2025年新高二数学人教A版学困生专题复习《平面向量及其应用》

第31页（共31页）2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《平面向量及其应用》一．选择题（共8小题）1．（2025春•西城区校级月考）在△ABC中，bsinC＝ccosB，则∠B＝（）A．π6 B．π4 C．π3 2．（2025春•仓山区校级月考）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b=3，A＝60°，则A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°3．（2025春•郫都区校级月考）下列说法正确的是（）A．若|MN→|B．若e1→、e2C．|ABD．若非零向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、4．（2025•渭南模拟）已知向量a→，b→满足a→A．（﹣2，1） B．（﹣2，3） C．(-25，15)5．（2025•孝义市模拟）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．6．（2025春•菏泽期中）下面命题中，正确的是（）A．若|a→|=|b→|，则a→C．若a→=-b→，则a→∥7．（2024秋•房山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设AB→=a→，A．-23a→+13b→ B．8．（2025•黄山校级一模）若|AB→|=8，|A．[3，13] B．（3，8） C．[3，8] D．（3，13）二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•广东校级月考）在下列各组向量中，e1A．e1B．|eC．e1D．e（多选）10．（2025春•贵州期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝6，A＝30°，若满足条件的△ABC是唯一的，则a的值可以是（）A．3 B．5 C．6 D．8（多选）11．（2024秋•泰安期末）已知向量a→A．a→B．|aC．已知c→=(t，1)，若aD．a→与b→（多选）12．（2025•解放区一模）已知两个单位向量e1→，e2A．e1B．e→C．(eD．e1→在e三．填空题（共4小题）13．（2025春•涟源市月考）已知a→=(1，-cosx)，b→=(-3，14．（2025春•渝北区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=23，c＝4，cosC=13，则sinB＝15．（2025春•浙江期中）已知e1→，e2→为平面中的单位向量，满足e1→⋅e2→=1416．（2025•甘肃校级模拟）已知向量a→=（2，2），向量b→在向量a→方向上的投影向量的模长为12|a→|，写出一个满足条件的向量b四．解答题（共4小题）17．（2025春•广东月考）已知向量a→=(1，2)，（1）a→，b①相等向量；②相反向量；③共线向量；④平行向量．（2）证明（1）中你所选择的结论；（3）判断a→18．（2025春•重庆月考）已知向量a→=(2，x-1)，（1）设OA→=a（2）求a→在b19．（2025春•江苏月考）已知平面向量a→，b→满足|a→|＝22，|b→|＝2，且|a→（1）求a→在b（2）若（a→+λb→）⊥（2a20．（2025春•广东校级月考）已知向量a→（1）求a→与b（2）求|a

2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《平面向量及其应用》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BACABCAA二．多选题（共4小题）题号9101112答案BDACDBCBCD一．选择题（共8小题）1．（2025春•西城区校级月考）在△ABC中，bsinC＝ccosB，则∠B＝（）A．π6 B．π4 C．π3 【考点】正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】B【分析】由正弦定理化简即可求得．【解答】解：因为bsinC＝ccosB，所以由正弦定理得：sinBsinC＝sinCcosB，因为C∈（0，π），所以sinC≠0，所以sinB＝cosB，即tanB＝1，因为B∈（0，π），所以B=故选：B．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．2．（2025春•仓山区校级月考）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b=3，A＝60°，则A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°【考点】正弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】A【分析】根据给定条件，利用正弦定理解三角形即可．【解答】解：因为a＝3，b=3，A＝所以由正弦定理asinA得sinB=因为a＞b，则A＞B，所以0°＜B＜60°，所以B＝30°．故选：A．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．3．（2025春•郫都区校级月考）下列说法正确的是（）A．若|MN→|B．若e1→、e2C．|ABD．若非零向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的相等向量．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学抽象．【答案】C【分析】根据向量的相关概念，即可判断选项．【解答】解：A．向量不能比较大小，只能比较模的大小，故A错误；B．若e1→、e2→是单位向量，则C．向量AB→与BA→是相反向量，模相等，故D．若非零向量AB→与CD→是共线向量，则向量AB→与CD→方向相同或相反，但A，B，C，故选：C．【点评】本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．4．（2025•渭南模拟）已知向量a→，b→满足a→A．（﹣2，1） B．（﹣2，3） C．(-25，15)【考点】平面向量的投影向量．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据投影向量的定义求解．【解答】解：a→则a→⋅b所以b→在a→上的投影向量为故选：A．【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．5．（2025•孝义市模拟）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；平面向量及应用．【答案】B【分析】根据题意，求出向量a→-b→的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得若a→⊥（a→-b→），则有a→•（a→-b→）＝【解答】解：根据题意，向量a→=（2，3），b→=（则a→-b→=（2若a→⊥（a→-b→），则有a→•（a→-b→）＝2（解可得：x=故选：B．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系．6．（2025春•菏泽期中）下面命题中，正确的是（）A．若|a→|=|b→|，则a→C．若a→=-b→，则a→∥【考点】平面向量的概念与平面向量的模．【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；逻辑思维．【答案】C【分析】根据向量的概念逐一判断．【解答】解：对于A，若|a→|=|b→对于B，向量无法比较大小，故B错误；对于C，若a→=-b→，则两向量反向，因此对于D，若|a→|=0，则a故选：C．【点评】本题考查平面向量的概念，属于基础题．7．（2024秋•房山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设AB→=a→，A．-23a→+13b→ B．【考点】平面向量的基本定理．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】由向量的定义，加法法则，平面向量基本定理即可解出．【解答】解：由题意可知，AM→AC→=AB∴AN→又点D，N，M三点共线，所以AN→∴2λ∴λ=∴AN→∴BN→故选：A．【点评】本题考查了向量的基本知识，相关的运算，学生的运算能力，属于基础题．8．（2025•黄山校级一模）若|AB→|=8，|A．[3，13] B．（3，8） C．[3，8] D．（3，13）【考点】平面向量的概念与平面向量的模．【专题】计算题；平面向量及应用．【答案】A【分析】根据平面向量减法法则，得BC→=AC→-AB→，从而将BC→2化简整理得BC→2=89﹣2AC→•AB→．讨论【解答】解：∵BC∴BC→2=（AC→-AB→∵|AB→∴BC→2=（AC→-AB→）2＝64﹣2AC→•AB∵﹣40≤AC→•AB当AC→、AB→夹角为180°时，左边取等号；当AC→、AB可得﹣80≤﹣2AC→•AB∴BC→2=89﹣2AC→•AB由此可得|BC→|的取值范围是故选：A．【点评】本题给出向量AC→、AB→的模，求向量二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•广东校级月考）在下列各组向量中，e1A．e1B．|eC．e1D．e【考点】平面向量的基底．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】BD【分析】根据向量是否共线即可求解逐一求解．【解答】解：不共线的两个向量可以作为一组基底，判断各选项e1对于A，由于﹣1×（﹣1）≠0，故e1→对于B，由e2→=-2对于C，由于2×4≠﹣1×5，故e1→对于D，由于e1→⋅故cos〈e1→，e2故选：BD．【点评】本题主要考查平面向量基底的判断，属于基础题．（多选）10．（2025春•贵州期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝6，A＝30°，若满足条件的△ABC是唯一的，则a的值可以是（）A．3 B．5 C．6 D．8【考点】正弦定理与三角形解的存在性和个数．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】ACD【分析】根据正弦定理，可知当a＝bsinA或a≥b时△ABC是唯一的，由此判断即可得到本题的答案．【解答】解：由题意，当a＝bsinA或a≥b时，满足条件的△ABC是唯一的，结合b＝6，A＝30°，可知当满足条件的△ABC唯一时，a＝6sin30°＝3，或a≥6．对照各项，可知A、C、D都符合题意．故选：ACD．【点评】本题主要考查运用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．（多选）11．（2024秋•泰安期末）已知向量a→A．a→B．|aC．已知c→=(t，1)，若aD．a→与b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BC【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误．【解答】解：对于A，易知a→⋅b→=3-2=1≠0对于B，a→+b→=(3对于C，由c→=(t，1)且a→∥c→可得3×1+t对于D，cos＜a→故选：BC．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，向量夹角的余弦公式，是基础题．（多选）12．（2025•解放区一模）已知两个单位向量e1→，e2A．e1B．e→C．(eD．e1→在e【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合单位向量的定义，以及平面向量的数量积运算，即可求解．【解答】解：e1→⋅e→12=(e1→+e2∵两个单位向量e1→，则|则e1→在e2→方向上的投影为cosθ故选：BCD．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•涟源市月考）已知a→=(1，-cosx)，b→=(-3，【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角正弦、余弦的商为正切．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】12【分析】由共线向量的坐标表示，求得正切值，根据同角三角函数的商数关系，可得答案．【解答】解：因为a→=(1，-cosx所以sinx＝3cosx，所以tanx＝3，所以sinx-故答案为：12【点评】本题考查平面向量平行的坐标表示，同角三角函数的商数关系的应用，属于基础题．14．（2025春•渝北区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=23，c＝4，cosC=13，则sinB＝【考点】正弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】63【分析】由同角三角函数的基本关系求sinC，再由正弦定理即可求得．【解答】解：因为cosC=13，且C∈（0所以sinC=因为b=23，c＝所以由正弦定理bsinB得sinB=故答案为：63【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．15．（2025春•浙江期中）已知e1→，e2→为平面中的单位向量，满足e1→⋅e2→=14【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】23【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：若a→=2e1→则a→⋅b故答案为：23【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．16．（2025•甘肃校级模拟）已知向量a→=（2，2），向量b→在向量a→方向上的投影向量的模长为12|a→|，写出一个满足条件的向量b→=（【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1，1）（答案不唯一）．【分析】利用投影向量的定义求解．【解答】解：根据题意，设b→若向量b→在向量a→方向上的投影向量的模长为12|则有2=12|a→|=|a从而只要b→=(m，n)满足m+n＝2或如向量（1，1），故答案为：（1，1）（答案不唯一）．【点评】本题考查向量数量积的运算，涉及投影向量的计算，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•广东月考）已知向量a→=(1，2)，（1）a→，b①相等向量；②相反向量；③共线向量；④平行向量．（2）证明（1）中你所选择的结论；（3）判断a→【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）③④；（2）证明见解析；（3）可以，理由见解析．【分析】（1）根据相等向量，相反向量，平行向量，共线向量的概念判断；（2）由共线向量定理求解判断；（3）根据基底的定义，即验证存在不全为0的实数m，n，使得ma【解答】解：（1）③④；（2）共线向量即平行向量，对于a→=(1，2)，b→=(-2，-4)，有﹣2所以存在实数λ＝﹣2使得b→=-2a（3）能，理由如下：不共线的两个向量可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量，假设存在实数m，n，使得ma展开得ma→+解得m＝n＝0，故当且仅当m＝n＝0时，ma→+n可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底向量．【点评】本题主要考查平面向量的共线、平面向量的基底，属于基础题．18．（2025春•重庆月考）已知向量a→=(2，x-1)，（1）设OA→=a（2）求a→在b【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量加减法的坐标运算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）（145，-【分析】（1）根据题意，求出a→+b→的坐标，由向量模的公式求出x的值，进而计算|AB→|、|AC→（2）根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，△ABC为等腰直角三角形，理由如下：向量a→=(2，x-1)，b若|a→+b→|=2，则有（x+2）2解可得：x＝﹣2或x＝0，又由x＜0，则x＝﹣2，AB→=OB→-OA→=（﹣4，4AC→=OC→-OA→=（﹣4，BC→=OC→-OB→=（0，﹣由于|AC→|＝|BC→|，且|AC→|2+|BC→|2＝|故△ABC为等腰直角三角形；（2）根据题意，由于x＝﹣2，则a→=（2，﹣3），b→=（﹣则a→在b→上的投影向量|a→|cos＜a→，b【点评】本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．19．（2025春•江苏月考）已知平面向量a→，b→满足|a→|＝22，|b→|＝2，且|a→（1）求a→在b（2）若（a→+λb→）⊥（2a【考点】平面向量的投影向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）b→（2）﹣3．【分析】（1）结合投影向量的公式，即可求解；（2）结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：（1）由|a→|＝22，|b→|＝2，且两边平方得|a→|所以a→在b→方向上的投影向量为（2）由题意可知，(a化简得2|所以16+4（2λ﹣1）﹣4λ＝0，解得λ＝﹣3．【点评】本题主要考查投影向量的公式，以及向量垂直的性质，属于基础题．20．（2025春•广东校级月考）已知向量a→（1）求a→与b（2）求|a【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）2π（2）23【分析】（1）运用数量积和模长公式求出夹角余弦值，再得到夹角即可；（2）运用向量坐标的模长公式求解即可．【解答】解：（1）由于a→则cos〈又〈a→，b→〉∈[0（2）向量a→则a→则|a【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．

考点卡片1．同角正弦、余弦的商为正切【知识点的认识】同角三角函数的基本关系（2）商数关系：sinαcosα=tan同角正弦和余弦的商为正切．【解题方法点拨】﹣利用关系式tanθ=﹣结合具体问题，应用关系式简化三角函数表达式．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用关系式简化三角函数表达式，结合具体问题应用关系式求解．已知tanα＝﹣3，求下列各式的值：（1）sinα-（2）1si解：tanα＝﹣3，（1）sinα-cosα（2）1si2．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．3．平面向量的相等向量【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB→=2DC→，点E写出与AE→解：∵在等腰梯形ABCD中，AB→=2DC→，点E∴与AE→相等的向量为EB→和4．平面向量的平行向量（共线向量）【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE→解：平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，所以图中与AE→平行的向量有EB→，DF→，FC5．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．6．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．7．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．8．平面向量的基底【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【解题方法点拨】﹣基底表示：将任意向量表示为基底向量的线性组合．﹣转换基底：在不同基底下转换向量表示时，使用相应的基底向量．【命题方向】﹣基底向量的使用：考查如何在给定基底下表示向量，并进行相应的计算．﹣基底的选择：如何选择和使用不同的基底来简化问题．设e1→，e2A．e1→B．e2→C．e1→D．e1→解：根据平面向量基本定理，基底的条件是不为零向量且不共线，因为4e2→-2e1→=2（2e故选：C．9．用平面向量的基底表示平面向量【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【解题方法点拨】﹣表示转换：将向量v→写成基底向量的线性组合．例如，v→用基底e→1和﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．【命题方向】﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．﹣基底下的计算：如何在给定的基底下进行向量运算．在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e1→，CA→=e2→，试用基底解：在△ABC中，若D，E，F分别是AB的3个四等分点，且CB→=e由题意得BD→=14BA故CD→-CB→=同理，CE→-CB→=12所以CE→=12（因为CB→=e整理得，CE→=110．平面向量加减法的坐标运算【知识点的认识】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量减法：如果a→=(a1，【解题方法点拨】﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．【命题方向】﹣向量运算的实际应用：考查向量加减法在实际问题中的应用，如几何问题中的位置计算．﹣坐标运算技巧：如何高效进行向量的坐标运算．向量a→，b→满足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣11．平面向量数量积的坐标运算【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→⋅b→=|a→||b→|cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为注意：①a→⋅b→②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|cos（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b12．平面向量共线（平行）的坐标表示【知识点的认识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x113．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60°解：zz=3+i3∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．14．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点的认识】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→与b→垂直，有a→•b→=1【解题方法点拨】例：与向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：对于A：∵(-35，45)•（3，﹣4）对于B：∵(-35，45)•（﹣4，3对于C：∵(-35，45)•（4，3对于D：∵(-35，45)•（4，﹣3故选：C．点评：分别求出向量(-35，45)和A，B，C【命题方向】向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．15．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：s