2025年新高二数学人教A版中等生专题复习《集合与常用逻辑用语》

第29页（共29页）2025年新高二数学人教A版（2019）中等生专题复习《集合与常用逻辑用语》一．选择题（共8小题）1．（2025春•涟源市月考）集合A＝{x∈Z|﹣6＜4x﹣2＜6}，则下列表示正确的是（）A．1⊂A B．0∈A C．1∉A D．﹣1∈A2．（2025春•浙江月考）设全集为R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＜7，x∈N*}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤3} B．{x|1≤x＜7} C．{1，2} D．{1，2，3}3．（2025•嘉峪关校级模拟）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．[1，2] D．[1，3]4．（2025•河北校级一模）已知集合A＝{x|log3（3x﹣2）＜1}，B＝{x|（13）1﹣2x＜3}，则A∩BA．（23，1） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，53） D．（1，5．（2025•黄冈模拟）已知集合A={y|y=logA．{x|﹣1＜y＜1} B．{y|0＜y＜1} C．{y|y＞1} D．∅6．（2025•长沙校级模拟）已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β的充分条件是（）A．α⊥γ，β⊥γ B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β C．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β7．（2024秋•湘潭期末）“a＞2”是“关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0有解”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件8．（2024秋•宁波期末）若全集U＝{x|0≤x≤4，x∈Z}，A＝{0，1，2}，B＝{2，3}，则（∁UA）∩B＝（）A．{3} B．{3，4} C．{2} D．{2，3}二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•天心区校级期中）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B．命题p：∀x∈R，x2＞0，则￢p：∃x∈R，x2＜0 C．命题“若a＞b＞0，则1a＜D．“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件（多选）10．（2025•山海关区二模）已知集合M={A．N⊆P B．P⊆M C．N⊆M D．M⊆N（多选）11．（2025•南宁模拟）下列选项中表示正确的是（）A．∅⊆∅ B．2∈C．0＝∅ D．{1，2，3}＝{3，2，1}（多选）12．（2025春•砚山县校级月考）下列说法正确的是（）A．∃x0∈R，log3x0＝2 B．a+b＝0的充要条件是abC．∀x∈R，x2≥0 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件三．填空题（共4小题）13．（2025春•西青区校级月考）若命题“∀x∈R，（a+1）x2+x+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为．14．（2025•黄浦区校级三模）若集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{x|x≤﹣1或x≥4}，则A∩B＝．15．（2025•临泉县校级三模）已知集合A＝{0，4，a+6}，B＝{0，a2}，若A∩B＝B，则实数a＝．16．（2025春•北京校级期中）命题“∀x∈R，使mx2﹣（m+3）x+m＞0”是假命题，则实数m的取值范围是．四．解答题（共4小题）17．（2025春•延吉市校级期中）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤3﹣2a}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．（1）若a＝0，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围；（3）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（2024秋•龙岗区校级期末）设集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，集合B＝{x|﹣2﹣a＜x＜3+2a}．（1）若a＝1，求A∩B和A∪B；（2）A∪B＝A，求实数a的取值范围．19．（2025春•广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．（1）当a＝2时，求A∪（∁RB）；（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（2024秋•榆阳区校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣9x+18≤0}，B＝{x|4＜x＜9}．（1）分别求A∩B，A∪B．（2）已知C＝{x|m﹣2＜x＜m+1}，且C⊆B，求实数m的取值范围．

2025年新高二数学人教A版（2019）中等生专题复习《集合与常用逻辑用语》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDAABDDA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACACABDACD一．选择题（共8小题）1．（2025春•涟源市月考）集合A＝{x∈Z|﹣6＜4x﹣2＜6}，则下列表示正确的是（）A．1⊂A B．0∈A C．1∉A D．﹣1∈A【考点】判断元素与集合的属于关系．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】B【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可．【解答】解：由题意可知，集合A＝{x∈Z|﹣6＜4x﹣2＜6}＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，所以0∈A，1∈A．故选：B．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．2．（2025春•浙江月考）设全集为R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＜7，x∈N*}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤3} B．{x|1≤x＜7} C．{1，2} D．{1，2，3}【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】D【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＜7，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6}，故A∩B＝{1，2，3}．故选：D．【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．3．（2025•嘉峪关校级模拟）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．[1，2] D．[1，3]【考点】求集合的交集；解一元二次不等式．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】A【分析】由题意解一元二次不等式即可求出集合N内的元素，再求集合M，N共同包含的元素即可．【解答】解：因为集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|（x﹣2）（x﹣1）≤0}，即N＝{x|1≤x≤2}，所以M∩N＝{1，2}．故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．4．（2025•河北校级一模）已知集合A＝{x|log3（3x﹣2）＜1}，B＝{x|（13）1﹣2x＜3}，则A∩BA．（23，1） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，53） D．（1，【考点】交集及其运算；指、对数不等式的解法．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】A【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：集合A＝{x|log3（3x﹣2）＜1}＝{x|23＜x＜B＝{x|（13）1﹣2x＜3}＝{x|x＜1}则A∩B＝（23，1故选：A．【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2025•黄冈模拟）已知集合A={y|y=logA．{x|﹣1＜y＜1} B．{y|0＜y＜1} C．{y|y＞1} D．∅【考点】求集合的交集；指数函数的值域；求对数函数的值域．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】B【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出结果．【解答】解：集合A={y|y=logB={y|y=12x则A∩B＝{y|0＜y＜1}．故选：B．【点评】本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2025•长沙校级模拟）已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β的充分条件是（）A．α⊥γ，β⊥γ B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β C．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β【考点】充分条件的判断；直线与平面垂直；平面与平面垂直．【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；数据分析．【答案】D【分析】根据空间中直线与平面的位置关系以及面面垂直的判定定理对各个选项逐个判断即可求解．【解答】解：选项A：由已知可得α∥β或者α⊥β，故A错误，选项B：由m⊥n，α∩β＝m，n⊂β可得：α，β相交，故B错误，选项C：由m∥α，m∥β可得：α∥β或者α，β相交，故C错误，选项D：由m∥α，m⊥β可得：α⊥β，故D正确，故选：D．【点评】本题考查了四个条件的应用，涉及到空间中直线与平面的位置关系以及面面垂直的判定定理，考查了学生的理解能力，属于中档题．7．（2024秋•湘潭期末）“a＞2”是“关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0有解”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件【考点】充分条件必要条件的判断．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；运算求解．【答案】D【分析】应用一元二次不等式的解的情况计算求参结合充分不必要条件定义判断即可．【解答】解：若关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0有解，则Δ＝（a+2）2﹣8a＝（a﹣2）2＞0，得a≠2．由“a≠2”不能推出“a＞2”，必要性不成立，“a＞2”可以推出“x2﹣（a+2）x+2a＜0有解”，充分性成立，所以“a＞2”是“关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0有解”的充分不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题．8．（2024秋•宁波期末）若全集U＝{x|0≤x≤4，x∈Z}，A＝{0，1，2}，B＝{2，3}，则（∁UA）∩B＝（）A．{3} B．{3，4} C．{2} D．{2，3}【考点】集合的交并补混合运算．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】A【分析】利用集合的交、并、补集运算即得．【解答】解：U＝{x|0≤x≤4，x∈Z}＝{0，1，2，3，4}，则∁UA＝{3，4}，（∁UA）∩B＝{3}．故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•天心区校级期中）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B．命题p：∀x∈R，x2＞0，则￢p：∃x∈R，x2＜0 C．命题“若a＞b＞0，则1a＜D．“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件【考点】充分条件的判断；求全称量词命题的否定．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】AC【分析】结合不等式性质检验ACD，结合全称量词命题的否定检验选项B．【解答】解：当a＞1，b＞1时，ab＞1一定成立，但ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立，即A正确；p：∀x∈R，x2＞0，则￢p：∃x∈R，x2≤0，B错误；若a＞b＞0，则1a＜1若a＞b，a2＞b2不一定成立，例如a＝1，b＝﹣1，若a2＞b2，a＞b不一定成立，例如a＝﹣2，b＝1，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，还考查了全称量词命题的否定，属于基础题．（多选）10．（2025•山海关区二模）已知集合M={A．N⊆P B．P⊆M C．N⊆M D．M⊆N【考点】判断两个集合的包含关系．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】AC【分析】先化简集合M，N，再根据子集定义判断．【解答】解：由题意得，M＝{x|x=2m+12，m∈Z}，N＝{x|x=4n-32，n∈Z}＝{x|x=4k+12，k∈Z所以N⊆M⊆P，故A，C正确，B，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．（多选）11．（2025•南宁模拟）下列选项中表示正确的是（）A．∅⊆∅ B．2∈C．0＝∅ D．{1，2，3}＝{3，2，1}【考点】判断两个集合的包含关系．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】ABD【分析】根据空集的性质判断A，根据补集的定义及元素与集合的关系判断B，根据空集的定义判断C，根据集合相等的定义判断D．【解答】解：对于选项A，因为∅是任何集合的子集，所以∅⊆∅，故选项A正确；对于选项B，因为2为无理数，又∁RQ表示无理数的集合，所以2∈∁R对于选项C，0是一个元素，∅为不含任何元素的集合，故选项C错误；对于选项D，集合{1，2，3}与集合{3，2，1}的元素相同，所以{1，2，3}＝{3，2，1}，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了空集的性质，考查了元素与集合的关系，以及集合相等的定义，属于基础题．（多选）12．（2025春•砚山县校级月考）下列说法正确的是（）A．∃x0∈R，log3x0＝2 B．a+b＝0的充要条件是abC．∀x∈R，x2≥0 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件【考点】存在量词命题的真假判断；充分条件必要条件的判断；全称量词命题的真假判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．【答案】ACD【分析】对于A，根据条件，直接求出x0，即可求解；对于B，取特殊值a＝b＝0，即可求解；对于C，利用x2≥0恒成立，即可求解；对于D，根据条件，利用充分条件和必要的条件的判断方法，即可求解．【解答】解：解log3x0＝2，得到x0＝9，所以选项A正确；当a＝b＝0时，ab无意义，所以选项B因为x2≥0恒成立，所以选项C正确；取a=3，b=12，显然满足ab＞1，但不满足a＞1，b＞1，即ab＞1推不出a＞因为a＞1，b＞1，由不等式的基本性质得ab＞1，所以a＞1，b＞1可以推出ab＞1，所以a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查命题真假的判断，考查充分必要条件的应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•西青区校级月考）若命题“∀x∈R，（a+1）x2+x+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为{a|a≥-34}【考点】全称量词命题真假的应用．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】{a|a≥-3【分析】由一元二次不等式恒成立可得．【解答】解：因为命题“∀x∈R，（a+1）x2+x+1≥0”是真命题，当a+1＝0，即a＝﹣1时，不等式为x+1≥0，显然不满足题意，；当a+1≠0，即a≠﹣1时，所以a+1＞0故答案为：{a|a≥-3【点评】本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，属于基础题．14．（2025•黄浦区校级三模）若集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{x|x≤﹣1或x≥4}，则A∩B＝{x|4≤x＜5}．【考点】求集合的交集．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】{x|4≤x＜5}．【分析】根据交集的定义计算．【解答】解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{x|x≤﹣1或x≥4}，所以A∩B＝{x|4≤x＜5}．故答案为：{x|4≤x＜5}．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．15．（2025•临泉县校级三模）已知集合A＝{0，4，a+6}，B＝{0，a2}，若A∩B＝B，则实数a＝2或3．【考点】集合的包含关系的应用．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】2或3．【分析】根据集合元素互异性可得a≠0，由A∩B＝B可得B⊆A，然后分类讨论即可求得参数．【解答】解：由题知，a≠0，因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a2＝4或a2＝a+6，①当a2＝4时，a＝±2，若a＝2，则A＝{0，4，8}，B＝{0，4}，符合题意，若a＝﹣2，则4＝a+6，不满足元素的互异性，舍去，②当a2＝a+6时，a＝﹣2（舍）或3，若a＝3，则A＝{0，4，9}，B＝{0，9}，符合题意，综上所述，a＝2或3．故答案为：2或3．【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．16．（2025春•北京校级期中）命题“∀x∈R，使mx2﹣（m+3）x+m＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【考点】全称量词命题的真假判断．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；运算求解．【答案】（﹣∞，3]．【分析】先求出原命题为真命题时参数m的取值范围，然后取其补集即可得到本题的答案．【解答】解：若命题“∀x∈R，使mx2﹣（m+3）x+m＞0”是真命题，①当m＝0时，原不等式化为﹣3x＞0，即x＜0，不能恒成立；②当m≠0时，若原不等式恒成立，则m＞0Δ=[-(综上所述，当m＞3时，原命题是真命题，结合题意，命题“∀x∈R，使mx2﹣（m+3）x+m＞0”是假命题，可得m≤3，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．【点评】本题主要考查含有题词的命题及其否定、一元二次不等式的解法与二次函数的性质等知识，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•延吉市校级期中）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤3﹣2a}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．（1）若a＝0，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围；（3）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】集合的交并补混合运算；充分不必要条件的应用；解一元二次不等式．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）A∩B＝{x|﹣1≤x≤3}；（2）实数a的取值范围为[-（3）实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【分析】（1）利用交集运算即可；（2）利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；（3）把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围．【解答】解：（1）当a＝0时，A＝{x|a﹣1≤x≤3﹣2a}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤3}；（2）因为A＝{x|a﹣1≤x≤3﹣2a}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，所以由A∪B＝B，得A⊆B，①当A≠∅时，则a-1≤②当A＝∅时，a﹣1＞3﹣2a，解得a＞综上，a≥-12，故实数a（3）由x∈B是x∈A的充分不必要条件，可得B⫋A，又A＝{x|a﹣1≤x≤3﹣2a}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，则a-1≤3-2a故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于中档题．18．（2024秋•龙岗区校级期末）设集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，集合B＝{x|﹣2﹣a＜x＜3+2a}．（1）若a＝1，求A∩B和A∪B；（2）A∪B＝A，求实数a的取值范围．【考点】集合的交并补混合运算．【专题】集合思想；分类法；集合；运算求解．【答案】（1）A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣3＜x＜5}；（2）(-∞，【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时；（2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围．【解答】解：（1）若a＝1，则B＝{x|﹣2﹣a＜x＜3+2a}＝{x|1＜x＜5}，又A＝{x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣3＜x＜5}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，当B＝∅时，满足B⊆A，此时3+2a当B≠∅时，要使B⊆A，需要a＞-13综上，实数a的取值范围为(-∞，【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查分类讨论思想，是基础题．19．（2025春•广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．（1）当a＝2时，求A∪（∁RB）；（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】集合的交并补混合运算；集合的包含关系的应用．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）{x|﹣2＜x≤3}；（2）（0，2）．【分析】（1）解一元二次不等式求出∁RB，根据集合的并集定义，即可求得答案；（2）由题意可判断出A为∁RB的真子集，列出相应不等式，即可得答案．【解答】解：（1）当a＝2时，A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，则∁RB＝{x|﹣2＜x＜3}，故A∪（∁RB）＝{x|﹣2＜x≤3}；（2）a＞0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，故A⫋∁RB，故1-a＞-21+a＜即实数a的取值范围（0，2）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于基础题．20．（2024秋•榆阳区校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣9x+18≤0}，B＝{x|4＜x＜9}．（1）分别求A∩B，A∪B．（2）已知C＝{x|m﹣2＜x＜m+1}，且C⊆B，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系的应用；求集合的交集；解一元二次不等式．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）A∩B＝{x|4＜x≤6}，A∪B＝{x|3≤x＜9}；（2）{m|6≤m≤8}．【分析】（1）解出集合后，结合集合的运算性质运算即可得；（2）利用子集概念即可求解．【解答】解：（1）由x2﹣9x+18≤0，解得3≤x≤6，所以A＝{x|3≤x≤6}，又因为B＝{x|4＜x＜9}，所以A∩B＝{x|4＜x≤6}，A∪B＝{x|3≤x＜9}；（2）因为C＝{x|m﹣2＜x＜m+1}，显然C≠∅，若C⊆B，则m-解得6≤m≤8，所以实数m的取值范围为{m|6≤m≤8}．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．

考点卡片1．判断元素与集合的属于关系【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．【命题方向】验证元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．2．判断两个集合的包含关系【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，则（）A．A＞BB．B∈AC．A⊆BD．B⊆A解：由题意可得，B⊆A．故选：D．3．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝∅，符合题意；当m≥1时，可得-3≤m综上所述，m≤32，即m故答案为：(-∞，4．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．5．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．6．集合的交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．设全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）∁U（A∩B）；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅲ）A∩（∁UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（∁UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．7．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．8．充分条件的判断【知识点的认识】充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P⇒Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件．【命题方向】在高考和其他数学考试中，常见的充分条件的命题方向包括几何图形的性质、函数的性质、数列的性质等．例如，三角形全等判定条件中的SAS、SSS等都是充分条件．函数的单调性和极值之间的关系也是常见的命题方向．下列选项中，满足p是q的充分条件的是（）A．p：x＞2，q：x＞B．p：m＝0，q：mn＝0C．p：x2≠0，q：x≠0D．p：x＞y，q：x2＞y2解：对于A，由x＞2可推出x＞1，所以x＞2是x＞对于B，由m＝0可推出mn＝0，所以m＝0是mn＝0的充分条件，B正确，对于C，由x2≠0可推出x≠0，所以x2≠0是x≠0的充分条件，C正确，对于D，当x＝2，y＝﹣2时，x＞y，但是x2＝y2，所以x＞y不是x2＞y2的充分条件，D错误．故选：ABC．9．充分不必要条件的应用【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．集合A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤3}B．{a|﹣1≤a＜2或2＜a≤3}C．{a|2＜a≤3}D．{a|a≥2}解：因为A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}＝{x|（x+2）（x+a）＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B且A≠∅，当﹣a＜﹣2时，A＝{x|﹣a＜x＜﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≥﹣3，解得2＜a≤3，当﹣a＞﹣2时，A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≤1，解得﹣1≤a＜2，所以﹣1≤a＜2或2＜a≤3．故选：B．10．全称量词命题的真假判断【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题的判定方法全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．命题全称命题∀x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②对一切x∈M，使p（x）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，则p（x）成立﹣【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假．【命题方向】全称量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定．例如，判断一个数列的全称性质是否成立，或判断几何图形的某个性质是否对所有相关对象成立．这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证．判断下列全称量词命题的真假：（1）所有素数都是奇数；（2）∀x∈R，|x|+1≥1；（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．解：（1）2是素数，但2不是奇数，∴所有素数都是奇数是假命题；（2）∀x∈R，总有|x|≥0，∴|x|+1≥1，∴∀x∈R，|x|+1≥1是真命题；（3）2是无理数，但（2）2＝2是有理数，∴全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．11．全称量词命题真假的应用【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题的判定方法全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．命题全称命题∀x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②对一切x∈M，使p（x）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，则p（x）成立﹣【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计算．【命题方向】全称量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用全称量词命题的真假来推导数的整除性、代数式的恒等关系，或几何图形的某些性质．这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力．若命题“∀x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0为真命题，则a的最小值为_____．解：∀x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0，则a≥当x∈[1，3]时，xx2+1=1故a≥所以实数a的最小值为12故答案为：1212．存在量词命题的真假判断【知识点的认识】存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立﹣【解题方法点拨】判断存在量词命题的真假时，可以通过具体实例来验证．例如，要判断“存在一个数是3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真．如果无法找到任何一个符合条件的对象，则命题为假．【命题方向】存在量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定．例如，判断一个方程是否有解，或判断几何图形的某个性质是否对某些对象成立．这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证．下列存在量词命题中，为真命题的是（）A．∃x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|＜0D．有些自然数是偶数解：选项A：因为方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为3和﹣1，所以x∈Z，故A正确；选项B：因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；选项C：根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|＜0，故C错误；选项D：2，4等既是自然数又是偶数，故D正确；故选：ABD．13．求全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何中关于图形性质的全称命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．写出命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．解：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定是“∃x∈Z，|x|∉N”，故答案为：∃x∈Z，|x|∉N．14．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：15．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不