高中数学北师大版选修2-1学案第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行（一）

[学习目标]1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.知识点一直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n，则向量n叫做平面α的法向量知识点二空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R).(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R).题型一利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系例1根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；(3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1,2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))；(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；(5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3).解(1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－eq\f(1,3)b，∴a∥b，即l1∥l2.(2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面.(3)∵u＝(1，－1,2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β.(4)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)，∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直.(5)∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，∴u＝－eq\f(1,4)a，∴u∥a，即l⊥α.反思与感悟(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面.(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直.跟踪训练1设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________.答案4解析∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＝1，,λk＝－2，))∴λ＝－eq\f(1,2)，k＝4.题型二求平面的法向量则A(0,0,0)，D(eq\f(1,2)，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，1,0)，eq\o(DS,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，0,1).易知向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，0,0)是平面SAB的一个法向量.设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DC,\s\up6(→))＝\f(1,2)x＋y＝0，,n·\o(DS,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋z＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,z＝\f(1,2)x.))取x＝2，则y＝－1，z＝1，∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1).反思与感悟求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；(3)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量.解设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,0，－1).∵n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n·\o(BC,\s\up6(→))＝x－z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y，,x＝z.))令x＝1，则y＝z＝1.∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1).题型三利用空间向量证明平行关系例3在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.方法一连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，eq\f(a,2)，eq\f(a,2)).因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，0)，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝(eq\f(a,2)，0，－eq\f(a,2)).又eq\o(PA,\s\up6(→))＝(a,0，－a)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(EG,\s\up6(→))，这表明PA∥EG.而EG平面EDB，且PA⊈平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝(a，eq\f(a,2)，－eq\f(a,2))，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)y＋z＝0，,ax＋\f(y,2)－\f(z,2)＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋z＝0，,2x＋y－z＝0.))令y＝－1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,z＝1.))所以n＝(1，－1,1)，又eq\o(PA,\s\up6(→))＝(a,0，－a)，所以n·eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥eq\o(PA,\s\up6(→)).所以PA∥平面EDB.方法三假设存在实数λ，μ使得eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(DE,\s\up6(→))＋μeq\o(EB,\s\up6(→))，即(a,0，－a)＝λ(0，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))＋μ(a，eq\f(a,2)，－eq\f(a,2))，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝μa，,0＝λ·\f(a,2)＋μ·\f(a,2)＝\f(a,2)λ＋μ，,－a＝λ·\f(a,2)－μ·\f(a,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝1.))所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))，所以PA∥平面BDE.反思与感悟通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(DE,\s\up6(→))＋μeq\o(EB,\s\up6(→))中λ和μ是否存在的问题.跟踪训练3如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.解∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0).不妨令P(0,0,t)，∴eq\o(PF,\s\up6(→))＝(1,1,－t)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝(1,－1,0)，设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DF,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－tz＝0，,x－y＝0，))令z＝1，解得x＝y＝eq\f(t,2)，∴n＝(eq\f(t,2)，eq\f(t,2)，1).设点G的坐标为(0,0，m)，又E(eq\f(1,2)，0,0)，则eq\o(EG,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，0，m).要使EG∥平面PFD，只需eq\o(EG,\s\up6(→))·n＝0，即(－eq\f(1,2))×eq\f(t,2)＋0×eq\f(t,2)＋m×1＝0，即m－eq\f(t,4)＝0，解得m＝eq\f(1,4)t，从而满足AG＝eq\f(1,4)AP的点G即为所求.利用向量法判断直线与平面平行例4已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________.错解因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，所以u⊥a，所以l∥α.错解分析错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.实际上，本例中由向量u⊥a可得lα或l∥α.正解因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.所以u⊥a，所以lα或l∥α.答案lα或l∥α1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1∥l2，则()A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝eq\f(15,2)C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝eq\f(15,2)答案D解析由l1∥l2得，eq\f(2,3)＝eq\f(4,x)＝eq\f(5,y)，解得x＝6，y＝eq\f(15,2).2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交答案C解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.3.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A.(2,2,6) B.(－1,1,3)C.(3,1,1) D.(－3,0,1)答案A解析∵A，B在直线l上，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,3)，与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.4.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则()A.l∥α B.lαC.l⊥α D.lα或l∥α答案D解析∵a·b＝0，∴lα或l∥α.5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_____.(填序号)①eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(AA1,\s\up6(→))；③eq\o(B1B,\s\up6(→))；④eq\o(A1C1