九年级数学下册第一次月考测试卷及答案

第第页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页九年级数学下册第一次月考测试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（

）

A．

B．

C．

D．

2．下列计算正确的是（）．A． B．C． D．3．平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被平面镜a反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（

）A． B． C． D．4．已知△ABC的各边长分别为2,5,6,与其相似的△A'B'C'的最大边长为18,则△ABC与△A'B'C'的面积比等于 ()A．1∶3 B．1∶6 C．1∶9 D．4∶95．如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘（转盘质地均匀），正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转），则指针两次指向的图案相同的概率为（

）A． B． C． D．6．2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（

）A． B．C． D．7．如图，四边形与四边形都是菱形，点E，F在上，已知，，则的值为（

）

A． B． C． D．8．一艘游轮从小岛A正南方向的点处向西航行海里到达点处，然后沿北偏西方向航行海里到达点处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点之间的距离为（

）

A． B．C． D．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9．已知x，y都是实数，且，则．10．若，则．11．如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当时，则．

12．已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点，连接，过点作轴的垂线，垂足为．（1）当反比例函数的图象经过线段的中点时，的值为；（2）当反比例函数的图象把线段上横、纵坐标均为整数的点分布在其左右两侧，且左侧点的个数：右侧点的个数时，的取值范围为．13．足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．（1）tan∠AQB=．（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为米．三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14．计算：15．先化简、再求值：，其中．16．截至2025年3月15日，《哪吒2》全球累计票房（含预售及海外）超亿元，超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五．随着《哪吒2》的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办，已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵5元，按售价购买，600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍．(1)求每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？(2)某班级3月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“自闭症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“哪吒”手办售价定为45元，每个“敖丙”手办的售价定为36元，若本次购进“敖丙”手办的数量比购进“哪吒”手办的数量的2倍还少10个，两种手办全部售出后总获利不少于1000元，求该班级本次购进“哪吒”手办至少是多少个？17．为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分．信息一：初中组A队伍的各项成绩如下表所示：编程调试搭建讲解A队伍成绩/分8875信息二：为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下：初中和高中组备20支队伍搭建项目的成绩分析统计表平均数中位数众数方差初中组8高中组10根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：______，______，搭建项目成绩更稳定的是______（填“初中组”或“高中组”）；（2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩；（3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀．18．如图，四边形中，，以为直径画恰好经过点C，与交于点E．（1）求证：与相切；（2）若，求．19．一块土地上有一个蔬菜大棚（如图1），其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上（墙体足够高），其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中（1）在图2中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，C为抛物线顶点，求抛物线的函数表达式，（2）大棚为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，向上调整为如图3，此时，，求调整后的抛物线解析式；（3）大棚内变化前后最大高度差是多少？20．在等腰中，，，在线段上取一点D，连接．过点B作交于点G．（1）如图1，当点D是的中点，时，求的长度；（2）如图2，当为的角平分线时，过点C作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，过点B作，求证：（3）在内部有一点P，连接、、，设Q为线段上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值．参考答案1．A根据左视图是从左面看到的图形进行判断即可．解：从左面看，该立体图形的左视图为

，故此题答案为A．2．B根据同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项的法则进行计算即可．A、，该选项错误，不符合题意；B、，该选项正确，符合题意；C、，该选项错误，不符合题意；D、，不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；故选：B．本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．3．C由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数．解：由题意，得，∴，∵，∴，∴，∴．故选C．4．C【解析】∵△ABC的各边长分别为2，5，6，与其相似的△A′B′C′的最大边长为18，∴两三角形的相似比为6∶18＝1∶3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶9，故选C.【归纳总结】相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.5．B利用列表法表示所有可能出现的结果情况，其中指针两次指向的图案相同的结果，进而求出概率．解：记六个区域的图案分别为1，2，3，4，5，6，根据题意，列表如下：123456123456由表格，可知共有36种等可能的结果，其中指针两次指向的图案相同的结果有6种，∴，故选B．6．C根据”2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可．解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得，可列故选：C．此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．7．D利用菱形的对角线平分对角，结合，建立勾股定理，表示出，的长，进而即可解决问题．解：过点E作于点M，连接，如图所示：

∵四边形与四边形都是菱形，点E，F在上，，，∴，，则在中，，则，那么，所以，在中，，则，那么，则，，∴，即，故选：D此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，表示出，的长是解题关键．8．A过点作，垂足为，过点A作交的延长线于点，根据题意可得然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而求出的长，即可解答.如图：过点作，垂足为，过点A作，交的延长线于点，

由题意得：，在中,海里，，(海里)，(海里),海里，海里，在中,海里，海里，∴小岛A与出发点B之间的距离为海里，故此题答案为:A.【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键.9．4利用二次根式被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．解：∵，∴，，∴，将代入，得.10．解：∵，∴，∴，即．11．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．过点作于点，根据已知条件判断出，，得到，点为的三等分点，进而得到．解：如图，过点作于点，

，，，，，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，．故此题答案为．12．（1）根据题意，确定的中点坐标为，代入计算即可求解；（2）根据题意得到线段上横、纵坐标均为整数的点有，所以点在左侧，点和在右侧，则，由此即可求解．解：（1）∵点，轴，∴的中点坐标为，∴；（2）∵点，∴线段上横、纵坐标均为整数的点有，当反比例函数把线段上的点分为左、右两侧的整点个数比为时，则点在左侧，点和在右侧，∴，即的取值范围是．13．

；（1）证明△BDQ∽△QDA，利用相似三角形的性质求出QD，过点B作BH⊥AQ于点H．利用面积法求出BH，再利用勾股定理求出QH，可得结论；（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，根点O作OJ⊥NK于点J．解直角三角形求出NJ，NK，可得结论．（1）由题意，∠BQD=∠QAD，∵∠BDQ=∠QDA，∴△BDQ∽△QDA，∴，∴QD2=DB•DA，∵AB=6，BD=2，∴DA=8，∴QD=4，如图，过点B作BH⊥AQ于点H．∵CD⊥AD，∴∠ADQ=90°，∵AD=8．DQ=4，∴AQ=，∵×6×4=×4×BH，∴BH=，∵BQ=，∴HQ=，∴tan∠AQB==；故答案为：；（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，过点O作OJ⊥NK于点J．∵MN∥BH，∴，∴BN==，∴NK=BN•sin∠QBD=×=，∵MN⊥AQ，NK⊥AD，∴∠AMN+∠AKN=180°，∴∠QAD+∠MNK=180°，∵∠MNK+∠ONJ=180°，∴∠ONJ=∠QAD，∴cos∠ONJ=cos∠QAD=，∴JN=ON•cos∠ONJ=×=，∴JK=NJ+NK=+=，∴MN中点与AB的距离至少为米时才能确保防守成功．故答案为：．本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．根据零指数幂的意义，二次根式的运算法则，特殊角的三角函数值等计算即可．解∶原式．15．先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．解：，当时，原式．16．(1)30元，25元；(2)30个（1）设每个“哪吒”的售价是x元，则每个“敖丙”的售价是元，根据600元购买的“哪吒”手办的数量是用250元购买“敖丙”手办的数量的2倍列出方程求解即可；（2）设该班级本次购进“哪吒”手办是y个，则购进“敖丙”手办是个，根据利润等于单件利润乘以销售求出“哪吒”手办和“敖丙”手办的利润之和，再根据总利润不少于1000元列出不等式求解即可．（1）解；设每个“哪吒”的售价是x元，则每个“敖丙”的售价是元，由题意得，，解得，，经检验，是原分式方程得解，且符合实际意义．∴，，答：每个“哪吒”的售价是30元，每个“敖丙”的售价是25元．（2）解：设该班级本次购进“哪吒”手办是y个，由题意得，，解得，答：该班级本次购进“哪吒”手办至少是30个．17．（1）10，9，初中组．（2）7分（3）估计本次比赛高中组共有33支队伍在搭建项目中获得优秀．（1）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可；（2）根据加权平均数的运算法则计算解答即可；（3）先从扇形统计图获取高中组样本中搭建项目成绩9分和10分的占比，相加得到不低于9分的占比，然后乘以高中组参赛队伍总数即可解答．（1）解：初中组共20个数据，则9分的队伍有，则初中组中获得10分的队最多，即众数；由扇形统计图可得：8分所占的百分比为：，则将高中组搭建项目成绩从小到大排列，10分的有，9分的有，∴第10、11个数据都在成绩为9分的组中，则中位数；由初中组方差小于高中组方差，则搭建项目成绩更稳定的是初中组．（2）解：已知编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比确定平均成绩，由A队的成绩表可得：A队伍编程8分、调试8分、搭建7分、讲解5分，由题意可得A队的平均成绩：分．所以A队的平均成绩是7分．（3）解：在抽取的20支高中组队伍样本中，搭建项目成绩不低于9分的包括9分和10分的队伍，由扇形统计图可知：9分的占，10分的占，则不低于9分的队伍所占比例为，由高中组共60支队伍参赛，则估计获得优秀（搭建项目成绩不低于分）的队伍有（支）．答：估计本次比赛高中组共有33支队伍在搭建项目中获得优秀．18．（1）答案见解析；（2）（1）连接OC，证明OC∥AD即可；（2）连接AC，EC，证明△DEC∽△DCA，求得CD，证明△DAC∽△CAB，求．（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠B=∠OCB，∴∠COB+∠B+∠OCB=180°，即∠COB+2∠B=180°，∵∠DAB+2∠B=180°，∴∠DAB=∠COB，∴OC∥AD，∴∠OCD=∠D，∵∠D=90°，∴∠OCD=90°，∴与相切；（2）如图，连接AC，EC，∵四边形AECB是圆的内接四边形，∴∠DEC=∠B，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠CAB，∵∠DCA=90°-∠ACO，∠CAB=∠ACO，∴∠B=∠DCA，∴∠DEC=∠DCA，∴△DEC∽△DCA，∴DC：DA=DE：DC，∴，∴DC=DE；∵∠DAB=∠COB，∠DAB=∠DAC+∠OAC，∠COB=2∠OAC，∴∠DAC=∠OAC，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△DAC∽△CAB，∴AC：BC=AD：DC，∴=AC：BC=AD：DC=5DE：DE=．本题考查了切线的判定和性质，三角形的相似，圆的内接四边形的性质，三角函数的定义，直径的性质，熟练掌握连接半径证垂直证切线，灵活