《正方形》分层作业

数学第第页《平行四边形》正方形的判定和性质A卷（基础）一、选择题1．正方形、菱形、矩形、平行四边形共同具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线相互平分 C．对角线相互垂直 D．对角线相互垂直平分【答案】B【解析】A.对角线相等，是矩形和正方形具有的性质，不符合题意；对角线相互平分，是正方形、菱形、矩形、平行四边形共同具有的性质，符合题意；对角线相互垂直，是菱形和正方形具有的性质，不符合题意；D.对角线相互垂直平分，是菱形和正方形具有的性质，不符合题意.故选：B．【知识点】正方形、菱形、矩形、平行四边形的性质．【难度】★【题型】选择题2．下列说法不正确的是（

）A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形【答案】D【解析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．故选：D．【知识点】正方形的判定．【难度】★【题型】选择题3．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的条件是（

）A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BDC．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC【答案】A【解析】A.OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，能判定；B，C，D不能判定；故答案为：A．【知识点】正方形的判定．【难度】★【题型】选择题4．如图，点M是正方形ABCD内位于对角线BD下方的一点，∠1=∠2，则∠AMB=（

）A．120° B．130° C．125° D．135°【答案】D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠2+∠ABM=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠ABM=45°．∵∠AMB=180°-∠1-∠ABM，∴∠AMB=135°．故选：D．【知识点】正方形的性质，三角形内角和定理．【难度】★【题型】选择题5．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（

）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角线相等且相互垂直【答案】D【解析】如图，点分别为边上的中点，四边形为正方形，，点分别为边上的中点，，，即四边形的对角线相等且相互垂直，故选：D．【知识点】正方形的性质和三角形中位线定理．【难度】★【题型】选择题二、填空题6．若正方形的对角线长为，则它的面积为．【答案】1【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AO=BO=AC=．∵∠AOB=90°，由勾股定理，得AB=1，∴S正方形ABCD=1×1=1．故选：A．【知识点】正方形的性质：正方形的对角线平分、相等、互相垂直且平分每一组对角.【难度】★【题型】填空题7．学习了四边形之后，若用如图所示的方式表示四边形与特殊四边形的关系，则图中的“A”表示；“B”表示．

【答案】正方形；菱形【解析】因为矩形和菱形都是平行四边形，而正方形既是矩形，又是菱形，所以“A”表示正方形，“B”表示菱形，故答案为：正方形，菱形．【知识点】特殊平行四边形，熟练掌握矩形、菱形、正方形和平行四边形之间的关系是解答的关键．【难度】★【题型】填空题8．如图，在四边形中，，与互相平分于点．要使得四边形是正方形，则还需增加一个条件是（只填一个答案即可）．【答案】答案不唯一．如：⊥．【解析】∵与互相平分于点，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是矩形．要使得四边形是正方形，可以添加⊥（答案不唯一）故答案为：答案不唯一．如⊥．【知识点】正方形的判定．【难度】★【题型】填空题解答题9．如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它一定是菱形吗？一定是正方形吗？【答案】不一定是菱形也不一定是正方形．【解析】如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它不一定是菱形，也不一定是正方形，有可能是矩形．如图，故这个四边形不一定是菱形，也不一定是正方形．【知识点】轴对称，特殊的平行四边形的判定．【难度】★【题型】解答题10．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，图中有多少个等腰三角形？【答案】图中有8个等腰三角形，并且都是等腰直角三角形．【解析】以正方形的对角线为斜边的等腰三角形共有4个，分别是△ABC，△ADC，△ABD，△BCD，以正方形的边为斜边的等腰三角形共有4个，分别是△AOB，△BOC，△OCD，△AOD，故总共有8个等腰三角形，且都是等腰直角三角形．【知识点】正方形的性质、等腰三角形的定义．【难度】★【题型】解答题B卷（巩固）一、选择题1．如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C【解析】∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，DF＝DF；∴△ADF≌△CDF；同理可得：△ABF≌△CBF；∵AD＝CD，AB＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD．因此本题共有3对全等三角形，故选C．【知识点】正方形的性质和全等三角形的判定．【难度】★★【题型】选择题2．如图，每个小正方形的面积均为1cm2，阴影部分的面积是（

）A．4 cm2B．4.5cm2C．5cm2 D．9cm2【答案】A【分析】阴影部分的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积和．【解析】∵每个小正方形的面积均为1cm2，∴小正方形的边长为1,∴阴影部分的面积为3×3-=9-5=4．故选A．【知识点】正方形网格上的面积计算．【难度】★★【题型】选择题3．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（

）

A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°.∵AE＝DF，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF.∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°.∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，∴CF＝3，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故选：B．【知识点】正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．【难度】★★【题型】选择题二、填空题4．如图，正方形ABCD的边长为6．则图中阴影部分的面积为．【答案】18【解析】根据题意，得S阴影部分＝S正方形ABCD＝×62＝18．故答案为：18．【知识点】正方形的性质，折叠的性质．【难度】★【题型】填空题5．如图，为正方形外一点，如果，，那么的度数是________．【答案】45°【解析】四边形是正方形，，，，，．，，，，，．故答案为：．【知识点】正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．【难度】★【题型】填空题6．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是________．【答案】5【解析】由题意得，=BN，CN=9-BN，在Rt△中，由勾股定理得，2=+CN2，∵，四边形是边长为9，∴，∴=32+（9-）2，解得，=5，即BN=5．故答案为：5．【知识点】翻折变换的性质和正方形的性质勾股定理运用．【难度】★★【题型】填空题7．已知在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于点，且正方形顶点D的坐标为，那么正方形顶点B的坐标为________．

【答案】【解析】如图，∵正方形的对角线相交于点，正方形顶点D的坐标为，∴正方形顶点B的坐标为．故答案为：．【知识点】正方形的性质，坐标与图形．【难度】★★【题型】填空题8．如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是________．【答案】【解析】连接CE,因为A、C关于BD对称．CE即为AP+PE的最小值．∵正方形边长为4,E是AB中点,∴BC=4,BE=2．.故答案为:.【知识点】轴对称-最短路径问题．【难度】★★【题型】填空题三、解答题9．已知：如图，和都是等腰直角三角形，．求证：四边形是正方形．【答案】见解析【解析】证明：和都是等腰直角三角形，，，，，，，四边形是矩形，，四边形是正方形．【知识点】正方形的判定以及等腰直角三角形的性质．【难度】★【题型】解答题10．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），，且．求证：四边形ABCD是正方形．【答案】证明见解析．【解析】证明：如图，作于点，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，，∠ABC=90°∵，∴，∵，∴，∴，∴.∴矩形是正方形．【知识点】正方形的性质．【难度】★【题型】解答题11．如图，四边形是正方形，点是上的任意一点，于点，，交于点．那么与相等吗？请说明理由．【答案】．理由见解析.【解析】．理由如下：∵四边形是正方形，∴，．∵，∴．∴．又，∴．∵，∴．在与中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．【知识点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质．【难度】★【题型】解答题12．如图，已知四边形ABCD是矩形，尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内．【答案】见解析【解析】如图，正方形BECF为所作．【知识点】作图−复杂作图，正方形的判定．【难度】★★【题型】解答题13．如图，在四边形AECF中，．CE、CF分别是△ABC的内，外角平分线．

（1）求证：四边形AECF是矩形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当△ABC满足时，四边形AECF是正方形，见解析.【解析】（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内、外角平分线，，．，即．，∴四边形AECF是矩形．（2）当△ABC满足时，四边形AECF是正方形．理由：.．．∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．【知识点】矩形和正方形的判定．【难度】★★【题型】解答题14．如图，正方形中，为上的点，是的延长线的点，且，过作垂足为交于点．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）由正方形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，由“AAS”可证△ABM≌△EFA，可得AF=BM；（2）由勾股定理可求AM=13，由全等三角形的性质可得AM=AE=13，即可求DE的长．【解析】（1）证明：四边形是正方形，...又，..（2）解：在中，.，..【知识点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质．【难度】★★【题型】解答题15．已知：四边形是正方形，E、F分别是和的延长线上的点，且，连接、、．

(1)求证：；(2)判断的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析【解析】（1）解：四边形是正方形，是延长线上一点，，，在和中，，；（2）是等腰直角三角形，理由是：由（1）可知，.，，，，即是等腰直角三角形．【知识点】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）一、选择题1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（）A．2 B． C．4 D．2【答案】C【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°，∴∠CON＝∠DOM，在△OCN和△ODM中，，∴△OCN≌△ODM（ASA），∴S△OCN＝S△ODM，∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON，即S△ODC＝S四边形MOND＝2，∵OD•OC＝2，而OD＝OC，∴OD＝2，∴BD＝2OD＝4．故选C．【知识点】本题考查了正方形的性质.【难度】★★★【题型】选择题2．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝AD；④△COF的面积是3．其中正确的结论为（）A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④【答案】C【解析】在正方形ABCO和正方形DEFO中，∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确；∵EF＝，∴OE＝2.∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确；题意得：∵∠AOC＝∠DOF，∴∠AOD＝∠COF.∵AO＝CO，DO＝FO，∴△AOD≌△COF（SAS），∴CF＝AD，故③正确；④△COF的面积S△COF＝S△AOD×3×1＝，故④错误；∴其中正确的结论为①②③，故选：C．【知识点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质．【难度】★★★【题型】选择题二、填空题3．如图，分别以△ABC的边，为边往外作正方形与正方形，连接，，，若，，则的值为．【答案】【解析】如图所示，连接CD，BF，设DB与CF交于O.∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，∴，，，∴，∴，∴.又∵，∴，∴，∴，，，，∴.∵，，∴，故答案为：10.【知识点】正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，垂线的定义和勾股定理.【难度】★★★【题型】填空题4．如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线.其中正确结论的有．【答案】①②③【解析】正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，∴∠EDF＝∠FDC＋∠CDE＝∠FDC＋∠ADF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；∴∠DFE＝45°，∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，∴∠NBE＝45°.∵∠FDN＋∠DFN＋∠DNF＝∠NBE＋∠BNE＋∠NEB＝180°，∠NBE＝∠DFE＝45°，∠DNF＝∠BNE，∴∠FDB＝∠FEB，故②正确；连接BM、DM，如图所示：∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，∴BM＝DM＝EF，又∵BC＝CD，∴直线CM是BD的垂直平分线，故③正确；综上所述，正确的结论有①②③．故答案为：①②③．【知识点】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质.【难度】★★★【题型】填空题三、解答题5．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D坐标分别为（0，3）、（7，0）、（4，3）、（0，2），连接AC和BC，点P为线段AC上一从左向右运动的点，以PD为边作菱形PDEF，其中点E落在x轴上．（1）则BC的长为，∠OBC的度数为°.（2）在点P运动过程中，是否能使得四边形PDEF为正方形？若存在，请求出点P的坐标若不存在，请说明理由.（3）如图2，当点P运动到使得菱形PDEF的顶点F恰好在边BC上时，求出此时点F的坐标．（4）若要使得顶点F不落在四边形OACB外，请直接写出菱形PDEF的对角线交点的最大运动路径长．【答案】（1）；；（2）存在，点P的坐标为（2，3）；理由见详解；（3）点F的坐标为（6，1）；（4）