2025年新高二数学人教A版尖子生专题复习《复数》

第25页（共25页）2025年新高二数学人教A版（2019）尖子生专题复习《复数》一．选择题（共8小题）1．（2025•沅江市校级模拟）已知i为虚数单位，则复数z=A．-12 B．-32 C．-2．（2025春•小店区校级月考）设复数z满足{z，zA．±32 B．±32i C．0或±33．（2024春•怀仁市校级期中）已知a，b∈R，a+3i＝﹣1+bi（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝﹣1，b＝34．（2024秋•苏州期末）已知复数|z|＝1，复数z0满足|z0||z-A．1 B．12 C．13 D5．（2024•宁波二模）已知复数z的实部大于等于1，则|1A．2 B．3 C．13-12 6．（2024秋•昭通期中）棣莫佛定理：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），计算(1A．﹣1 B．-12+32i C7．（2024•九龙坡区校级模拟）已知z=3+5iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2024•辽宁模拟）已知复数z满足|z|＝1且有z5+z+1＝0，则z＝（）A．-12±32i B．12±二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•五华区校级期中）已知复数z1，z2，则下列命题一定成立的有（）A．若|z1+z2|＝0，则z1B．若|z1|＝|z2|，则z1C．|zD．(（多选）10．（2025•广东校级模拟）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点．若z1=32+12i（i为虚数单位），向量OA→绕原点逆时针方向旋转90°，A．z2的虚部为32 B．点B在第二象限C．|z1+z（多选）11．（2025春•许昌期中）已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2 B．若z1=z2，则z1+C．z1D．若|z1|＝|z2|，则z（多选）12．（2025春•浙江期中）已知复数z＝a+bi，（a，b∈R，i为虚数单位），z1，z2∈C，定义：D（z）＝||z||＝|a|+|b|，D（z1，z2）＝z1﹣z2，则下列说法正确的有（）A．若z是复数z的共轭复数，则D(z)=B．对任意z∈C，都有D（z2）≤[D（z）]2恒成立 C．存在z1，z2∈C，有D（z1•z2）＞D（z1）•D（z2）成立 D．对任意z1，z2，z3∈C，都有D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立三．填空题（共4小题）13．（2025春•上城区校级期中）复数z1，z2满足|z1﹣1|＝|z1+i|，|z2﹣2|＝1，则|z1﹣z2|的最小值为．14．（2025春•天河区校级期中）在复平面中，方程（x2﹣2x+5）（x2﹣a）＝0（a＞0）四个复数根对应的四点在同一个圆上，则该圆的半径为．15．（2024春•高新区月考）已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，z1+z2=12+32i，则16．（2024春•鼓楼区校级期末）已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为．四．解答题（共4小题）17．（2025春•广东月考）已知t为方程x2-x-12=0的一个解，设z1=2+23i，z2=-1+3（1）求AC→（2）设OC与AB交于点D，求ADAB（3）△ABC中，F为BC延长线上的一点，记BA→，AC→，AF→所对应的复数分别为za，zb，z3，且z3|za||zb|＝k（za|zb|+zb|za|）（k≠018．（2025春•浙江期中）将复数z＝a+bi（a，b∈R），表示成三角形式z＝r（cosθ+isinθ），其中r=a2+b2，cosθ=ar，sinθ（1）求方程x3+1＝0的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根；（2）已知z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），试推导复数z1z2的三角形式；（3）在单位圆的内接六边形ABCDEF中，|AB|＝|CD|＝|EF|＝1，P，Q，R分别为BC，DE，FA的中点，判断△PQR的形状并证明．19．（2025春•东莞市期中）求当a为何实数时，复数z＝（a2﹣2a﹣3）+（a2+a﹣12）i满足：（Ⅰ）z为实数；（Ⅱ）z为纯虚数；（Ⅲ）z位于第四象限．20．（2025春•洛阳期中）对任意复数z＝x+yi（x，y∈R），定义φ（z）＝2x（cosy+isiny）．（1）若φ（z）＝8，求相应的复数z；（2）证明：φ(（3）若z＝a+bi（a，b∈R）中的a为常数，令φ（z）＝f（b），对任意b，是否一定有常数t（t≠0）使得f（b+t）＝f（b）？若有，这样的t是否唯一？说明理由．

2025年新高二数学人教A版（2019）尖子生专题复习《复数》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BADDCADA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACBDBCABD一．选择题（共8小题）1．（2025•沅江市校级模拟）已知i为虚数单位，则复数z=A．-12 B．-32 C．-【考点】复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】求出复数z=【解答】解：因为z=所以z的虚部为-3故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．2．（2025春•小店区校级月考）设复数z满足{z，zA．±32 B．±32i C．0或±3【考点】共轭复数；复数的实部与虚部．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】由集合相等得出z为虚数，然后确定z≠z2，只能是z=z2，再设z＝a+bi（a，b∈R）且b≠【解答】解：由题意z为虚数，所以|z|≠0，复数z满足{z则集合中唯一的正实数相等，即|z|＝|z|2，所以|z|＝1，若z＝z2，则z＝0或z＝1，不合题意，舍去，因此z=z2设z＝a+bi（a，b∈R）且b≠0，由z=z2得a+bi＝（a﹣bi）2＝a2﹣b2﹣所以a=a2-b2b=-2ab故选：A．【点评】本题主要考查复数的应用，属于中档题．3．（2024春•怀仁市校级期中）已知a，b∈R，a+3i＝﹣1+bi（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝﹣1，b＝3【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】借助复数相等求解作答．【解答】解：a，b∈R，a+3i＝﹣1+bi，所以a＝﹣1，b＝3．故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．4．（2024秋•苏州期末）已知复数|z|＝1，复数z0满足|z0||z-A．1 B．12 C．13 D【考点】复数的模．【专题】数形结合；向量法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】D【分析】利用几何方法考虑，利用复数模的几何意义||z|﹣|z0||≤|z﹣z0|≤|z|+|z0|，再利用已知|z|＝1解关于|z0|的不等式即可得出所求．【解答】解：利用复数模的几何意义||z|﹣|z0||≤|z﹣z0|≤|z|+|z0|，即2||z|﹣|z0||≤2|z﹣z0|≤2|z|+2|z0|由|z0||z-z0|=2得|z2||z|﹣|z0||≤|z0|≤2|z|+2|z0|，把已知|z|＝1代入写成不等式组|z23≤|z0|≤2由此得出|故选：D．【点评】本题考查复数的模长，属于中档题．5．（2024•宁波二模）已知复数z的实部大于等于1，则|1A．2 B．3 C．13-12 【考点】复数的运算；复数的模．【专题】转化思想；数形结合法；数系的扩充和复数；数据分析．【答案】C【分析】根据实部大于等于1，得出a，b的取值范围，从而转化为距离的最小值．【解答】解：由题意，设1z=a+bi，（a，b∈则z=1a+bi=即（a-12）2+b2则|1z+1+i|=|a+1+（b+1∴最小值为(-故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则与复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2024秋•昭通期中）棣莫佛定理：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），计算(1A．﹣1 B．-12+32i C【考点】复数的三角表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】根据题目中棣莫佛定理，根据三角函数的诱导公式，可得答案．【解答】解：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），由棣莫佛定理得：(1故选：A．【点评】本题考查的知识点：复数的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．7．（2024•九龙坡区校级模拟）已知z=3+5iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，利用复数的四则运算求出z，结合复数的几何意义分析可得答案．【解答】解：根据题意，因为z=所以它在复平面上对应的点为（5，﹣3），该点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，属于基础题．8．（2024•辽宁模拟）已知复数z满足|z|＝1且有z5+z+1＝0，则z＝（）A．-12±32i B．12±【考点】复数的运算；复数的模．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】设z＝cosθ+isinθ（i为虚数单位），由棣莫佛公式可知z5＝cos5θ+isin5θ，根据平方关系求出cosθ，从而求出sinθ，即可得解．【解答】解：设z＝cosθ+isinθ（i为虚数单位），由棣莫佛公式可知z5＝cos5θ+isin5θ，因为z5+z+1＝0，所以cos5θ+isin5θ+cosθ+isinθ+1＝0，即（cos5θ+cosθ+1）+（sin5θ+sinθ）i＝0，所以cos5θ+因为（cos5θ）2+（sin5θ）2＝1，所以（cos5θ）2+（sin5θ）2＝（﹣cosθ﹣1）2+（﹣sinθ）2＝1，即cos2θ+2cosθ+1+sin2θ＝1，所以cosθ=-1所以z=故选：A．【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•五华区校级期中）已知复数z1，z2，则下列命题一定成立的有（）A．若|z1+z2|＝0，则z1B．若|z1|＝|z2|，则z1C．|zD．(【考点】复数的运算；共轭复数；复数的模．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AC【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可．【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），则z1z1+z2＝a+bi+c+di＝（a+c）+（b+d）i，若|z1+z2|＝0，则a+c＝0，b+d＝0，所以z1+z2=a-bi+c-di=（a+c|z1|=a2+b2，|z2|=c2+d2，若|z1|＝z12=若z12=z22，则需满足a2﹣b2＝c2﹣d2且ab＝|z|z所以|z1z(z1+z2)2=[(a+c)+(b+d)i]2(z1+z2故选：AC．【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．（多选）10．（2025•广东校级模拟）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点．若z1=32+12i（i为虚数单位），向量OA→绕原点逆时针方向旋转90°，A．z2的虚部为32 B．点B在第二象限C．|z1+z【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BD【分析】由已知结合复数的几何意义先求出z2，然后结合复数的四则运算，复数几何意义及复数的模长公式检验各选项即可判断．【解答】解：因为z1=32+12i对应的点（32，12），设向量OA→与x轴正方向的夹角为θ，则tanθ=33向量OA→绕绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量OB所以OB→=（2cos（θ+π2），2sin（θ则z2＝﹣1+3i，即z2的虚部为3，点B（﹣1，3）在第二象限，B正确；因为z1+z2=32-1+（所以|z1+z2|=(32因为|z2z1|=|故选：BD．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，复数的几何意义，复数的概念的应用，属于中档题．（多选）11．（2025春•许昌期中）已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2 B．若z1=z2，则z1+C．z1D．若|z1|＝|z2|，则z【考点】复数的模；共轭复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BC【分析】结合特殊值法，以及共轭复数的定义，复数模公式，即可求解．【解答】解：对于A，令z1＝1+i，z2＝i，满足z1﹣z2＞0，但虚数无法比较大小，故A错误；对于B，设z1＝a+bi（a，b∈R），则z2故z1+z2＝a+bi+a﹣bi＝2a为实数，故B正确；对于C，设z1＝c+di（c，d∈R），则z1z1=（c+di）（c﹣di）对于D，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z12≠故选：BC．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数模公式，是基础题．（多选）12．（2025春•浙江期中）已知复数z＝a+bi，（a，b∈R，i为虚数单位），z1，z2∈C，定义：D（z）＝||z||＝|a|+|b|，D（z1，z2）＝z1﹣z2，则下列说法正确的有（）A．若z是复数z的共轭复数，则D(z)=B．对任意z∈C，都有D（z2）≤[D（z）]2恒成立 C．存在z1，z2∈C，有D（z1•z2）＞D（z1）•D（z2）成立 D．对任意z1，z2，z3∈C，都有D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立【考点】复数的混合运算；共轭复数；复数的模．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】ABD【分析】利用共轭复数及复数的运算法则，结合新定义逐一计算即可求解．【解答】解：复数z＝a+bi，（a，b∈R，i为虚数单位），z1，z2∈C，定义：D（z）＝||z||＝|a|+|b|，D（z1，z2）＝z1﹣z2，对于A，由于z＝a+bi，则z=a﹣bi，则D(z对于B，z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，故D（z2）＝|z2|＝|a2﹣b2|+|2ab|，[D（z）]2＝（||z||）2＝（|a|+|b|）2＝a2+b2+|2ab|，所以D（z2）≤[D（z）]2，故B正确；对于C，设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），故z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，故D（z1z2）＝||z1z2||＝||（ac﹣bd）+（ad+bc）i||＝|ac﹣bd|+|ad+bc|，D（z1）＝|a|+|b|，D（z2）＝|c|+|d|，D（z1）D（z2）＝（|a|+|b|）（|c|+|d|）＝|ac|+|ad|+|bc|+|bd|，由绝对值不等式可得|ac﹣bd|+|ad+bc|≤|ac|+|ad|+|bc|+|bd|，故C错误；对于D，设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），z3＝e+fi（e，f∈R），则D（z1，z2）＝||z1﹣z2||＝||（a﹣c）+（b﹣d）i||＝|a﹣c|+|b﹣d|，D（z2，z3），＝||z2﹣z3||＝||（c﹣e）+（d﹣f）i||＝|c﹣e|+|d﹣f|，D（z1，z3）＝||z1﹣z3||＝||（a﹣e）+（b﹣f）i||＝|a﹣e|+|b﹣f|，由|a﹣e|＝|（a﹣c）+（c﹣e）|≤|a﹣c|+|c﹣e|，|b﹣f|＝|（b﹣d）+（d﹣f）|≤|b﹣d|+|d﹣f|，得D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查的知识点：复数的运算，信息题，主要考查学生的运算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•上城区校级期中）复数z1，z2满足|z1﹣1|＝|z1+i|，|z2﹣2|＝1，则|z1﹣z2|的最小值为2-1【考点】复数的加、减运算及其几何意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】2-1【分析】由题意分别求出复数z1，z2对应点的轨迹，再由点到直线的距离公式列式求解．【解答】解：满足|z1﹣1|＝|z1+i|的复数z1对应的点是以A（1，0），B（0，﹣1）为端点的线段的垂直平分线，由A，B的中点坐标为（12，-12），kAB得AB的垂直平分线方程为y+12=-（即y＝﹣x．满足|z2﹣2|＝1的复数z2对应的点是以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，则圆心（2，0）到直线y＝﹣x的距离为d=|2|∴|z1﹣z2|的最小值为2-1故答案为：2-1【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．14．（2025春•天河区校级期中）在复平面中，方程（x2﹣2x+5）（x2﹣a）＝0（a＞0）四个复数根对应的四点在同一个圆上，则该圆的半径为5．【考点】复数对应复平面中的点．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】5．【分析】将原方程分解为两个二次方程，分别求出四个根对应的复平面点，观察四个点的对称性，推测圆心位置（可能在x轴上），通过距离公式建立方程，求解参数a，最终确定圆的半径．【解答】解：方程（x2﹣2x+5）（x2﹣a）＝0的根分为两部分：第一部分：解x2﹣2x+5＝0，得根x＝1±2i，对应点（1，2）和（1，﹣2）；第二部分：解x2﹣a＝0，得根x=±a，对应点(因为点（1，2）和（1，﹣2）关于x轴对称，点(a，0)所以推测圆心在x轴上，设圆心为（h，0），半径为r，所以点（1，2）到圆心的距离：（1﹣h）2+22＝r2，点(a，0)点(-a，所以(a-h)2=(-所以r2=(a)2=a，且（1﹣0）2+22＝a故答案为：5．【点评】本题主要考查复数根在复平面上的几何意义，以及共圆条件的应用，属于中档题．15．（2024春•高新区月考）已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，z1+z2=12+32i，则【考点】复数的乘法及乘方运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】-5【分析】直接利用复数的运算求出结果．【解答】解：由于复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，z1+z故z1故答案为：-5【点评】本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．16．（2024春•鼓楼区校级期末）已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为﹣2．【考点】复数的实部与虚部．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】﹣2．【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可．【解答】解：因为iz＝2+i，所以z=所以z的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•广东月考）已知t为方程x2-x-12=0的一个解，设z1=2+23i，z2=-1+3（1）求AC→（2）设OC与AB交于点D，求ADAB（3）△ABC中，F为BC延长线上的一点，记BA→，AC→，AF→所对应的复数分别为za，zb，z3，且z3|za||zb|＝k（za|zb|+zb|za|）（k≠0【考点】复数对应复平面中的点．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）0．（2）ADAB（3）CFAB【分析】（1）求出点C坐标，根据复数的几何意义得到点A，B的坐标，由向量的数量积运算求得答案；（2）设AD→=λAB→，求出点D坐标，利用OC（3）由题可得z3=k(za|za|+zb|zb|【解答】解：（1）t为方程x2设z1=2+23i，z2坐标原点为O，C（t，3t）为第一象限内一点，由方程x2-x∵C在第一象限，∴t=1+32，则点由复数几何意义可得A(2，2∴BC→=(3+∴AC→（2）OC与AB交于点D，设AD→=λ设点D（x，y），则AD→故(x-2，y-23)=λ又OC→=(1+∵OC→与OD→共线，∴即(9+93-解得λ=8-23（3）△ABC中，F为BC延长线上的一点，记BA→，AC→，AF→所对应的复数分别为za，zb，由z3|za||zb|＝k（za|zb|+zb|za|），可得z3又点AF→对应的复数为z3，BA→，AC→所对应的复数分别为za，∴FA是∠BAC的外角平分线，过F作FH⊥AB交BA的延长线于H，可得AF平分∠CAH，又AC→⋅BC→=0∴FC＝FH，AC＝AH，CFABBC→=(3+∴tan∠ABC=【点评】本题考查复数的几何意义、向量的数量积运算、外角平分线性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（2025春•浙江期中）将复数z＝a+bi（a，b∈R），表示成三角形式z＝r（cosθ+isinθ），其中r=a2+b2，cosθ=ar，sinθ（1）求方程x3+1＝0的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根；（2）已知z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），试推导复数z1z2的三角形式；（3）在单位圆的内接六边形ABCDEF中，|AB|＝|CD|＝|EF|＝1，P，Q，R分别为BC，DE，FA的中点，判断△PQR的形状并证明．【考点】复数的三角表示；复数的辐角和辐角主值．【专题】数形结合；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）z1＝﹣1，z2=12+（2）r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；（3）△PQR为正三角形，证明见解析．【分析】（1）利用立方和公式因式分解可求解；（2）利用复数的乘法运算求解即可；（3）将六边形ABCDEF按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为zA，zB，…，zF，zP，zQ，zR，设zA＝1，进而可得zP=12(zB【解答】解：（1）由x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1）＝0，得x+1＝0或x2﹣x+1＝0，解得三个根为z1＝﹣1，z2=1复数z2的三角形式为z2（2）z1z2＝r1（cosθ1+isinθ1）r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cosθ1cosθ2﹣sinθ1sinθ2+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2）]＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；（3）将六边形ABCDEF按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为zA，zB，…，zF，zP，zQ，zR，以单位圆的圆心O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设zA＝1，由题意|AB|＝|CD|＝|EF|＝1，得∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝60°，zB=cosπ3由复数的加法运算可得：zP=12(zQ-z又由（1）知zB则(=1=12[zC（zB﹣1）+zEzB﹣（zB﹣1﹣zCzB=1由复数乘法的几何意义，PQ逆时针旋转π3与PR重合，故△PQR【点评】本题考查复数的三角表示，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（2025春•东莞市期中）求当a为何实数时，复数z＝（a2﹣2a﹣3）+（a2+a﹣12）i满足：（Ⅰ）z为实数；（Ⅱ）z为纯虚数；（Ⅲ）z位于第四象限．【考点】纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；整体思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由虚部等于0求得a值；（Ⅱ）由实部等于0且虚部不等于0求得a值；（Ⅲ）由实部大于0且虚部小于0求得a的范围．【解答】解：复数z＝（a2﹣2a﹣3）+（a2+a﹣12）i．（Ⅰ）若z为实数，则a2+a﹣12＝0，解得a＝﹣4或a＝3；（Ⅱ）若z为纯虚数，则a2-2a-（Ⅲ）若z位于第四象限，则a2-2a-3＞【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．20．（2025春•洛阳期中）对任意复数z＝x+yi（x，y∈R），定义φ（z）＝2x（cosy+isiny）．（1）若φ（z）＝8，求相应的复数z；（2）证明：φ(（3）若z＝a+bi（a，b∈R）中的a为常数，令φ（z）＝f（b），对任意b，是否一定有常数t（t≠0）使得f（b+t）＝f（b）？若有，这样的t是否唯一？说明理由．【考点】复数的混合运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解；新定义类．【答案】（1）3+2kπi；（2）证明见解答；（3）有，不唯一，理由见解答．【分析】（1）由复数新定义结合三角函数和指数函数的运算计算可得；（2）由复数的新定义结合复数的除法以及两角差的正余弦公式可得；（3）由复数的新定义结合三角函数的诱导公式计算可得．【解答】解；（1）因为φ（z）＝8，所以由题中新定义得：φ（z）＝2x（cosy+isiny）＝2xcosy+（2xsiny）i＝8，所以由复数相等的概念可得：2x由2x＞0，得siny＝0，从而cosy＝1，2x＝8，解得x＝3，此时y＝2kπ，k∈Z；所以z＝x+yi＝3+2kπi，k∈Z．（2）证明：设z1＝x1+y1i，z2＝x2+y2i（x1，y1，x2，y2∈R），所以φ=2=2又因为z1﹣z2＝（x1﹣x2）+（y1﹣y2）i，所以φ(所以φ(（3）证明：因为z＝a+bi（a，b∈R）中的a为常数，令φ（z）＝f（b），所以f（b）＝φ（z）＝2a（cosb+isinb），因为cos（2kπ+b）＝cosb，sin（2kπ+b）＝sinb，k∈Z，所以f（2kπ+b）＝2a[cos（2kπ+b）+isin（2kπ+b）]＝2a（cosb+isinb）＝f（b），所以令t＝2kπ，k∈Z，k≠0，则有f（b+t）＝f（b），当k取不同值时，t也有相应的不同值，故存在这样的t，但t不唯一．【点评】本题考查复数的新定义与复数的运算，属于中档题．

考点卡片1．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中2．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．3．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．4．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z-z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且5．复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．【解题方法点拨】﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．【命题方向】﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．6．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有：|Z|=|Z|；|Z【命题方向】共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．7．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记