备战中考数学知识点过关培优训练一元二次方程组

备战中考数学知识点过关培优训练∶一元二次方程组一、一元二次方程1.在等腰三角形△ABC中,三边分别为a、b、c,其中ɑ＝4,若b、c是关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣
)＝0的两个实数根,求△ABC的周长.【答案】△ABC的周长为10.【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k值,将k值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值,由b+c=a可得出此种情况不存在.综上即可得出结论.【详解】当a＝4为腰长时,将x＝4代入原方程,得:
解得:
当
时,原方程为x2﹣6x+8＝0,解得：x1＝2,x2＝4,∴此时△ABC的周长为4+4+2＝10;当a＝4为底长时,△＝[﹣(2k+1)]2﹣4×1×4(k﹣
)＝(2k﹣3)2＝0,解得:k＝
,∴b+c＝2k+1＝4.∵b+c＝4＝a,∴此时,边长为a,b,c的三条线段不能围成三角形．∴△ABC的周长为10.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.2.阅读下列材料计算：（1﹣
﹣
)×（
+
)﹣（1﹣
﹣
)（
+
),令
+
＝t,则：原式＝(1﹣t)(t+
)﹣(1﹣t﹣
)t＝t+
﹣t2﹣
+t2＝
在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法",请用“换元法"解决下列问题：(1)计算:(1﹣
﹣
)×(
+
)﹣(1﹣
﹣
)×(
+
)(2)因式分解:(a2﹣5a+3)(a2﹣5a+7)+4(3）解方程:(x2+4x+1）(x2+4x+3）＝3【答案】（1）
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0,x2＝﹣4,x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】(1)仿照材料内容,令
+
＝t代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元,令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解,最后要记得把t换为a.（3）观察式子找相同部分进行换元,令x2+4x＝t代入原方程,即得到关于t的一元二次方程,得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】(1)令
+
＝t,则:原式＝(1﹣t)(t+
)﹣(1﹣t﹣
)t＝t+﹣t2﹣
﹣t+t2+
＝
（2)令a2﹣5a＝t,则：原式＝(t+3)(t+7)+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝(t+5)2＝(a2﹣5a+5)2（3)令x2+4x＝t,则原方程转化为：(t+1）(t+3）＝3t2+4t+3＝3t(t+4)＝0∴t1＝0,t2＝﹣4当x2+4x＝0时,x(x+4)＝0解得:x1＝0,x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时,x2+4x+4＝0(x+2)2＝0解得:x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.3.已知关于x的方程
①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x的方程
②有实数根,又k为正整数,求代数式
的值.【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a,又由于关于x的方程(k-1)x2+3x-2a=0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k为正整数,利用判别式可以求出k,最后代入所求代数式计算即可求解.【详解】解:设方程①的两个实数根分别为x1.x2则，由条件,知
=3,即
,且
,故a＝－1,则方程②为(k-1)x2+3x+2=0,Ⅰ.当k-1=0时,k=1,x=
,则
.Ⅱ.当k-1≠0时,
=9-8(k-1)=17-6-8k≥0,则
,又k是正整数,且k≠1,则k=2,但使
无意义.综上,代数式
的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,4.解方程:x2－2x＝2x＋1.【答案】x1＝2－
,x2＝2＋
.【解析】试题分析:根据方程,求出系数a、b、c,然后求一元二次方程的根的判别式,最后根据求根公式
求解即可.试题解析:方程化为x2－4x－1＝0.∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20,∴x＝
＝2±
,∴x1＝2－
,x2＝2＋
.5.解方程:
【答案】【解析】试题分析:先对方程的右边因式分解,直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解,得开平方,得
,或
解得6.y与x的函数关系式为:y=1.7x(x≤m);
或
(x≥m);7.已知
为正整数,二次方程
的两根为
,求下式的值:
【答案】【解析】由韦达定理,有
,
.于是,对正整数
,有原式=8.已知关于
的方程
有两个实数根.(1)求
的取值范围;(2)若方程的两实数根分别为
,
,且
,求
的值.【答案】(1）
(2）4【解析】试题分析:根据方程的系数结合根的判别式即可得出
,解之即可得出结论.根据韦达定理可得：
,结合
即可得出关于
的一元二次方程,解之即可得出
值,再由⑴的结论即可确定
值.试题解析:因为方程有两个实数根,所以
,解得.根据韦达定理,因为
,所以
,将上式代入可得
,整理得
,解得
,又因为
,所以
.9.已知关于
的一元二次方程
.(1)当
取什么值时,方程有两个不相等的实数根;(2）当
时,求方程的解.【答案】（1）当
且
时,方程有两个不相等的实数根；（2）
,
.【解析】【分析】(1)方程有两个不相等的实数根,
,代入求m取值范围即可,注意二次项系数≠0;（2）将
代入原方程,求解即可.【详解】(1)由题意得:
=
,解得
.因为
,即当
且
时,方程有两个不相等的实数根.（2）把
带入得
,解得
,
.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解,熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.10.如图,在
中,
,
,
,现有两点
、
的分别从点
和点B同时出发,沿边
,BC向终点C移动.已知点
,
的速度分别为
,
,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,设
,
两点移动时间为
.问是否存在这样的
,使得四边形
的面积等于
?若存在,请求出此时
的值;若不存在,请说明理由.【答案】假设不成立,四边形
面积的面积不能等于
,理由见解析【解析】【分析】根据题意,列出BQ、PB的表达式,再列出方程,判断根的情况.【详解】解:∵
,
,
,∴．∴
,
;假设存在
的值,使得四边形
的面积等于
,则，整理得:
,∵，∴假设不成立,四边形
面积的面积不能等于
.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.11.阅读下面的例题,范例:解方程x2﹣|x|﹣2=0,解:(1)当x≥0时,原方程化为x2﹣x﹣2=0,解得:x1=2,x2=﹣1(不合题意,舍去).（2）当x＜0时,原方程化为x2+x﹣2=0,解得：x1=﹣2,x2=1（不合题意,舍去）.∴原方程的根是x1=2,x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣10|﹣10=0.【答案】x1=4,x2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况:当x≥10时,原方程化为x2﹣x=0,当x＜10时,原方程化为x2+x﹣20=0,分别求出方程的解即可.【详解】当x≥10时,原方程化为x2﹣x+10﹣10=0,解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1(不合题意,舍去);当x＜10时,原方程化为x2+x﹣20=0,解得x3=4,x4=﹣5,故原方程的根是x1=4,x2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法,解此题的关键是能正确去掉绝对值符号.12.已知
、
是关于
的方程
的两个不相等的实数根.(1)求实数的取值范围;(2)已知等腰
的一边长为7,若
、
恰好是
另外两边长,求这个三角形的周长.【答案】(1）m>2;(2)17【解析】试题分析:(1)由根的判别式即可得;(2)由题意得出方程的另一根为7,将x=7代入求出x的值,再根据三角形三边之间的关系判断即可得.试题解析:解:(1)由题意得△=4(m+1)2﹣4(m2+5)=8m－16＞0,解得:m＞2;(2）由题意,∵x1≠x2时,∴只能取x1=7或x2=7,即7是方程的一个根,将x=7代入得：49﹣14(m+1）+m2+5=0,解得：m=4或m=10.当m=4时,方程的另一个根为3,此时三角形三边分别为7.7.3,周长为17;当m=10时,方程的另一个根为15,此时不能构成三角形;故三角形的周长为17.点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系,熟练掌握韦达定理是解题的关键．13.某产品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种产品在未来20天内的日销售量
(单位:件)是关于时间
(单位:天)的一次函数,调研所获的部分数据如下表:时间/天131020日销售量/件98948060这20天中,该产品每天的价格
(单位:元/件)与时间
的函数关系式为:
(
为整数),根据以上提供的条件解决下列问题:(1)直接写出
关于
的函数关系式;（2)这20天中哪一天的日销售利润最大,最大的销售利润是多少?(3）在实际销售的20天中,每销售一件商品就捐赠
元(
）给希望工程,通过销售记录发现,这20天中,每天扣除捐赠后的日销利润随时间
的增大而增大,求
的取值范围.【答案】（1）
；（2）在第15天时日销售利润最大,最大利润为612.5元；（3）
.【解析】【分析】(1)从表格可看出每天比前一天少销售2件,即可确定一次函数关系式;(2)根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式,然后根据函数性质求最大值,即可确定答案;（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润,根据函数性质求a的取值范围【详解】(1)设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:解得:k=-2,b=100∴关于的函数关系式为:.(2)设前20天日销售利润为
元,由题意可知,∵
,∴当
时,
.∴在第15天时日销售利润最大,最大利润为612.5元.（3）由题意得:
，∴对称轴为:
,∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间
的增大而增大,且
,∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,熟练掌握各函数的性质和图象特征,掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.14.已知关于
的方程
有两个不相等的实数根
,
.
求
的取值范围.
是否存在实数
,使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)
且
;(2)
不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)因为方程(k﹣1)x2+(2k﹣3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.得出其判别式△＞0,可解得k的取值范围;（2）假设存在两根的值互为相反数,根据根与系数的关系,列出对应的不等式即可求出k的值．【详解】(1)方程(k﹣1)x2+(2k﹣3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,可得:k﹣1≠0且△=﹣12k+13＞0,解得:k＜
且k≠1;(2)假设存在两根的值互为相反数,设为x1,x2.∵x1+x2=0,∴﹣
=0,∴k=
.又∵k＜
且k≠1,∴k不存在．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系,属于基础题,关键掌握x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q.15.如图,在四边形
中,
,
,
,
,
,动点P从点D出发,沿线段
的方向以每秒2个单位长的速度运动;动点Q从点C出发,在线段
上以每秒1个单位长的速度向点
运动;点P,
分别从点D,C同时出发,当点
运动到点
时,点Q随之停止运动,设运动的时间为t秒).