专题13.1三角形的概念（思维导图知识梳理3个考点讲练难度分层练共32题）

专题13.1三角形的概念（知识梳理+3个考点讲练+难度分层练共32题）知识点01：三角形的概念1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角.3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.知识点02：三角形的分类剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；②三边都相等的三角形叫作等边三角形；③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形；④可以用画图的方式表示（如右图）考点1：三角形的识别与有关概念【典例精讲】（2122七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知AE=2CE，BE=3DE，若S△CDE=1，则△ABD的面积为【答案】4【思路引导】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由BE=3DE，S△CDE=1解得S△BCE=3，S△ADE【规范解答】解：∵BE=3DE，S∴∵AE=2CE∴∴∴故答案为：4．【考点剖析】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．【变式训练1】若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】C【思路引导】根据平角的定义求出与这个外角相邻的内角是钝角，然后作出判断即可．【规范解答】∵三角形的外角中有一个角是锐角，∴与这个外角相邻的内角是钝角，∴这个三角形是钝角三角形．故选C．【考点剖析】本题考查了三角形的外角，根据平角定义求出与外角相邻的内角是钝角是解题的关键．【变式训练2】下列说法正确的是()A．所有的等腰三角形都是锐角三角形B．等边三角形属于等腰三角形C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形【答案】B【思路引导】根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可．【规范解答】A选项：内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形，故是错误的．B选项：等边三角形属于等腰三角形，故正确．C选项：内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形，故错误．D选项：内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形，故错误．故选B．【考点剖析】考查三角形的一个概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义．【变式训练3】（2425八年级上·全国·随堂练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE．(1)图中共有多少个以线段AB为边的三角形？用符号表示这些三角形．(2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形．【答案】(1)2个；△ABD△ABC(2)2个；△ADE，△EDC【思路引导】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答．（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段AB为边计数即可；（2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可【规范解答】（1）解：以线段AB为边的三角形有2个，分别为△ABD，△ABC．（2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为△ADE，△EDC．考点2：三角形的个数问题【典例精讲】（2425七年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有个三角形．（写出所有可能的值）【答案】7或9【思路引导】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键．【规范解答】解：如图所示，共有两种情况：由图可知，图③中共有7或9个三角形，故答案为：7或9．【变式训练1】（2425七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（

）个三角形．【答案】44【思路引导】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可．【规范解答】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个；由二个小三角形组成的三角形数量为16个；由四个小三角形组成的三角形数量为8个；由八个小三角形组成的三角形数量为4个；则共有16+16+8+4=44个，故答案为：44．【变式训练2】（2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题：（1）图②有个三角形；图③有个三角形；图④有个三角形；…猜测第七个图形中共有个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有个三角形（用含n的代数式表示结论）．【答案】357132n−1/−1+2n【思路引导】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键．（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可；（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可．【规范解答】解：（1）∵图②有3个三角形，3=2×2−1；图③有5个三角形，5=2×3−1；图④有7个三角形，7=2×4−1；∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．（2）由（1）可知，第n个图形中有2n−1个三角形．故答案为：3，5，7，13，2n−1．【变式训练3】如图所示的图形中，以BC为边的三角形共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【思路引导】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．【规范解答】解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，△BFC，故选D．【考点剖析】本题考查了三角形的定义，解题关键是注意：题目要求找“图中以BC为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”．考点3：三角形的分类【典例精讲】（2425八年级上·山东临沂·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．(1)化简：a−b−c−(2)若a=5，b=2，且三角形的周长为偶数．①求c的值；②试判断△ABC的形状．【答案】(1)3b−a−c(2)①c=5②△ABC为等腰三角形【思路引导】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，化简绝对值：（1）根据三边关系结合绝对值的意义，进行化简即可；（2）根据三角形的三角关系求出c的值，根据三角形的分类判断三角形的形状即可．【规范解答】（1）解：∵a+b>c,a+c>b,b+c>a，∴a−b−c<0,b−c−a<0,a+b−c>0，∴原式=b+c−a−a−c+b+a+b−c=3b−a−c；（2）①∵a=5，b=2，∴5−2<c<5+2，∴3<c<7，∵三角形的周长为偶数，a+b=7为奇数，∴c为奇数，∴c=5；②∵a=c=5，∴△ABC为等腰三角形．【变式训练1】（2223七年级上·四川泸州·开学考试）一个三角形的三个角的比是2:5:11，最大的角是度．这是一个三角形．【答案】110钝角【思路引导】本题主要考查根据比的相关知识进行解答，三角形的内角和等于180°，度数之比为2:5:11，则说明把180°平均分成三份，先求出一份的大小，再计算出较大角的度数，确定什么三角形即可．【规范解答】解：180÷2+5+11则这个三角形为钝角三角形．故答案为：110；钝角．【变式训练2】如图所示，则△ABC的形状是(

)A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【思路引导】根据三角形内角和定理计算．【规范解答】∠A＋∠B＋∠C＝180°，因为∠A＝β，∠B＝2β，所以∠A＋∠B＝3β＝∠C＝90°，△ABC的形状是直角三角形．故选C．【考点剖析】本题考查的知识点是三角形内角和定理，解题关键是利用三角形内角和定理确定三角形的形状．【变式训练3】（2425八年级上·福建厦门·期中）类比“三角形”特殊化后得到研究对象等腰三角形，把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形【答案】C【思路引导】本题考查三角形的分类，熟练掌握三角形按边分为：等腰三角形和没有边相等的一般三角形，等腰三角形分为：等边三角形和底与腰不等的等腰三角形是解题的关键．根据三角形按边分类解答即可．【规范解答】解：∵三角形按边分为：等腰三角形和没有边相等的一般三角形，等腰三角形分为：等边三角形和底与腰不等的等腰三角形．∴把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象“等边三角形”．故选：C．基础夯实1．（2425八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（

）A．3个 B．4个 C．6个 D．9个【答案】D【思路引导】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．根据三角形的概念即可解答．【规范解答】解：可以组成的三角形有：△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CAB，△DAB，△EAB共9个，故选：D．2．（2425八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以AB为边的三角形的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【思路引导】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．由D、E、C三点分别与AB端点相连，可构成3个三角形，【规范解答】解：图中以AB为边的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC．共有3个．故选：B．3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（

）A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形【答案】C【思路引导】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可．【规范解答】将三角形按边的相等关系，可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，将三角形按角的大小可以分为，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，∴两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形，故选：C．4．（2425八年级上·贵州·阶段练习）下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【思路引导】本题主要考查三角形的基本性质，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键；因此此题可根据三角形的相关概念进行求解即可．【规范解答】解：①等边三角形是等腰三角形，说法正确；②三角形按边分类可分等腰三角形和不等边三角形，原说法错误；③三角形的两边之差小于第三边，原说法错误；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，说法正确；故选：B．5．（2324七年级下·四川成都·期中）下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等．其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【思路引导】此题考查了三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等是解题的关键．根据三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等判断求解即可．【规范解答】解：①三角形的高、中线、角平分线都是线段，故①正确，符合题意；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误，不符合题意;③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误，不符合题意；④“对顶角相等”的证明依据是同角的补角相等，故④错误，不符合题意；只有一个正确；故选：A．6．（2425八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，CE是高，D是BC上一点，连接AD与CE交于点H，且满足AE=EC，EB=EH，若AB=12，CE=7【答案】2【思路引导】本题考查了线段的和差关系，由题意可得AE=7，即得EB=AB−AE=5，得到EH=5，最后根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键．【规范解答】解：∵AE=EC，CE=7，∴AE=7，∵AB=12，∴EB=AB−AE=12−7=5，∵EB=EH，∴EH=5，∴CH=CE−EH=7−5=2，故答案为：2．7．（2425七年级上·全国·期末）已知△ABC的边长a，b，c满足a−22+b−4=0，若c为偶数，则【答案】等腰【思路引导】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由a−22+b−4=0可得a=2，b=4，根据三角形的三边关系以及【规范解答】解：∵a−2∴a−22=0∴a−2=0，b−4=0，∴a=2，b=4，∴2+4>c，4−2<c，∴2<c<6，由c为偶数，可得c=4，∴b=c=4，∴△ABC的形状为等腰三角形．故答案为：等腰．8．（2324八年级上·湖南娄底·期末）如图，在△ABC中，A1，A2，A3，⋯，An为边AC上不同的n个点，从B点首先连接BA1【答案】1【思路引导】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数．【规范解答】解：观察图形可知：从B点首先连接BA1，不同的三角形个数为再连接BA2，不同的三角形个数为再连接BA3，不同的三角形个数为⋯，∴连接到BAn时，图中有个三角形(n为正整数)故答案为：129．（2425八年级上·全国·随堂练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，连接BE，AD，相交于点F．(1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形．(2)请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角．(3)以线段AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？【答案】(1)8；△ABF(2)△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD(3)以线段AB为边的三角形有△ABF(4)以∠C为内角的三角形有△ACD【思路引导】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答．（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可；（2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可；（3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以AB为边的三角形即可；（4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以∠C为内角的三角形即可．【规范解答】（1）解：图中共有8个三角形，分别是：△ABF，（2）解：△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，（3）解：以线段AB为边的三角形有△ABF，（4）解：以∠C为内角的三角形有△ACD，10．（2020·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【思路引导】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过3×3正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【规范解答】经计算可得下图中：图①面积为12；图②面积为1；图③面积为3故本题答案如下：【考点剖析】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．培优拔高11．（2324八年级上·湖北武汉·期中）现有以下表述：①三角形按边相等关系分类有三边都不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点；③平面上有四个点A、B、C、D，用它们作顶点可以构成3个或4个三角形；④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【思路引导】本题考查三角形，三角形的分类等知识．①按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；②根据三角形的中线，高的性质判断即可；③四点共线，不能构成三角形；④三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形，由此判断即可．【规范解答】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形，故原说法错误；②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高所在直线也一定交于一点，故原说法错误；③平面上有四个点A、B、C、D，当四点共线时，不能组成三角形，故原说法错误；④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种，故原说法正确；理由如下：三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形．因为，7+4=11>8且满足7−4=3>2；7+3=10>8且满足7−3=4>2；7+2=9>8且满足7−2=5>2；6+3=9>8且满足6−3=3>2．故选：A．12．（2324七年级上·浙江宁波·开学考试）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是51°，那么这个三角形是一个（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】A【思路引导】由最小的角及三角形内角和定理，可求出最大的角小于78°，据此即可解答．【规范解答】解：∵最小的角是51°，180°−51°×2=78°，∴最大的角小于78°，∴这个三角形是一个锐角三角形．故选：A．【考点剖析】本题主要考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．13．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【思路引导】根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．【规范解答】C点所有的情况如图所示：故选C.有4个点.故选C.【考点剖析】本题考查了学生阅读图象的能力，解决本题关键突破口是找准与AB平行的两条直线．14．（2223八年级·全国·假期作业）已知：如图，试回答下列问题：（1）图中有个三角形，其中直角三角形是．（2）以线段AC为公共边的三角形是．（3）线段CD所在的三角形是，BD边所对的角是．【答案】6△ABD，△ACD，△ADE△ABC，△ACD，△ACE△ACD∠BAD【思路引导】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形；（2）观察图形可找到以线段AC为公共边的三角形；（3）观察图形可知线段CD所在的三角形以及BD边所对的角；【规范解答】（1）由图可知，图中三角形有△ABC、△ADB、△AEB、△ACD、△ACE、△ADE，∴图中有6个三角形，由图可知，直角三角形有△ABD，△ACD，△ADE；故答案为：6，△ABD，△ACD，△ADE；（2）由图可知，以线段AC为公共边的三角形是△ABC，△ACD，△ACE；故答案为：△ABC，△ACD，△ACE；（3）由图可知，线段CD所在的三角形是△ACD，BD边所对的角是∠BAD；故答案为：△ACD，∠BAD．【考点剖析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键．15．如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是，钝角三角形有个．【答案】△ACE；4.【思路引导】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边相等的三角形是等边三角形（是特殊的等腰三角形），根据三角形按角分类的方法进行逐项分类即可．【规范解答】观察图形可知，△ACE是锐角三角形，；△CED、△CDB、△CEB、△ACB是钝角三角形，共4个.故答案为△ACE，4．【考点剖析】本题是考查三角形的分类．16．（2324八年级上·北京·单元测试）如图在△ABC的BC边上取三个点D，E，F，连接AD，AE，AF，则BC边上有条线段，以A为顶点的角有个，图中共有个三角形．

【答案】101010【思路引导】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点A组成角，即以A为顶点的角有10个；以A为顶点的角即组成对应的三角形．【规范解答】解：根据题意得，线段有BD,BE,BF,BC,DE,DF,DC,EF,EC,FC共10条线段；以A为顶点的角∠ABD，∠ABE三角形有△ABD上述线段都与点A组成交，即以A为顶点的角有10个；以A为顶点的角即组成对应的三角形．故答案为：10，10，10．17．如图，图1中共有3个三角形，图2中共有6个三角形，图3中共有10个三角形，…，以此类推，则图6中共有个三角形．【答案】28【规范解答】解:由已知通过观察得:图1有:1+11+2图2有:2+12+2图3有:3+13+2所以图6中共有:6+16+2故答案为28.18．（2021八年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，A1，A2，A3，⋯，A(1)完成下表：连接点的个数123456出现三角形个数(2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？(3)若一直连接到An【答案】(1)3，6，10，15，21，28；(2)8；(3)1【思路引导】(1)根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36；(2)若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点；(3)若有n个分点，则有n+1+n+n−1+…+1=【规范解答】(1)连接点的个数123456出现三角形个数3610152128(2)由(1)中表格：7个分点时，有28+8=36；8个分点时，有36+9=45；∴出现了