2026版高中数学一数必刷100讲常规版第9章 立体几何、空间向量模块2 位置关系的判定含答案

2026版高中数学一数必刷100讲常规版第9章立体几何、空间向量模块2位置关系的判定模块二位置关系的判定第1节平行关系证明思路大全（★★）内容提要本节主要归纳立体几何大题第一问常见的证明平行关系的思路，先梳理需要用到的一些定理.①线面平行的判定定理：如图1，若，，a∥b，则a∥.②面面平行的判定定理：如图2，若，，，a∥，b∥，则∥.③线面平行的性质定理：如图3，若a∥，，，则a∥l.④面面平行的性质定理1：如图4，若∥，，，则a∥b.⑤面面平行的性质定理2：如图2，若∥，，则a∥.平行关系的证明题中，最常见的是证线面平行，以下是三大作辅助线的思路：1．找平行四边形：可先在面内作一条与已知直线平行的直线，观察构成的图形像不像平行四边形，若像，就尝试去找理由，进行论证即可.2．两个重要图形的运用（其原理是上面的线面平行的性质定理，运用时选①还是②，一般看图就知道）①点线位于面的两侧：如图5，要证AB∥，可在的另一侧尝试找一点P，连接PA，PB，则面PAB与的交线就是我们证线面平行要找的内的直线.②点线位于面的同侧：如图6，要证AB∥，可在的同侧尝试找一点P，连接PA，PB，则面PAB与的交线就是我们证线面平行要找的内的直线.3．造面面平行：若前面的两个方法都不易解决问题，那么还可以考虑通过证面面平行，来证明线面平行.提醒：本节题目只节选了原题中的1个小问，所给条件可能有多余，这些条件是用在其它小问的.之所以没有把它们去掉，是因为应试时本来也需要我们去判断该用哪些条件去证明结论.类型Ⅰ：找平行四边形【例1】（2022·北京卷（节选））如图，三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点.证明：MN∥平面.证明：（要证线面平行，先考虑在面内找与已知直线平行的直线，故尝试过作MN的平行线，作出来就发现像平行四边形，思路就出来了.可以发现T的位置很像中点，故取中点尝试）如图，取BC中点T，连接，TN，因为N是AC中点，所以TN∥AB且，又M是的中点，所以∥AB且，故TN∥且，所以四边形为平行四边形，故MN∥，因为平面，平面，所以MN∥平面.【变式1】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，AD∥BC，且，，E是PD的中点，点F在PC上，且.证明：DF∥平面PAB.证明：（过A作DF的平行线交PB于M，MADF很像平行四边形，但M不像中点.要确定M的位置，可逆推，若MADF是平行四边形，则MF∥AD，而AD∥BC，故MF∥BC，M在PB上的位置就找到了）在棱PB上取点M，使，因为，所以MF∥BC，且，又由题意，AD∥BC，且，，所以，故MF∥AD且，所以四边形MADF是平行四边形，故DF∥AM，又平面PAB，平面PAB，所以DF∥平面PAB.【变式2】如图，四棱台的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，侧棱上的点E满足，证明：直线∥平面.证明：（过作的平行线，若另一端点取在AE上，则其位置不好确定，且不构成平行四边形，这是因为还不是四棱台的完整截面，得把完整的截面画出来，才能看出端倪.要画此截面，可延长截面中位于表面的线来扩大截面，所以我们延长，找它与棱DC的交点）如图，延长，DC交于点F，则F为面和面ABCD的一个公共点，又A也为此二面的公共点，所以连接AF交BC于N，则AF即为面和面ABCD的交线，连接NE，（截面就补充完整了，此时我们再观察图形，发现就是要找的平行线，下面先论证N的位置）由图可知，所以，故，所以，结合，可得，所以，从而N为BC中点，故，又∥，BN∥，所以∥BN，从而四边形是平行四边形，故∥，又平面，平面，所以∥平面.【总结】①证线面平行，先尝试找线，可在已知平面内作已知直线的平行线，观察所得图形的特征，如有无平行四边形等；②取中点连线是立几大题里频率最高的辅助线作法，但不是唯一的作法；③若截面不完整，可尝试画出完整截面再观察.类型Ⅱ：两个重要图形的运用【例2】如图，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，，，点P为DF的中点.证明：BF∥平面APC.证明：（若过P在面内作BF的平行线，可发现得到的显然不是平行四边形，那怎么办？我们发现BF和D分居于面APC两侧，由内容提要2的①可知只需连接FD，BD，证明BF平行于交线PQ即可）如图，连接BD交AC于点Q，连接PQ，因为四边形ABCD为矩形，所以Q为BD中点，又P为DF中点，所以PQ∥BF，因为平面APC，平面APC，所以BF∥平面APC.【变式】如图，PD⊥梯形ABCD所在平面，，F为PA的中点，，，四边形PDCE为矩形.证明：AC∥平面DEF.证明：（P和AC位于平面DEF两侧，连接端点，交线就出来了）如图，设，连接FQ，因为四边形PDCE为矩形，所以Q为PC的中点，又F是PA的中点，所以FQ∥AC，因为平面DEF，平面DEF，所以AC∥平面DEF.【例3】（2022·天津卷（节选））直三棱柱中，，，，D为中点，E为中点，F为CD中点，证明：EF∥平面ABC.证明：（相对于EF，面ABC的对侧没有点，但观察发现CF上有点D，且D和EF位于面ABC的同侧，符合内容提要2中②的重要图形，故连接DE并延长，找到与面ABC的交点，平行线就作出来了）如图，延长DE和BA交于点G，连接CG，由题意，面是矩形，E为中点，所以，，又，所以，故，所以E为GD中点，又F是CD中点，所以EF∥CG，因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.【总结】可以发现，只要题目中出现了两个重要图形，对应连线就可轻松找到思路.类型Ⅲ：造面面平行的思路【例4】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，，，F为PD的中点，证明：BD∥平面PEC.证明：（过E在内作BD的平行线，不构成，同侧与对面也没有点，咋办？这种情况可尝试造面，先找过B与面PEC平行的直线，可过B作PE的平行线BT，则BT∥面PEC，接下来只需证TD∥面PEC即可，显然可以猜想T为PA中点）如图，取PA中点T，连接BT，DT，TE，因为，所以，又，所以，结合EB∥PA可得四边形BEPT是平行四边形，所以BT∥PE，因为平面PCE，平面PCE，所以BT∥平面PCE①，又，AT∥BE，所以四边形ABET是平行四边形，故TE∥AB且，因为四边形ABCD是正方形，所以CD∥AB且，故TE∥CD且，所以四边形CDTE为平行四边形，故DT∥CE，因为平面PCE，平面PCE，所以DT∥平面PCE②，因为DT，平面BDT，，结合①②得平面BDT∥平面PCE，又平面BDT，所以BD∥平面PCE.【总结】通过构造面面平行来证线面平行，常见的方法是过线段端点作面的平行线.类型Ⅳ：线面平行、面面平行的性质定理的应用【例5】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E，证明：EF∥AD.证明：（点E是以线面交点的形式给出的，要证的是线线平行，这时常考虑用线面平行或面面平行的性质定理，把EF看成平面ADF与平面PBC的交线，我们发现只需证AD∥平面PBC）因为底面ABCD是正方形，所以AD∥BC，又平面PBC，平面PBC，所以AD∥平面PBC，因为平面ADF，平面平面，所以AD∥EF.【例6】如图，矩形ACFE中，，平面ABCD，AB∥CD，，，，平面ADF与棱BE交于点G，求证：AG∥DF.证明：（G是面ADF与棱BE交点，意味着AG是面ADF与面ABE的交线，考虑用线面平行或面面平行的性质定理，由图可猜测平面ABE与平面CDF平行，故用面面平行的性质定理证明结论）由题意，ACFE是矩形，所以CF∥AE，又平面ABE，平面ABE，所以CF∥平面ABE①，因为AB∥CD，平面ABE，平面ABE，所以CD∥平面ABE②，因为CF，平面CDF，，结合①②可得平面CDF∥平面ABE，由题意，平面平面，平面平面，所以AG∥DF.【总结】何时该用线面平行、面面平行的性质定理？①需要证明线线平行；②几何体中存在某条直线是以面面相交，或某个点是以线面交点的形式给出的；③题干已经给出了线面平行或面面平行这类条件.具备这三个特征中的任何一个，就可以考虑用线面平行、面面平行的性质定理来解决问题.强化训练1．（2024·江苏南京模拟（节选）·★★）如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，，求证：EF∥平面MNB.2．（2024·广东广州一模（节选）·★★）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，，点M，N分别为DP和AB的中点，求证：MN∥平面PBC.3．（2024·广东模拟（节选）·★★）如图，在直三棱柱中，D为的中点，证明：∥平面.4．（2023·山东潍坊三模（节选）·★★☆）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线PC上，且，，求证：直线平面BDE.5．（2023·广东六校联考（节选）·★★☆）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面ABCD垂直，BC∥平面PAD，，E是棱PD上的动点，当E是棱PD的中点时，求证：CE∥平面PAB.6．（2023·湖北模拟（节选）·★★）如图，平面ABCD，BF∥平面ADE，CF∥AE，，，，证明：AD∥BC.7．（★★☆）如图，三棱柱的所有棱长均为2，，P，Q分别在AB，上（不包括端点），，证明：PQ∥平面.8．（2022·新课标Ⅱ卷（节选）·★★★）如图，PO是三棱锥的高，，，E为PB的中点，证明：OE∥平面PAC.强化训练1．（2024·江苏南京模拟（节选）·★★）如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，，求证：EF∥平面MNB.1．证明：（证线面平行，先找线线平行.观察图形可发现EF∥MN，故尝试通过证此线线平行来证EF∥平面MNB）因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC①，又因为，，所以，故MN∥AC，结合①可得EF∥MN，又平面MNB，平面MNB，所以EF∥平面MNB.2．（2024·广东广州一模（节选）·★★）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，，点M，N分别为DP和AB的中点，求证：MN∥平面PBC.2．证明：（证线面平行，先找线线平行.观察发现若过面PBC内的点B作MN的平行线，则作出来BQMN像平行四边形，且Q为PC中点（如图），思路就有了）如图，取PC的中点Q，连接MQ，BQ，因为点M，Q分别是PD，PC的中点，所以MQ∥CD且，又因为ABCD是菱形，点N是AB的中点，所以BN∥CD且，故MQ∥BN且，所以四边形MNBQ是平行四边形，故MN∥BQ，又因为平面PBC，平面PBC，所以MN∥平面PBC.3．（2024·广东模拟（节选）·★★）如图，在直三棱柱中，D为的中点，证明：∥平面.3．证明：（观察发现和位于面两侧，由内容提要2的①可知只需连接，证明∥DG即可）如图，取中点G，连接DG，，因为是直三棱柱，所以四边形是矩形，从而，G，C三点共线，且G为的中点，又因为D为的中点，所以DG∥，因为平面，平面，所以∥平面.4．（2023·山东潍坊三模（节选）·★★☆）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线PC上，且，，求证：直线平面BDE.4．证明：（观察发现PO和C位于面BDE两侧，由内容提要2的①可知只需证PO∥面POC与面BDE的交线EF，可尝试通过分析E，F在PC，OC上的位置来证明）设，连接EF，由题意，是边长为的正三角形，O是其外心，所以F是BD的中点，且，，所以，，且F是OC的中点，又，，所以，故，且，所以，结合得是正三角形，又因为，所以E为PC中点，结合F为OC中点可得EF∥PO，因为平面BDE，平面BDE，所以PO∥平面BDE.5．（2023·广东六校联考（节选）·★★☆）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面ABCD垂直，BC∥平面PAD，，E是棱PD上的动点，当E是棱PD的中点时，求证：CE∥平面PAB.5．证明：（要证线面平行，先找线线平行.可过B作CE的平行线，作好就发现BCEF像平行四边形，如下图，故尝试证明）如图，取PA中点F，连接BF，EF，因为E是PD中点，所以EF∥AD且①，（还需再证BC也平行且等于AD的一半，条件并未给出BC∥AD，给的是BC∥平面PAD，故考虑线面平行的性质定理）因为BC∥平面PAD，平面ABCD，平面ABCD平面，所以BC∥AD，又，结合①可得BC∥EF且，所以四边形BCEF是平行四边形，故CE∥BF，因为平面PAB，平面PAB，所以CE∥平面PAB.6．（2023·湖北模拟（节选）·★★）如图，平面ABCD，BF∥平面ADE，CF∥AE，，，，证明：AD∥BC.6．证明：（条件中有线面平行，要证的是线线平行，这些都提示了我们该考虑性质定理，结合图形知可先证面BCF∥面ADE，再用面面平行的性质定理证结论）因为CF∥AE，平面ADE，平面ADE，所以CF∥平面ADE，又由题意，BF∥平面ADE，且CF，平面BCF，，所以平面BCF∥平面ADE，因为平面平面，平面平面，所以AD∥BC.7．（★★☆）如图，三棱柱的所有棱长均为2，，P，Q分别在AB，上（不包括端点），，证明：PQ∥平面.7．证法1：（先过作PQ的平行线，观察发现像平行四边形，思路就有了）如图1，作PD∥AC交BC于D，则是正三角形，设，则，故，又，所以，因为∥AC，PD∥AC，所以∥PD，从而四边形是平行四边形，故PQ∥，因为平面，，所以PQ∥平面.证法2：（若没想到构造平行四边形，也可尝试造面，不妨先过P作面的平行线）如图2，作PE∥BC交AC于E，连接QE，因为平面，平面，所以PE∥平面①，由题意，是正三角形，所以也是正三角形，故，又，所以，结合AE∥可得四边形是平行四边形，所以QE∥，又∥，所以QE∥，因为平面，平面，所以QE∥平面②，因为QE，PE平面PQE，，结合①②可得平面PQE∥平面，因为平面PQE，所以PQ∥平面.8．（2022·新课标Ⅱ卷（节选）·★★★）如图，PO是三棱锥的高，，，E为PB的中点，证明：OE∥平面PAC.8．证法1：（观察发现OE和B在面PAC的同侧，符合内容提要2中②的情况，故可通过延长BO找平行线）连接OA，延长BO交AC于点G，连接PG，如图1，（要证OE∥PG，结合E为PB中点知只需证O为BG中点，注意到，故又只需证）因为PO是三棱锥的高，所以平面ABC，又OA，OB平面ABC，故，，结合，可得，所以，又，所以O为BG中点，因为E为PB中点，所以OE∥PG，因为平面PAC，平面PAC，所以OE∥平面PAC.证法2：（若没想到证法1的方法，也可通过造面来证结论，不妨先过点E作PA的平行线交AB于F，F应为AB的中点，观察发现构造的面即为EOF，思路就有了）取AB中点F，连接EF，OF，PF，如图2，因为E是PB中点，所以EF∥PA，又平面PAC，平面PAC，所以EF∥平面PAC①；（再证OF∥平面PAC，只需证OF∥AC，结合知又只需证）因为PO是三棱锥的高，所以平面ABC，又平面ABC，所以，因为，所以，而PO，平面POF，，所以平面POF，因为平面POF，所以，又，且AC，OF，AB都在平面ABC内，所以OF∥AC，因为平面PAC，平面PAC，所以OF∥平面PAC②；因为OF，平面OEF，，结合①②可得平面OEF∥平面PAC，又平面OEF，所以OE∥平面PAC.【反思】证线面平行时，很多题目内容提要里涉及的三种思路常常都可以做，但复杂度可能有差异.第2节垂直关系证明思路大全（★★☆）内容提要本节主要归纳立体几何大题第一问常见的证明垂直关系的思路，先梳理需要用到的一些定理.1．线面垂直的判定定理：如图1，若，，，，则.2．面面垂直的判定定理：如图2，若，，则.3．面面垂直的性质定理：如图3，若，，且，则.4．三垂线定理：如图4，，l在内的射影是b，若，则，此结论反过来也成立.①作用：如图4，想证明l垂直于面内的a，只需证l在面内的射影与a垂直，这就将异面垂直问题转化为了共面垂直问题.注意，三垂线定理在大题中要给出证明过程，再使用.②定理的证明：因为，所以，故图中的三角形所在平面.空间中证明垂直关系的常见思路：1．证线面垂直：证明直线垂直于平面内的两条相交直线即可.2．证线线垂直：若线与线是共面的，则考虑用平面几何的方法来证；若异面，如图5，要证异面直线l和a垂直，可证明l垂直于a所在的某个平面，找到是解决问题的关键，常用两种方法来找：①逆推法：把我们要证的结论与给出的某垂直条件结合，看能得出什么样的线面垂直，这样我们就找到了面，再来分析怎么证，问题就回到前面1的证线面垂直了.②三垂线定理法：如图6，若l在平面内，a在内的射影b很好找，由三垂线定理，，所以a和射影b构成的平面（图中三角形所在平面）即为我们要找的.3．证面面垂直：核心是证线面垂直，若不会找线，可通过在其中一个面内找与交线垂直的直线，如上面图3中的a，找到这条直线，问题就回到前面1的证线面垂直了.4．已知面面垂直：常过一个面内的点作交线的垂线，得到线面垂直，再得到我们需要的线线垂直.提醒：本节题目只节选了原题中的1个小问，所给条件可能有多余.类型Ⅰ：线面垂直的逆推思路【例1】如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，M为BC上的点，且平面PBD，证明：平面ABCD.证明：（要证结论，只需证PD⊥面ABCD内的两条相交直线，结合已知的线面垂直可知其中一条选AM）因为平面PBD，平面PBD，所以①，（另一条选谁呢？剩余条件都是长度，用长度证垂直，想到勾股定理，就满足勾股定理）因为，，所以，故②，因为AM，CD平面ABCD，AM与CD是相交直线，结合①②可得PD⊥平面ABCD.【反思】证线面垂直的核心是找线，这个线一定（隐藏）在条件里，尝试翻译即可.【变式】（2020·新高考Ⅰ卷（节选））如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面PDC.证明：（图中没给交线l，需先把它画出来，注意到BC∥AD，故画交线可用线面平行的性质定理）由ABCD是正方形知BC∥AD，又平面PAD，平面PAD，所以BC∥平面PAD，而平面PBC，平面平面，所以BC∥l，如图，（在面PDC内直接找两条与l垂直的直线不易，故考虑用BC∥l来转化为证BC⊥平面PDC）因为底面ABCD，底面ABCD，所以，又，且PD，平面PCD，，所以平面PCD，结合BC∥l可得平面PCD.【反思】若发现直线l与平面内的直线的垂直条件少，则可考虑转化为证l的某平行线与垂直.类型Ⅱ：线线垂直的逆推思路【例2】（2021·全国甲卷（节选））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，，证明：.证明：（有两个切入点，我们都给出来，切入点1：要证，考虑证明BF⊥DE所在的某平面.要找到这个平面，尝试逆推法，假设BF⊥DE了，结合条件中还有，于是BF应⊥和DE构成的平面，此面可扩展为下图中的面，故考虑证面.切入点2：证异面垂直也可用三垂线定理来思考.观察发现BF在右侧面内，而DE在右侧面的投影容易找到，过E作右侧面的垂线即得到投影B1G，故只需证平面）如图，取BC中点G，连接EG，，因为E为AC中点，所以EG∥AB，又AB∥，所以EG∥，故，D，E，G四点共面，（下面证，可在面中考虑）由题意，，，所以，又，，所以，所以，故，因为，所以，设，则，所以，由题意，，所以，因为，平面，，所以平面，因为平面，所以.【变式1】（2021·浙江卷（节选））如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M，N分别是BC，PC的中点，，，证明：.证明：（PM在底面的射影不好找，故不用三垂线定理找思路，尝试逆推，有两条路径：①假设成立，结合条件可得面ABCD，故可通过证此线面垂直来证；②假设成立，结合条件（即）可得面PDM，故可通过证这一线面垂直来证明.对比发现面PDM更好证，可转化为证面PDM，只需在中证）因为ABCD是平行四边形，，所以，，又，M为BC中点，所以，在中，由余弦定理，，从而，故，又，且PD，平面PDM，，所以平面PDM，因为AB∥DC，所以平面PDM，又平面PDM，所以.【反思】用逆推法寻找上一步的线面垂直，若遇到多种可能性，则可通过对比，选择一条简单可行的路径.【变式2】（2022·浙江卷（节选））如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，，，，，二面角的平面角为，设M，N分别为AE，BC的中点，证明：.证明：（逆推发现题目没有垂直条件，找不到面，怎么办？其实题目的数据隐藏着为等边三角形，于是，故若假设，则面ABCD，这样面就找到了）因为ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，，所以，故①，所以是二面角的平面角，由题意，，如图，作于P，则，，，所以，同理，在直角梯形ABCD中可求得，所以，故是正三角形，又N为BC的中点，所以②，由①结合CF，平面BCF，可得平面BCF，因为平面BCF，所以，结合②以及BC，平面ABCD，可得平面ABCD，又平面ABCD，所以.【总结】①三垂线定理是证异面直线垂直的好方法，但当投影不易找时会失效；②逆推法是通法，但有时题干没有其它线线垂直，不易直接逆推线面垂直，此时往往题目数据隐藏着垂直条件，需要仔细挖掘.类型Ⅲ：面面垂直判定的逆推思路【例3】（2022·全国乙卷（节选））如图，四面体ABCD中，，，，E为AC中点，证明：平面平面ACD.证明：（要证面面垂直，先找线面垂直，观察图形发现不外乎证面ACD，或证面BED，若选BE面ACD，则由所给条件只能证出，不够，故选面BED）因为，E为AC中点，所以①，又，，，所以，从而，故②，由①②结合DE，BE是平面BED内的相交直线可得平面BED，又平面ACD，所以平面平面ACD.【总结】从类型Ⅰ到类型Ⅲ，我们发现最终都回归到线面垂直上，只要掌握了逆推思路这一通法，学会结合条件分析，即可无往不胜.类型Ⅳ：已知面面垂直的常用辅助线作法【例4】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为正三角形，平面PAC平面PCD，，，，证明：平面PCD.证明：（要证线面垂直，需在面内找两条相交直线与PA垂直，只给了，另一条怎么找？看到面面垂直的条件，想到过A或D作两个面交线PC的垂线，思路就有了）如图，取PC中点T，连接DT，因为为正三角形，所以，又平面平面PCD，平面平面，平面PCD，所以平面PAC，因为平面PAC，所以，又，且DT，CD是平面PCD内的相交直线，所以平面PCD.【总结】若题目出现面面垂直条件，则过某面内顶点作交线的垂线，寻找想要的线面垂直，是最常见的思路.强化训练1．（2023·四川成都模拟（节选）·★★）如图，在三棱锥中，AB是的外接圆直径，PC垂直于圆所在的平面，D，E分别是棱PB，PC的中点，证明：平面PAC.2．（2023·陕西榆林一模（节选）·★★）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，AB∥CD，，，且，，证明：.3．（2020·新课标Ⅰ卷（节选）·★★☆）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，P为DO上一点，，证明：平面PAB⊥平面PAC.4．（2023·湖南模拟（节选）·★★☆）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是菱形，是正三角形，，E是AB的中点，证明：.5．（2024·河南模拟（节选）·★★★）如图，在三棱柱中，⊥平面ABC，，AB⊥BC，，求证：⊥平面.6．（2024·湖北武汉四调（节选）·★★★☆）如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点D是棱的中点，，，证明：.强化训练1．（2023·四川成都模拟（节选）·★★）如图，在三棱锥中，AB是的外接圆直径，PC垂直于圆所在的平面，D，E分别是棱PB，PC的中点，证明：平面PAC.1．证明：（D，E都是中点，联想到中位线，故可借助DE∥BC把结论转化为证平面PAC）因为平面ABC，平面ABC，所以，又AB是的外接圆直径，所以，因为PC，平面PAC，，所以平面PAC，又D，E分别是棱PB，PC的中点，所以DE∥BC，故平面PAC.2．（2023·陕西榆林一模（节选）·★★）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，AB∥CD，，，且，，证明：.2．证明：（条件中有面面ABCD，可构造线面垂直，找到PB在平面ABCD内的射影，结合三垂线定理，我们发现只需证AD与该射影垂直即可）如图，取AD中点O，连接OP，OB，因为，所以，又，所以，因为，，所以是正三角形，故，因为OP，OB平面POB，，所以平面POB，又平面POB，所以.3．（2020·新课标Ⅰ卷（节选）·★★☆）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，P为DO上一点，，证明：平面PAB⊥平面PAC.3．证法1：（要证面面垂直，又已知交线，故只需在一个面内找与交线垂直的直线，它必垂直于另一个面，由可发现应选PC，证面PAB即可，而要证这一结果，还需证或PB，下面先考虑证，注意到PC在面ABC内的射影是CO，故只需证）如图1，连接CO并延长，交AB于点G，则G为AB中点，且，因为平面ABC，平面ABC，所以，又平面POC，，所以平面POC，因为平面POC，所以，由题意，，所以，又PA，平面PAB，，所以平面PAB，因为平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC.证法2：（也可通过证来证平面PAB，只需证，观察发现又只需证，要证这一结果，可通过证来完成）如图2，连接OA，OB，则，由题意，平面ABC，OA，OB平面ABC，所以，，故，结合可得，所以，又是正三角形，所以，结合可得，所以，故，，又PA，平面PAB，，所以平面PAB，因为平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC.4．（2023·湖南模拟（节选）·★★☆）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是菱形，是正三角形，，E是AB的中点，证明：.4．证明：（证线线垂直，需找线面垂直，若无思路，可尝试逆推.假设，若能再找一个与AC或PE有关的线线垂直与之组合，就能得到线面垂直，找谁呢？看到面面ABCD，想到最常见的辅助线：过P作AD的垂线PO，得到底面ABCD，于是该面内所有直线，哪条有用呢？显然是AC，故可通过证面POE来证本题的结论）如图，取AD中点O，连接PO，OE，因为是正三角形，O是AD的中点，所以，因为平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以①，因为ABCD是菱形，所以，又因为O，E分别为AD，AB的中点，所以OE∥BD，故，结合①以及PO，平面POE，可得平面POE，因为平面POE，所以.5．（2024·河南模拟（节选）·★★★）如图，在三棱柱中，⊥平面ABC，，AB⊥BC，，求证：⊥平面.5．证明：（要证面，需证该面内的两条相交直线.已有，另一条选谁呢？不外乎或BC，题干还给出了，故考虑选BC，怎样证？若无思路，可尝试逆推，假设，结合可得面，故可通过证此线面垂直来证明）因为⊥平面ABC，平面ABC，所以，又AB⊥BC，平面，平面，，所以BC⊥平面，因为平面，所以，因为，且，平面，，所以⊥平面.6．（2024·湖北武汉四调（节选）·★★★☆）如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点D是棱的中点，，，证明：.6．证明：（怎样证？证线线垂直，常找线面垂直，若无思路，可尝试逆推.假设，题干还有侧面底面ABC，于是面内还存在与面ABC垂直的直线，AC应垂直于该直线，结合可得面，故可通过证此线面垂直来证明.下面我们先用面面垂直构造一个线面垂直出来）如图，连接DA，EA，由题意，，，，在中，由余弦定理，，所以，从而，故，又AB∥，所以，因为平面平面ABC，且两平面的交线为AB，，平面，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以，（还需在面内找一条直线，证该直线，选谁呢？注意到题干给了，结合得面ADE，于是，又有，由此可研究的各边长，通过验证的三边满足勾股定理来证，故选AB）因为平面ABC，平面，所以，又，，且DA，平面，所以平面ADE，因为平面ADE，所以，设，因为，所以，由可得，解得：，所以，从而，故，又因为，且DA，平面，，所以平面，因为平面，所以.第3节空间点、线、面的位置关系综合小题（★★☆）内容提要本节题目解题的一般方法是根据题干的描述进行空间想象，画出图形，判断正误.画图的基本顺序是：先画面面，再画线面，最后添线；若较难想象，也可借助常见几何体（如正方体等）来辅助判断.【例1】设，为两个平面，则∥的充要条件是（）A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一平面解析：由面面平行的判定定理可以得出B项正确，其余选项为什么错，我们画图来解释，如图1，内有a，b，c等无数条平行线均与平行，但与不平行，故A项错误；如图2，和都与直线a平行，但与不平行，故C项错误；如图3，和都与垂直，但与不平行，故D项错误.答案：B【例2】（多选）已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题中正确的有（）A．若m∥，m∥，，则m∥nB．若m∥n，，则m∥C．若，，，则D．若，，∥，则n∥解析：A项，如图1，可以想象A项正确，若要证明，由于已知线面平行，故用线面平行的性质定理，在内取不与n重合的直线，使m∥，则∥，因为，，所以∥n，故m∥n；B项，观察发现判定线面平行的条件不够，还差，故B项错误，如图2；C项，如图3，由图可知C项正确；D项，有面面平行，可先画两个平行的平面，再往里面添线，如图4，n可以在内，故D项错误.答案：AC【例3】（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若，，则m∥B．若m∥，∥，则m∥C．若，，m∥，n∥，则∥D．若，，，则解析：A项，有面面关系，先画这两个面，再画线m，如图1，m可以在内，故A项错误；B项，有面面关系∥，先画它们，再由m∥画m，如图2，m可以在内，故B项错误；C项，没说m，n相交，不能判定∥，如图3，故C项错误；D项，如图4，D项正确.答案：ABC【总结】可以发现，此类题问法多种多样，但