综合训练初中数学 九年级上册 第二十一章 21.2 解一元二次方程（第6课时）

人教版初中数学九人教版初中数学九年级上册21.2解一元二次方程（第6课时）1．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22．若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）．A．k＜且k≠0 B．k≤ C．k≤且k≠0 D．k≥2．定义新运算“”如下：当a≥b时，ab＝ab＋b；当a＜b时，ab＝ab－a．若(2x－1)(x＋2)＝0，则x的值是____________．3．根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x2－x－6＝(x＋2)(x－3)，等式右边的两个一次二项式的系数有关系，左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数，右边两数积是原式左边常数项，交叉相乘积之和是原式左边一次项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题．（1）填空：①因式分解：x2－3x－4＝____________；②解方程：3x2－4x＋1＝0，左边因式分解，得(________)(_________)＝0．（2）解方程：①3x2＋x－2＝0； ②2x2－5x＋2＝0．4．用适当的方法解下列方程：（1）(3x－1)2＝9；（2）x2－2x＝2x＋1；（3）(3y－1)(y＋1)＝4；（4）x(2x＋3)＝2x＋3．5．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长．（1）如果－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

参考答案1．【答案】C【解析】根据题意，得k(x2＋1)＋(5－2k)x＝0，整理，得kx2＋(5－2k)x＋k＝0．由题意，知该方程有两个实数解，所以k≠0，且Δ＝(5－2k)2－4k2≥0，解得k≤，且k≠0．2．【答案】－1或【解析】若2x－1＜x＋2，即x＜3，根据定义，得(2x－1)(x＋2)＝(2x－1)(x＋2)－(2x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝，这两个解均符合题意；若2x－1≥x＋2，即x≥3，根据定义(2x－1)(x＋2)＝(2x－1)(x＋2)＋(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，这两个解均不符合题意．综上所述，x1＝－1，x2＝．3．【答案】解：（1）①(x－4)(x＋1)②3x－1x－1（2）①因式分解，得(x＋1)(3x－2)＝0，所以x＋1＝0或3x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝．②因式分解，得(2x－1)(x－2)＝0，所以2x－1＝0或x－2＝0，解得x1＝，x2＝2．4．【答案】解：（1）因为(3x－1)2＝9，所以3x－1＝±3，解得．（2）原方程可整理为x2－4x＋4＝5，所以(x－2)2＝5，所以或，解得，．（3）原方程可整理为3y2＋2y－5＝0，所以b2－4ac＝64＞0，所以，所以y1＝1，．（4）移项，得x(2x＋3)－(2x＋3)＝0，因式分解，得(2x＋3)(x－1)＝0，所以2x＋3＝0或x－1＝0，解得，x2＝1．5．【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：把x＝－1代入原方程，得a＋c－2b＋a－c＝0，所以a＝b．所以△ABC是等腰三角形．（2）△ABC是直角三角形．理由如下：因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，且a＋c≠0．所以b2－a2＋c2＝0，即a2＝b2＋c2．所以△ABC是直角三角形．