2025年新高二数学人教A版学困生专题复习《概率》

第33页（共33页）2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《概率》一．选择题（共8小题）1．（2025春•驻马店月考）已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则事件A发生的概率为（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42．（2025春•沈阳期中）设事件A＝{1，2}，事件B＝{1，3}，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间Ω可能是下列哪个选项（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5，6}3．（2024秋•四川校级期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（）A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本4．（2025•阳西县模拟）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.945．（2025春•郑州月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则{X＝3}表示的试验结果是（）A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中6．（2024秋•成都期末）从1～9这9个数字中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（）A．19 B．29 C．79 7．（2025•陕西二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则P（B）＝（）A．114 B．17 C．518 8．（2025•孝感三模）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A，“向上的面的点数是2或3”为事件B，则（）A．A⊆B B．A＝B C．A∪B表示向上的面的点数是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的点数是1或2或3二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•青岛月考）已知事件A，B，P(A)=12A．P(AB)=18 B．P（B|A）=23 （多选）10．（2025春•济宁校级期中）设A、B为一个随机试验中的两个事件，且P(B)=13A．P(A+B)=34 B．P(（多选）11．（2025春•辽宁期中）某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件A表示取出的2个球都是白球，事件B表示取出的2个球都是红球，事件C表示取出的2个球中至少有1个白球，事件D表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（）A．A与B B．A与D C．B与C D．C与D（多选）12．（2025春•驻马店月考）已知一个古典概型试验中，事件A和事件B互斥，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.3．则（）A．P（A∪B）＝0.7 B．P（A∩B）＝0 C．P(A∩B)=0.3 D．P（三．填空题（共4小题）13．（2025春•杨浦区校级月考）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是13和25，则该题被攻克的概率为14．（2024秋•长宁区期末）已知事件A与事件B互相独立，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，则P（A∩B）＝．15．（2025春•定海区校级期中）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束．假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为13，甲、丙比赛，甲获胜的概率为23，乙、丙比赛，乙获胜的概率为12，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为16．（2025春•娄底期中）甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的50%，20%，30%，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为，该次品来自乙机床的概率为．四．解答题（共4小题）17．（2025春•朝阳月考）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b．（1）求a+b为偶数的概率；（2）求logab为整数的概率．18．（2025春•河南校级期中）为迎接2025年五一劳动节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示．红色外观蓝色外观棕色内饰2010米色内饰155（1）从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求P（B）和P（B|A）；（2）活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元，二等奖2000元，三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列．19．某科技公司研发了一种新产品，每件产品上市前需要分别进行两项测试，第一项测试通过的概率为0.7，若第一项通过，则第二项通过的概率为0.9，若第一项未通过，则第二项通过的概率为0.4．（1）已知某件产品在两项测试中仅通过一项，求其第一项测试通过的概率；（2）规定至少通过一项测试的产品为合格品，现对10件该产品独立地进行测试，记其中的合格品件数为X，则k取何值时P（X＝k）最大？20．（2025春•长沙月考）在云南省推进绿色能源战略背景下，某古城景区为提升电动观光车服务质量，对200名游客进行满意度调研．现收集到如表数据：对续航能力满意对续航能力不满意对充电设施满意7030对充电设施不满意5050（1）现随机选取一名受访游客，设事件A为“该游客对电动观光车续航能力满意”，事件B为“该游客对充电设施满意”，求P（A）和P（A|B）；（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度是否存在关联．附：χα0.050.010.001xα3.8416.63510.828

2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《概率》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBBCDBDC二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDACBCABCD一．选择题（共8小题）1．（2025春•驻马店月考）已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则事件A发生的概率为（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】样本点与样本空间．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据古典概型的概率公式可求解．【解答】解：根据题意，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则P(故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及样本点的定义，属于基础题．2．（2025春•沈阳期中）设事件A＝{1，2}，事件B＝{1，3}，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间Ω可能是下列哪个选项（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5，6}【考点】相互独立事件的概率乘法公式；样本点与样本空间．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】设样本空间Ω含有n个样本点，根据已知求出P（A），P（B），P（AB），结合独立事件的概率公式列出方程，求解得出n，即可得出答案．【解答】解：根据题意，设样本空间Ω含有n个样本点，事件A＝{1，2}，事件B＝{1，3}，则AB＝{1}，所以P(A)因为事件A与事件B相互独立，则有P（A）P（B）＝P（AB），即4n解得n＝4，样本空间Ω含有4个样本点，分析选项，B符合．故选：B．【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及样本空间和样本点，属于基础题．3．（2024秋•四川校级期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（）A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本【考点】样本点与样本空间．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据有关的概念可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案．【解答】解：根据题意，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，其中总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误．对于C，每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体．对于B，样本的容量是100正确．故选：B．【点评】本题考查总体、样本的定义，涉及样本容量的定义，属于基础题．4．（2025•阳西县模拟）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得．【解答】解：根据题意，某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，该同学两次投篮都不中的概率为（1﹣0.6）2＝0.16，所以该同学至少投中1次的概率为1﹣0.16＝0.84．即该同学通过测试的概率为0.84．故选：C．【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．5．（2025春•郑州月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则{X＝3}表示的试验结果是（）A．第2次投篮命中 B．第3次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．前2次投篮均未命中，第3次投篮命中【考点】随机事件．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；数学抽象．【答案】D【分析】根据题意，由随机事件的定义分析可得的答案．【解答】解：根据题意，{X＝3}即投篮3次停止投篮，表示前2次投篮均未命中，第3次投篮命中．故选：D．【点评】本题考查随机变量表示随机事件的方法，注意随机变量的定义，属于基础题．6．（2024秋•成都期末）从1～9这9个数字中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（）A．19 B．29 C．79 【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据题意，分析9个数字中，其平方的个位数字为1的数字，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，在1～9这9个数字中，平方的个位数字为1的有1和9，故要求概率P=2故选：B．【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7．（2025•陕西二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则P（B）＝（）A．114 B．17 C．518 【考点】概率的应用；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，设A1＝“甲箱中取出2个红球”，A2＝“甲箱中取出1个红球和1个黑球”，A3＝“甲箱中取出2黑球”，由古典概型公式求出P（A1）、P（A2）、P（A3），进而求出P（B|A1）、P（B|A2）和P（B|A3），由全概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设A1＝“甲箱中取出2个红球”，A2＝“甲箱中取出1个红球和1个黑球”，A3＝“甲箱中取出2黑球”，则P（A1）=C22C52=110，P（A2）P（B|A1）=36=12，P（B|A2）=46=23故P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=1故选：D．【点评】本题考查全概率公式的应用，涉及条件概率的应用，属于基础题．8．（2025•孝感三模）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A，“向上的面的点数是2或3”为事件B，则（）A．A⊆B B．A＝B C．A∪B表示向上的面的点数是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的点数是1或2或3【考点】随机事件．【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑思维．【答案】C【分析】由题意，得到事件A，B所包含的基本事件，由此分析判断即可．【解答】解：由题意可知，A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，则A∪B表示向上的面的点数是1或2或3．故选：C．【点评】本题考查了随机事件的概念及其应用，正确理解抛掷一枚骰子的基本事件个数是解答的关键，考查了逻辑推理能力，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•青岛月考）已知事件A，B，P(A)=12A．P(AB)=18 B．P（B|A）=23 【考点】概率的应用；条件概率．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】根据题意，由概率的乘法公式分析A，由条件概率和概率的乘法公式分析B、C、D，综合可得答案，【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，P（AB）＝P（A）P（B|A）=12×对于B，P（A）＝P（AB）+P（AB）=12，则P（AB）故P（B|A）=P(A对于C，P（B）＝P（AB）+P（AB）=14，则P（AB）故P（A|B）=P(A对于D，P（AB）=14-16=112，P（A）＝则P（B|A）=P(A故选：BCD．【点评】本题考查条件概率的性质和应用，涉及概率的性质，属于基础题．（多选）10．（2025春•济宁校级期中）设A、B为一个随机试验中的两个事件，且P(B)=13A．P(A+B)=34 B．P(【考点】概率的应用；求解条件概率；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】利用条件概率的性质，可得P(B|A)=【解答】解：根据题意，若P(B)=13，P(B|A则P（B|A）＝1﹣P（B|A）=16，P（B|A）＝1又由P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)，得变形可得：P(A)=对于D，由P(B|A)=对于A，P（A+B）＝P(A)+P对于C，P(A|B)=P(AB)P(B)=14，P（A故选：AC．【点评】本题考查概率的应用，涉及条件概率的性质和应用，属于基础题．（多选）11．（2025春•辽宁期中）某人从装有3个白球和2个红球的袋中随机取出2个球，事件A表示取出的2个球都是白球，事件B表示取出的2个球都是红球，事件C表示取出的2个球中至少有1个白球，事件D表示取出的2个球中至少有1个红球，则下列事件是对立事件的是（）A．A与B B．A与D C．B与C D．C与D【考点】事件的互为对立及对立事件．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】BC【分析】根据互斥事件，对立事件的定义判断即可．【解答】解：事件A表示取出的2个球都是白球，事件B表示取出的2个球都是红球，则A与B是互斥事件，但不是对立事件，A与D是对立事件，B与C是对立事件，C与D不是互斥事件，即C与D不是对立事件．故选：BC．【点评】本题主要考查事件的判断，属于基础题．（多选）12．（2025春•驻马店月考）已知一个古典概型试验中，事件A和事件B互斥，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.3．则（）A．P（A∪B）＝0.7 B．P（A∩B）＝0 C．P(A∩B)=0.3 D．P（【考点】概率的应用；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABCD【分析】由互斥事件概率加法公式计算和条件概率进行计算．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.4+0.3＝0.7，故A正确；对于B，事件A和事件B互斥，则P（AB）＝0，故B正确；对于C，P（A∩B）＝P（A∪B）＝1﹣0.7＝0.3，故对于D，事件A和事件B互斥，P（AB）＝0，故P(A|故选：ABCD．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件、对立事件的性质，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•杨浦区校级月考）甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是13和25，则该题被攻克的概率为35【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】35【分析】根据题意，设甲、乙两人能攻克该难题分别为事件A、B，先求出P（AB【解答】解：根据题意，设甲、乙两人能攻克该难题分别为事件A、B，则P（A）=13，P（B）则该题没有被攻克，即甲乙都没有攻克，其概率P（AB）＝P（A）P（B）＝（1-13）（1-故该题被攻克的概率P（A+B）＝1﹣P（AB）=故答案为：35【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，涉及对立事件的性质，属于基础题．14．（2024秋•长宁区期末）已知事件A与事件B互相独立，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，则P（A∩B）＝0.2．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；对立事件的概率关系及计算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.2．【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式结合已知条件求解即可．【解答】解：根据题意，因为事件A与事件B互相独立，则A与B也相互独立，又由P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，则P（A∩B）＝P（A）P（B）＝0.5×（1﹣0.6）＝0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，注意相互独立事件的概率性质，属于基础题．15．（2025春•定海区校级期中）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束．假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为13，甲、丙比赛，甲获胜的概率为23，乙、丙比赛，乙获胜的概率为12，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为4【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】427【分析】根据题意，列举出“甲与乙比赛负1场且最终甲获胜”的所有基本事件，利用独立事件的概率乘法公式计算出相应概率．【解答】解：根据题意，设甲乙比赛中甲胜乙负为事件A，甲丙比赛中甲胜丙负为事件B，乙丙比赛中乙胜丙负为事件C，设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件M，则P=1故答案为：427【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意互斥事件、相互独立事件的概率计算公式，属于基础题．16．（2025春•娄底期中）甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的50%，20%，30%，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为0.1，该次品来自乙机床的概率为0.3．【考点】概率的应用；全概率公式；贝叶斯公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.1；0.3．【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可．【解答】解：根据题意，记事件Ai＝“零件为第i（i＝1，2，3）台车床加工”，则P（A1）＝0.5，P（A2）＝0.2，P（A3）＝0.3，B为事件“任取一个零件为次品”，则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.5×0.05+0.2×0.15+0.3×0.15＝0.1，P(故答案为：0.1；0.3．【点评】本题考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，注意全概率公式和贝叶斯公式的形式，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•朝阳月考）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b．（1）求a+b为偶数的概率；（2）求logab为整数的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．【答案】（1）25（2）320【分析】（1）写出样本空间Ω，设事件A＝“a+b为偶数”，列举出A的样本点，求解即可；（2）在（1）基础上，设事件B＝“logab为整数”，列举出B的样本点，求解即可．【解答】解：（1）记样本空间为Ω，事件A＝“a+b为偶数”，则Ω＝{（2，3），（2，4），（2，8），（2，9），（3，2），（3，4），（3，8），（3，9），（4，2），（4，3），（4，8），（4，9），（8，2），（8，3），（8，4），（8，9），（9，2），（9，3），（9，4），（9，8）}，共包含20个样本点．则A＝{（2，4），（2，8），（4，2），（4，8），（8，2），（8，4），（3，9），（9，3）}，包含8个样本点，则a+b为偶数的概率为P(（2）设事件B＝“logab为整数”，由（1）得样本空间共包含20个样本点，因为log24＝2，log28＝3，log39＝3，所以B＝{（2，4），（2，8），（3，9）}，包含3个样本点，则logab为整数的概率为P(【点评】本题考查古典概型求概率，应用列举法解题，属于基础题．18．（2025春•河南校级期中）为迎接2025年五一劳动节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示．红色外观蓝色外观棕色内饰2010米色内饰155（1）从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求P（B）和P（B|A）；（2）活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元，二等奖2000元，三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列．【考点】概率的应用；求解条件概率；离散型随机变量及其分布列；其他组合形式及计算；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）P(B)=（2）分布列见解析．【分析】（1）根据条件概率公式结合古典概型计算求解；（2）先写出概率，再根据分布列步骤计算求解．【解答】解：（1）根据题意，模型内饰为米色的共有20个，所以P（B）=20红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所P(（2）根据题意，设事件C＝“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件D＝“取出的模型外观和内饰都异色”，事件E＝“仅外观或仅内饰同色”，P(P(P(因为P（E）＞P（C）＞P（D），故当取出的模型外观和内饰都异色时，获得一等奖，即获得一等奖的概率为1049当取出的模型外观和内饰均为同色时，获得二等奖，即获得二等奖的概率为0.06×0.250.0525当取出的模型仅外观或仅内饰同色时，获得三等奖，即获得三等奖的概率为2549X可取的值为3000、2000、1000，则X的分布列为：X300020001000P1049272549【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及条件概率的计算，属于基础题．19．某科技公司研发了一种新产品，每件产品上市前需要分别进行两项测试，第一项测试通过的概率为0.7，若第一项通过，则第二项通过的概率为0.9，若第一项未通过，则第二项通过的概率为0.4．（1）已知某件产品在两项测试中仅通过一项，求其第一项测试通过的概率；（2）规定至少通过一项测试的产品为合格品，现对10件该产品独立地进行测试，记其中的合格品件数为X，则k取何值时P（X＝k）最大？【考点】概率的应用；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式及应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）719（2）k＝9．【分析】（1）根据题意求出在两项测试中仅通过一项测试的概率，然后借助条件概率的公式即可得解；（2）由题意可得，随机变量X服从于二项分布，利用二项分布知识求出P（X＝k）的概率，然后利用P(X=【解答】解：（1）根据题意，设事件A＝“第一项测试通过”，事件B＝“第二项测试通过”，事件C＝“仅通过一项测试”．则P（AC）＝P（AB）＝P（A）P（B|A）＝0.7×（1﹣0.9）＝0.07，P（C）＝P（AB）+P（AB）＝P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）＝0.7×（1﹣0.9）+（1﹣0.7）×0.4＝0.19；故P（A|C）=P（2）根据题意，事件E＝“该产品为合格品”，即该产品则P（E）＝P（AB）+P（C）＝0.19+0.7×0.9＝0.82，所以X∼P(当1≤k≤9时，P（X＝k）＞P（X＝k﹣1），当k＞9时，P（X＝k）＜P（X＝k﹣1），所以k＝9时，P（X＝k）最大．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及二项分布的性质和应用，属于中档题．20．（2025春•长沙月考）在云南省推进绿色能源战略背景下，某古城景区为提升电动观光车服务质量，对200名游客进行满意度调研．现收集到如表数据：对续航能力满意对续航能力不满意对充电设施满意7030对充电设施不满意5050（1）现随机选取一名受访游客，设事件A为“该游客对电动观光车续航能力满意”，事件B为“该游客对充电设施满意”，求P（A）和P（A|B）；（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度是否存在关联．附：χα0.050.010.001xα3.8416.63510.828【考点】概率的应用；求解条件概率；独立性检验．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）P（A）＝0.6，P（A|B）＝0.7；（2）可以认为游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度存在关联．【分析】（1）根据给定的数表，利用条件概率及古典概率公式求解．（2）利用给定的数表，求出χ2的观测值，再与临界值比对求解．【解答】解：（1）根据题意，P（A）=70+50200P（A|B）=7070+30（2）根据题意，零假设H0：游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度无关，则χ2=200×(70×50-50×30)所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度存在关联．【点评】本题考查条件概率公式的应用，涉及独立性检验的应用，属于基础题．

考点卡片1．样本点与样本空间【知识点的认识】样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果成为样本点，一般地，用ω表示样本点．样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间．有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．【解题方法点拨】（1）试验不同，对应的样本空间也不同；（2）同一试验，若试验目的不同，则对应的样本空间也不同；例如对于同一试验“将一枚硬币抛掷三次”，若观察正面H、反面T出现的情况，则样本空间为S＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}，若观察出现正面的次数，则样本空间为S＝{0，1，2，3}．（3）建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型．因此一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题．例如只包含两个样本点的样本空间S＝{H，T}，它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型，又能用于排队现象中有人排队和无人排队的模型等．【命题方向】样本空间和样本点是概率论中的重要概念，它们是描述随机试验的基础．在明确样本空间和概率测度后，我们可以将样本空间变成一个概率空间，从而进行概率的计算和推断．需要注意的是，样本空间和样本点的定义需要根据具体的试验来确定，并遵循相关的公理和定理．考试题型通常以选择题、填空题为主．2．随机事件【知识点的认识】1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）2．特点：（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．3．注意：（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到．（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．3．事件的互为对立及对立事件【知识点的认识】﹣对立事件：事件A的对立事件是指A不发生的情况，记作A．﹣互为对立：如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，两个事件A和B互为对立当且仅当A∪B=【解题方法点拨】﹣使用对立事件的概率关系P(﹣判断两个事件是否互为对立，通常检查它们的并集是否为样本空间，交集是否为空．【命题方向】﹣主要考察对立事件的概率计算及事件的补集概念．4．互斥事件的概率加法公式【知识点的认识】互斥事件的概率加法公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）5．对立事件的概率关系及计算【知识点的认识】﹣对立事件的概率关系是P(【解题方法点拨】﹣利用对立事件的公式计算对立事件的概率．【命题方向】﹣主要考察对立事件概率计算的问题，适用于概率计算的补集部分．6．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．7．概率的应用【知识点的认识】概率相关知识梳理：一、古典概型与互斥事件1．频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值．2．古典概率计算公式：P（A）＝．集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I，事件A包含的事件数构成集合A，则．3．古典概型的特征：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A，B称为互斥事件．（2）互为事件概率计算公式：若事件A，B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A，B不会同时发生，但必有一个事件发生，这样的两个事件称为对立事件．记作：B=A，由对立事件定义知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立．用集合的观点分析对立事件与互斥事件：设两个互斥事件A，B包含的所有结果构成集合A，B，则A∩B＝∅（如图所示）设两个对立事件A，A包含的所有结果构成的集合为A，A，A∩A=∅，A∪A=则注：若A1，A2，…，An任意两个事件互斥，则：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、几何概型几何概型定义：向平面有限区域（集合）G内投掷点M，若点M落在子区域G1⊆G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型．几何概型计算公式：几何概型的特征：（1）试验的结果有无限个（无限性）；（2）试验的结果出现等可能性．注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等．三、条件概率与独立事件1．条件概率的定义：对于任何两个事件A，B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率称为事件B发生时事件A发生的条件概率，记为P（A|B）．类似的还可定义为事件A发生时事件B发生的条件概率，记为P（B|A）．2．把事件A，B同时发生所构成的事件D，称为事件A，B的交（或积），记为：A∩B＝D或D＝AB．3．条件概率计算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B发生的条件下”的概率与没有事件B发生时的概率是不同的．（2）对于两个事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）则表明事件B的发生不影响事件A发生的概率．此时事件A，B是相互独立的两个事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0⇒P（AB）＝故当两个事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，同时A与B，A与B，A与B也相互独立．四、二项分布、超几何分布、正态分布1．二项分布：（1）n次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立．n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变；②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生．（2）二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为，若随机变量由此式确定，则X服从参数n，p的二项分布，记作：X～B（n，p）．2．超几何分布超几何分布定义：一般地，设有N件产品，其中含有M件次品（M≤N），从N件产品中任取n件产品，用X表示取出的n件产品中含有的次品的个数，则，（k为非负整数），若随机变量由此式确定，则X服从参数N，M，k的超几何分布，记作X～H（N，M，n）注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N，M，k的含义．随机变量X取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商．3．正态分布：（1）正态曲线：函数f（x）=12πσe-(x（2）若随机变量X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、离散型随机变量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．5、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的EξDξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．【解题方法点拨】概率和离散型随机变量知识是新课标高考的重点内容之一，重点考查古典概率、几何概率、离散型随机变量的分布列及性质等内容，对于基础知识考查以选择题、填空题为主．考查的内容相对简单，即掌握住基础知识就能解决此类问题．对于综合性知识的考查主要是把概率、随机变量的分布列性质、离散型随机变量的均值、方差等内容综合在一起解决实际问题，多以大题的形式出现．题目的难度在中等以上水平，解决此类问题的关键是正确理解离散型随机变量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二项分布、超几何分布等），便于求出分布列，进而求出均值与方差．利用均值、方差的含义去分析问题，这也是新课标高考命题的方向．【命题方向】题型一：概率的计算典例1：已知函数y=x（0≤x≤4）的值域为A，不等式x2﹣x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞bA．14B．13C．12解：由题意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a为横坐标，b为纵坐标，建立平面直角坐标系，则围成的区域面积为2，使得a＞b的区域面积为2-12=故选D题型二：离散型随机变量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）解：（I）设命中油罐的次数为X，则当X＝0或X＝1时，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射击次数ξ的取值为2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-因此，ξ的分布列为：ξ2345P4982742719∴Eξ8．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．9．相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】﹣对于相互独立事件A和B，P(【解题方法点拨】﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．【命题方向】﹣重点考察独立事件的概率计算及独立性证明．10．条件概率【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是29解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：2典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是2（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再