高三数学（理）二轮复习课时作业第一部分专题六第四讲概率

[限时规范训练]单独成册一、选择题1．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,8)解析：依题意，由题中的两张卡片排在一起组成两位数共有6个，其中奇数有3个，因此所求的概率等于eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故选C.答案：C2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则a<b的概率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：由题意得所有事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15种，其中满足a<b的有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故所求概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，故选D.答案：D3．投掷两枚质地均匀的骰子，其向上的点数分别记为a，b，则直线ax－y＋a－b＝0在y轴上截距大于在x轴上截距的概率为()A.eq\f(5,12) B.eq\f(5,18)C.eq\f(5,6) D.eq\f(5,36)解析：直线ax－y＋a－b＝0在y轴上的截距为a－b，在x轴上的截距为eq\f(b－a,a)，由题知a－b＞eq\f(b－a,a)，化简得a＞b.又(a，b)的所有取值有36个，其中满足a＞b的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15个，则所求概率为eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，故选A.答案：A4．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于35cm2的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D.eq\f(5,6)解析：设AC＝xcm，x∈(0,12)，则CB＝(12－x)cm.当x(12－x)＞35时，解得5＜x＜7，故所求概率是eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，故选B.答案：B5．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：两个分在同一馆的情况有两类：一类是分到城市足迹馆，其有Ceq\o\al(1,3)种分配方法；另一类是分到沙特馆，共有1种分配方法，故其概率为eq\f(3＋1,C\o\al(3,5))＝eq\f(2,5)，故选B.答案：B6．由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))确定的平面区域记为Ω1，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(7,8)解析：区域Ω1为直角△AOB及其内部，S△AOB＝eq\f(1,2)×2×2＝2.区域Ω2是直线x＋y＝1和x＋y＝－2夹成的条形区域(图略)．由题意得所求的概率P＝eq\f(S四边形AODC,S△AOB)＝eq\f(2－\f(1,4),2)＝eq\f(7,8).故选D.答案：D7．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.eq\f(5,21) B.eq\f(10,21)C.eq\f(11,21) D．1解析：从15个球中任取2个球，取法共有Ceq\o\al(2,15)种，其中恰有1个白球，1个红球的取法有Ceq\o\al(1,10)×Ceq\o\al(1,5)种，所以所求概率为P＝eq\f(C\o\al(1,10)×C\o\al(1,5),C\o\al(2,15))＝eq\f(10,21)，故选B.答案：B8．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二次走的是男同学的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：eq\f(C\o\al(1,2)·A\o\al(3,3),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,2)，故选A.答案：A二、填空题9．(2017·青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝eq\f(π,6)，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．解析：易知小正方形的边长为eq\r(3)－1，故小正方形的面积为S1＝(eq\r(3)－1)2＝4－2eq\r(3)，大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4－2\r(3),4)＝eq\f(2－\r(3),2).答案：eq\f(2－\r(3),2)10．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是________．解析：把3个不同的球放入3个不同的盒子中，有27种放法，其中恰有一个空盒的放法有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,3)＝18种，则所求概率为eq\f(18,27)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)11．两所学校分别有2名、3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是________．解析：由题意知，所求概率P＝eq\f(A\o\al(2,2)·A\o\al(3,3)·A\o\al(2,2),A\o\al(5,5))＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)12．向平面区域{(x，y)|0≤x≤eq\r(2)，0≤y≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，0≤x≤1，,\r(2－x2)，1＜x≤\r(2)))下方的概率等于________．解析：因为S1＝eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(x4,4)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,4)，S2＝eq\f(1,8)·π·(eq\r(2))2－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，所以P＝eq\f(\f(1,4)＋\f(π,4)－\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,4))).答案：eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,4)))三、解答题13．投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解析：(1)点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为eq\f(4,9).(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为eq\f(2,5π).14．设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝eq\f(b,x).(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．解析：(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，则|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有：x－eq\f(1,x)，x＋eq\f(1,x)，x＋eq\f(4,x)，4x－eq\f(1,x)，4x＋eq\f(1,x)，4x＋eq\f(4,x)共6种且每种情况被取到的可能性相同．又当a＞0，b＞0时，ax＋eq\f(b,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a))))上递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,a))，＋∞))上递增；x－eq\f(1,x)和4x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上递增，∴对x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－eq\f(1,x)，x＋eq\f(1,x)，x＋eq\f(4,x)，4x－eq\f(1,x)，故事件A包含的基本事件有4种，∴P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故所求概率是eq\f(2,3).(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．要使x∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8，且f(2)＋g(2)＝2a＋eq\f(b,2)≤8，∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∴P(B)＝eq\f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(11,4)))×3,3×3)＝eq\f(19,24)，故所求概率是eq\f(19,24).15．(2017·江苏联考)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成五组，如下表所示：组别一二三四五候车时间/分钟[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)人数26421(1)估计这15名乘客的平均候车时间；(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(3)若从第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．解析：(1)这15名乘客的平均候车时间约为eq\f(1,15)×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝eq\f(1,15)×157.5＝10.5(分钟)．(2)这15名乘客中候车时间少于10分钟的频率为eq\f(2＋6,15)＝eq\f(8,15)，所以这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为60×eq\f(8,15)＝32.(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4