高中数学北师大版选修2-1学案第二章空间向量与立体几何6距离的计算

[学习目标]1.掌握向量长度计算公式.2.会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离.知识点一两点间的距离的求法设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).知识点二点到直线的距离(1)定义：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点A到直线l的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离问题，即过点A在该平面内做垂直于l的直线，垂足为A′，则AA′即为点A到直线l的距离.(2)计算公式：d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·\f(s,|s|)))2)＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(PA,\s\up6(→))|2－|\o(PA,\s\up6(→))·s0|2))).知识点三点到平面的距离一点到它在一个平面内的投影的距离叫作这一点到这个平面的距离，如图所示，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).若n0是平面α的单位法向量，则d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))·n0|.题型一点到直线的距离例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离：(1)直线AC；(2)直线BD.解(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，显然AA1⊥AC，所以AA1＝5即为所求点A1到直线AC的距离.(2)如图建立空间直角坐标系，则有B(4,3,0)，A1(4,0,5).eq\o(DB,\s\up6(→))＝(4,3,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(4,0,5)，eq\f(\o(DA1,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),|\o(DB,\s\up6(→))|)＝eq\f(16,5)，设点A1到直线BD的距离为d.所以d＝eq\r(|\o(DA1,\s\up6(→))|2－\o(\s\up7(),\s\do5(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DA1,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),|\o(DB,\s\up6(→))|))))2))＝eq\r(41－\f(256,25))＝eq\f(\r(769),5).反思与感悟本题(1)利用基本定义直接求解距离，(2)利用向量方法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解.跟踪训练1已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A.eq\f(6\r(5),5)B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(\r(5),5)答案B解析如图所示，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,0,0).eq\o(BE,\s\up6(→))＝(1,0,2)，∴cosθ＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))，eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→)),|\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2\r(5),5).A到直线BE的距离d＝eq\r(|\o(BA,\s\up6(→))|2－\o(\s\up7(),\s\do5(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→)),|\o(BE,\s\up6(→))|))))))2＝eq\r(4－\f(4,5))＝eq\f(4\r(5),5).题型二点到平面的距离例2如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝eq\r(3)，底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离.解如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，eq\r(3))，B1(0,1,eq\r(3))，C1(0,0，eq\r(3)).∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－1,1，－eq\r(3))，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－eq\r(3))，eq\o(B1A1,\s\up6(→))＝(1，－1,0).设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1C,\s\up6(→))＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－\r(3)z＝0，,－x－\r(3)z＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)，,y＝0，,z＝1.))即n＝(－eq\r(3)，0,1)，所以，点B1到平面A1BC的距离d＝eq\f(|n·\o(A1B1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(\r(3),2).反思与感悟本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出这个距离有很大的困难，利用向量方法求解较为容易.跟踪训练2四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点.(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离.(1)证明以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)、F(1，0,0)、B(2,2,0)、E(0,1,1)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(－1，0,2)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1,2,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,1,1)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，又∵DE不在平面PFB内，∴DE∥平面PFB.(2)解∵DE∥平面PFB，∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离.设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(FB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(FP,\s\up6(→))＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－x＋2z＝0，))令x＝2，得y＝－1，z＝1.∴n＝(2，－1,1)，eq\o(FD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，∴D到平面PFB的距离为d＝eq\f(|\o(FD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴点E到平面PFB的距离为eq\f(\r(6),3).题型三线面、面面距离(选学)例3在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.(1)求证：直线CD1∥平面A1BC1；(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离.(1)证明建系如图，则C(0,4,0)，D1(0,0,2)，B(3,4,0)，A1(3,0,2)，C1(0,4,2)，所以eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0，－4,2)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(0，－4，2)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－3,0,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，0,0).∵eq\o(CD1,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→))，∴CD1∥BA1，又∵CD1⊈平面A1BC1，BA1平面A1BC1，∴CD1∥平面A1BC1.(2)解设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BC1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4y＋2z＝0，,－3x＋2z＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)z，,x＝\f(2,3)z.))取z＝6，则x＝4，y＝3，∴n＝(4,3,6)，则eq\o(BC,\s\up6(→))·n＝(－3,0,0)·(4,3,6)＝－12，|n|＝eq\r(61).所以点C到平面A1BC1的距离即直线CD1到平面A1BC1的距离，即d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))·n)),|n|)＝eq\f(|－12|,\r(61))＝eq\f(12\r(61),61).反思与感悟六种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法.跟踪训练3如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离.解如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，又∵EF∩BF＝F，AM∩MN＝M，∴EF∥MN，AM∥BF，∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，,n·\o(AM,\s\up6(→))＝－2x＋4z＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2z，,y＝－2z.))取z＝1，得n＝(2，－2,1)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))在n上的投影为eq\f(n·\o(AB,\s\up6(→)),|n|)＝eq\f(－8,\r(4＋4＋1))＝－eq\f(8,3).∴两平行平面间的距离d＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(8,3).1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为()A.10B.3C.eq\f(8,3)D.eq\f(10,3)答案D解析eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为eq\f(|1，2，－4·－2，－2，1|,\r(4＋4＋1))＝eq\f(|－2－4－4|,3)＝eq\f(10,3).2.在空间直角坐标系中，已知P(－1,0,3)，Q(2,4,3)，则线段PQ的长度为()A.eq\r(10)B.5C.eq\r(29)D.eq\r(34)答案B解析线段PQ的长度为|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋42＋02)＝5.3.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝34，则B点坐标为()A.(18,17，－17) B.(－14，－19,17)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(7,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(11,2)，13))答案A解析设B点坐标为(x，y，z)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝34，即eq\r(λ264＋λ281＋λ2144)＝34，得λ＝2，∴x＝18，y＝17，z＝－17.4.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________.答案(0，－1,0)解析点M在y轴上，设M(0，y,0)，则：eq\o(MA,\s\up6(→))＝(1，－y,2)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1，－3－y,1)，因为|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|，所以1＋y2＋4＝1＋(－3－y)2＋1，解得y＝－1，故M(0，－1,0).5.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3)，求点A到平面MBC的距离.解如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为△BCD与△MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝eq\r(3)，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，eq\r(3))，B(0，－eq\r(3)，0)，A(0，－eq\r(3)，2eq\r(3))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，eq\r(3)).设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(BC,\s\up6(→))，,n⊥\o(BM,\s\up6(→))，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BM,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\