河南省2025届高三上学期12月联考数学试题

第第页河南省2025届高三上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=−2−2i，则|z|=A.0B.2C.4D.22.已知集合A={x|x2−4x+3=0}，B={x|(x−2)A.−1B.0C.1D.23.函数f(x)=2x3+A.y=6x−4B.y=−6x−4C.y=6x+4D.y=−6x+44.已知0<α<β<π2，cos(α+β)=5A.35B.725C.245.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，则PA⋅PBA.1B.3C.2D.46.已知函数f(x)=ax2+a(a>0且a≠1)的图象与直线y=a交于AA.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(0,4)7.如图，第1个图案中的小正方形和小长方形共有5个，第2个图案中的小正方形和小长方形共有13个．根据图案的规律，第10个图案中的小正方形和小长方形共有A.162个B.221个C.163个D.222个8.将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为A.32π3B.2821π7二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，A.BD⊥平面B1EFB.BG⊥平面B1EFC.A1C10.已知定义在R上的函数f(x)不是奇函数，且∃x∈R，f(−x)=−f(x)，则A.f(0)=0B.∃x∈R，f(−x)≠−f(x)C.f(x)的解析式可以是f(x)=−|x|+1D.f(x)的解析式可以是f(x)=11.已知函数f(x)=|sinA.f(x)是偶函数B.f(x)的最小正周期是2πC.f(x)的图象关于直线x=π2对称D.若∀x1∈0,2π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T13.已知2x2y214.已知函数f(x)=x3−πx2⋅sinx+π2x4的零点分别是x1，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos(1)证明：△ABC为等腰三角形．(2)若D是AC的中点，求∠CBD的最大值．16.(本小题15分)在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PDC为等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，AB⊥PB，E为CD的中点．(1)证明：△PBE为等腰直角三角形．(2)求二面角A−DP−C的正弦值．17.(本小题15分)已知函数f(x)=loga(1)若f(x)的图象经过点(1,2)，求a的值；(2)若∀x∈(−∞,−1)，f(x)>loga(18.(本小题17分)已知{a①对于{an}中任意两项ai，aj(i<j)，在②对于{an}中任意一项an(n≥3)，在{a(1)若an=2(2)若an=n，判断(3)若{an}同时满足性质①和性质②，证明：a1，a219.(本小题17分)对于一个函数f(x)和一个点M(a,b)，令函数s(x)=f(x)−bx−a，若x0是s(x)的极值点，则称点P(x0(1)对于函数f(x)=ex，证明：对于点M(1,0)，存在点P，使得点P是M在(2)对于函数f(x)=13x4+ax2，M(0,0)，若不存在点P，使得点P(3)对于函数f(x)=(x2+ax)lnx，M(0,0)，若存在两个不同的点P，使得点P是M答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的模，掌握模的公式是求解的关键.根据复数z=a+bi(a,b∈R)的模为：|z|=a2+b2，直接由求模公式求模即可.【解析】2.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查集合关系中的参数问题，属于基础题.由题意，得A={1,3}又B中最多有两个元素，且A⊆B，所以A=B，进而求解a.【解答】

解：A={x|x2−4x+3=0}={1,3}，B中最多只有2个元素.又因为A⊆B，所以A=B，所以3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于基础题.求出导数，利用导数的几何意义求出k=f'1=6，结合f(1)=2，利用点斜式，即可求出结果.【解答】

解：因为f(x)=2x3+lnx−x+1，所以f(1)=2，f'x4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查三角函数求值问题，属于基础题.利用同角基本关系以及两角和的正弦即可求解.【解答】

解：因为0<α<β<π2，所以0<α+β<π，0<β−α<π2.因为cos(α+β)=555.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了向量数量积运算，属于中档题

取AB的中点E，连接PE，可得PA⋅【解答】

解：取AB的中点E，连接PE，

则PA⋅PB=(PE+EA6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了函数零点问题，属于中档题;f(x)=ax【解答】

解：令f(x)=ax2+a=a，则x2+a=1，即x2=1−a，若f(x)的图象与直线y=a有2个交点，则1−a>0，解得a<1，所以a的取值范围是7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了等差数列的实际应用，属于基础题;由题意，各图中所含小正方形和小长方形的总个数，归纳利用等差数列前n项和公式可得，第n个图案中的小正方形和小长方形的总个数为2n2【解答】

解：由题意，各图中所含小正方形和小长方形的总个数分别为1+4，1+4+4×2，1+4+4×2+4×3，⋯，归纳可得，第n个图案中的小正方形和小长方形的总个数为1+4+4×2+4×3+⋯+4n=1+4×(1+n)n2=2n2+2n+18.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查多面体的外接球，属于中档题．

分合成直三棱柱和直四棱柱两种情况计算比较即可.【解答】

解：若将这2个直三棱柱合成1个高为4的直三棱柱，其外接球的半径为(233)2+22=49.【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，利用空间向量判定线面的垂直、平行关系，属于中档题.以点

D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量判定线面的垂直、平行关系判断.【解答】

解：以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=2，则B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，G(0,0,1).EF=(−1,1,0)，EB1=(0,1,2)，BG=(−2,−2,1)，DB=(2,2,0)，A1C1=(−2,2,0)，DA1=(2,0,2).设平面B1EF的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EF=−x+y=0,m⋅EB1=y+2z=0,取m=(2,2,−1).因为BG//m，所以BG⊥平面B1EF，B10.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性应用，属于基础题

结合函数奇偶性定义逐项判定即可【解答】

解：f(0)不一定为0，A错误；因为f(x)不是奇函数，所以∃x∈R，f(−x)≠−f(x)，B正确；f(x)=−|x|+1不是奇函数，且f(−1)=−f(1)，符合题意，C正确；f(x)=−x2+2,x≥0,x,x<0不是奇函数，且f(−1)=−f(1)，符合题意，11.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查函数的图象和性质，函数的奇偶性、周期性、对称性，属于中档题．根据函数的奇偶性的定义，函数的周期性的定义，函数的对称性，函数的图象和性质逐一判断即可．【解答】解：因为f(−x)=|sin(−x)|(|cos(−x)|+1)=|sinx|(|cosx|+1)=f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确.因为f(x+π)=|sin(x+π)|[|cos(x+π)|+1]=|sinx|(|cosx|+1)=f(x)，所以f(x)的最小正周期不是2π，B错误.f(π−x)=|sin(π−x)|[|cos(π−x)|+1]=|sinx|(|cosx|+1)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=π2对称，C正确.当x∈(0,π2)时，f(x)=sinx(cosx+1)，f'(x)=(2cosx−1)(cosx+1)，当x∈(0,π3)时，f'(x)>0，当x∈(π3,π2)时，f'(x)<012.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查等比数列的性质以及应用，注意分析Tn的性质，属于基础题．根据题意，可得a5a6a7=1，结合等比数列的性质得a5a7=a13.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查了"1"的妙用以及利用单调性求最值，属于基础题．

将(x2+y2解：(x2+y2)2=x414.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查了函数的零点问题，考查了转化与化归思想，属于中档题．

由题意可得x=0是f(x)的一个零点，当x≠0时，令x2−πx⋅sinx+π24=0，求出的零点，即为f(x)零点，代入计算即可得答案．【解答】

解：令f(x)=x(x2−πx⋅sinx+π24)=0，显然x=0是f(x)的一个零点，当x≠0时，令x2−πx⋅sinx+π24=0，则x2+π15.【答案】(1)证明：若cosA=0，则cosB=0，所以A=B=π2，不符合题意，所以cosA≠0.同理，cosB≠0.因为cosA(sinB+1)=cosB(sinA+1)，所以sinA+1cosA=sinB+1cosB，所以(sinA2+cosA2)2cos2A2【解析】本题考查余弦定理的应用及二倍角公式的应用，属于中档题.(1)利用倍角正余弦公式及差角正弦公式，将已知等式化为sin(A2−B2)=016.【答案】解：(1)证明：在△PCD中，E为CD的中点，所以PE⊥CD，PE=3CE.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.因为BE、AB⊂平面ABCD，所以PE⊥BE，PE⊥AB，∠PEB=90∘.因为AB⊥PB，PE∩PB=P，PE、PB⊂平面PBE，所以AB⊥平面PBE.因为BE⊂平面PBE，所以AB⊥BE，所以∠ABE=∠BEC=90∘.因为CE=12CD=12BC，所以BE=BC2−CE2=3CE，所以PE=BE，△PBE为等腰直角三角形.(2)设DC=2，以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,3)，A(3,−2,0)，D(0,−1,0).PA=(3,−2,−3【解析】本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了二面角求解，属于中档题(1)利用面面垂直的性质，线面垂直的判定证得∠BEC=90∘，PE=BE即可；17.【答案】解：(1)由已知，f1=2，即logaa+1=2，所以a2=a+1，解得a=1+52或a=1−52(舍去)，故a的值为1+52；(2)f(x)>loga(a2x−11)，即loga(ax+1)>loga(a2x−11).①当a>1时，函数g(x)=ax是增函数，当x∈(−∞,−1)时，ax<1，a2x−11<0，不满足定义域，不符合题意.②当0<a<1【解析】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，利用其单调性解不等式，以及解决不等式恒成立问题，属于中档题.(1)由已知，根据f1=2，即可求出a的值；(2)因为f(x)>loga(a2x−11)，即loga(ax+1)>loga18.【答案】(1)解：因为a2=4，a1=2，2a2−a1=6，而6不是{an}中的项，所以{an}不满足性质①.(2)解：∀ai，aj(i,j∈N+,i<j)，2aj−ai=2j−i∈N+，所以2aj−ai=a2j−i，所以{an}满足性质①.

∀n∈N+，n≥3，∃k=n−2，l=n−1，an=2an−1−an−2=2al−ak，所以{an}满足性质②.(3)证明：{an}【解析】本题属于新定义题，涉及数列的通项公式，等差数列的判定与证明，数列的函数特性，考查逻辑思维能力，属中高档题．(1)取特值检验，即可否定；(2)根据通项公式直接验证即可；(3)先利用性质②，取n=3，此时a3=2ak−alk>l，由数列的单调递增证得k<3，进而k=2,l=1，得到19.【答案】(1)证明：M(1,0)，s(x)=exx−1，s'(x)=(x−2)ex(x−1)2.当x∈(−∞,1)∪(1,2)时，s'(x)<0;当x∈(2,+∞)时，s'(x)>0.所以s(x)在(−∞,1)，(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，则2是s(x)的极小值点，故存在点P(2,e2)，使得点P是M在f(x)的“边界点”.(2)解：M(0,0)，s(x)=13x4+ax2x=13x3+ax(x≠0)，s'(x)=x2+a(x≠0).因为不存在点P，使得点P是M在f(x)的“边界点”，所以s(x)没有极值点.若a≥0，则s'(x)>0，s(x)没有极值点.若a<0，则当x∈(−∞,