湖南名校联盟汉寿一中等多校2024-2025学年高一下学期期末大联考数学试题（人教B） 含解析

2025年上期高一期末大联考数学(人教B)(考试范围：必修一必修二考试时间：120分钟，满分150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（）A.通过圆台侧面一点，有无数条母线B.棱柱的底面一定是平行四边形C.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形D.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台【答案】C【解析】【分析】根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断.【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以A不正确；因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以B不正确；因为由棱台的定义，要求上､下底面平行，所以D不正确；因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以C正确.故选：C【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.设集合，若，则（）A.或或2 B.或 C.或2 D.或2【答案】C【解析】【分析】分和讨论，即得解.【详解】当时，，符合题意；当时，或.当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去.故或.故选：C【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（）A. B. C.0， D.0，【答案】D【解析】【分析】等价于，分、两种情况讨论，从而可得答案.【详解】.当时，为空集，满足条件.当时，或，解得或.综上可得，实数a的取值所组成的集合是2，.故选：D.【点睛】本题主要考查集合表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.4.若函数且在上的值域为，则的值为（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据题意可得出关于实数、的方程组，解之即可.【详解】因为且，当时，，此时，函数在上单调递减，根据题意可得，解得；当时，，此时，函数在上单调递增，根据题意可得，解得.综上所述，或.故选：A.5.对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式，即可得出使不等式成立的一个必要不充分条件.【详解】由不等式，得，解得，又表示不大于的最大整数,所以，即，观察选项，只有D选项的包含，满足要求，故选：D6.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．【详解】∵等价于，当或时，不成立；∴充分性不成立；又∵等价于，有；∴必要性成立；∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．7.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.8.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数函数及二次函数单调性求出单调增区间.【详解】函数中，，解得或，函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标是（）A.(2,3) B.(2,－1) C.(4,1) D.(－2,－1)【答案】ACD【解析】【分析】设再根据向量相等分类讨论可得；【详解】解：设，若，则，即解得，即；若，则，即解得，即；若，则，即解得，即；故选：ACD【点睛】本题考查向量相等的应用，属于基础题.10.如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（）A.当点在线段上移动时，B.满足的点有且只有一个C.满足的点有两个D.最大值为3【答案】ACD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分类讨论，点在、(不含点)、(不含点)、(不含点)上时的取值，进而逐项进行判断即可.【详解】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则，所以，由，得，所以，所以，①当点在上时，，且，所以，故A正确；②当点在(不含点)上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，即；③当点在(不含点)上时，则，且，所以，即，所以；④当点在(不含点)上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，所以；对于B，由①知，当时，，此时点与点重合；由④可知当时，，，此时点在的中点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误；对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点；由③知，当时，，，此时点在点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，故C正确；对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确.故选：ACD.11.已知函数的定义域为，满足，且，则（）A. B.为奇函数C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A.通过赋值，求的值；B.赋值，即可判断函数的奇偶性；C.赋值，利用函数的周期性，即可求和；D.通过多次赋值，可证明，即可判断.【详解】A.令，有，得，A正确；B.令，得，，则，函数的定义域为，所以函数为偶函数，故B错误；C.令，得，即，设，则，所以，所以函数的周期为2，，，…，，所以，，所以，故C正确，D.由，，，令，得，所以，将换成，得，①，将换成，得，②，将换成，换成，得,③,①+②-③,得，则，得，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题关键的方法是赋值法，尤其是D选项，通过三次赋值，找到等式间的关系，再可进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质求解即可.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于中等题.13.关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．【答案】．【解析】【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围．【详解】不等式可化为，①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；③当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：；④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；⑤当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：，综合以上，可得：.故答案为：．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．14.若，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】利用函数的单调性，分三类讨论即可求解.【详解】考虑函数.因为函数的单调递减区间为和.所以不等式等价于或者或者，解得：或.所以实数的取值范围为：.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中（1）若且，求的坐标;（2）若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设，由，可得，解方程求得值．（2）求出，由与的夹角为锐角可得，解得的范围，而当与共线且方向相同时，求出对应的的值，从而得到的取值范围．【小问1详解】，，故可设，由，可得，解得，或．【小问2详解】，，，与的夹角为锐角，，，．而当与共线且方向相同时，，，解得，故的取值范围为．16.某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位:分钟)，并将样本数据分成，，，，，六组，绘制如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名?（2）估计该100名学生日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数.【答案】（1）（2）该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图，由频率计算概率，再计算人数即可；（2）利用频率分布直方图的平均数的计算公式可得平均数；先确定第百分位数在内，然后列式计算.【小问1详解】由题意知不低于分钟的频率为，所以该段日平均数学学习时长不低于分钟的学生有．【小问2详解】，可知名学生的日平均数学学习时长的平均数约为．，，所以第百分位数在内，设第百分位数为，则有，解得，所以该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为．17.已知集合，集合.（1）若，求和（2）若，求实数取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【详解】试题分析：⑴把代入求出，，即可得到和⑵由得到，由此能求出实数的取值范围；解析：（1）若，则．，（2）因为,若，则，若，则或，综上，18.设向量（1）若求;（2）若求的值;（3）若求证：//【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】利用两个向量垂直的性质，求得的值，即可得到的值

由题意可得的坐标，再根据求得的值，根据的范围，从而求得的值

根据得到，即可得到，从而得证．【小问1详解】若，则，，

再由，可得【小问2详解】由题意可得，

，

．

结合，可得为第三象限角，故，

；【小问3详解】若，则有，

，

故．19.已知函数.（1）若函数是奇函数，求的值；（2）若，记函数在上最小值为.（i）求；（ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义可直接求参数的值.（2）（i）分情况去掉绝对值符号，结合二次函数的单调性，求函数的最小值，可得的解析式；（ii）问题转化为的值域是值域的子集，根据集合之