.2，2，4C.3，3，5D.3，4，5【举一反三2】如图，在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则图中共（）个等腰三角形．A.1个B.2个C.3个D.4个【举一反三3】如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是

三角形．【举一反三4】如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有

个等腰三角形．【题型8】用等角对等边求边长、周长或面积【典型例题】如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4cm，则CD等于()A.3cmB.4cmC.1.5cmD.2cm【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长是()A.12B.13C.14D.18【举一反三2】如图，E为AC上一点，连接BE，CD平分∠ACB交BE于点D，且BE⊥CD，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（）A.1.2B.1.5C.2D.3【举一反三3】如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．当AE＝2，BF＝4时，EF的长为

．【题型9】等边三角形的性质【典型例题】如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A.100°B.90°C.80°D.60°【举一反三1】如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（）A.2B.4C.D.【举一反三2】如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（）A.120°B.110°C.108°D.106°【举一反三3】如图，直线l∥m，等边△ABC的两个顶点A，B分别在直线l和m上，若∠CAD＝27°，则∠CBE的度数是（）A.27°B.33°C.63°D.73°【题型10】等边三角形的判定【典型例题】一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【举一反三1】P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA、OB的对称点分别为M、N，则△MON定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【举一反三2】将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝60°，则△ABC是（）A.不等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【举一反三3】如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是

．【举一反三4】已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是

三角形【题型11】含30°角的直角三角形的性质【典型例题】如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（）A