【高考模拟】山东省临沂市2025届高三下学期5月第二次模拟考试数学试卷（含解析）

山东省临沂市2025届高三下学期5月第二次模拟考试数学试卷1．已知集合A=xx+1x−3A．0, 1, 2, 3 B．−1, 0, 1, 2C．1, 2, 3 D．0, 1, 22．若复数z1=i,zA．−45 B．−25 C．3．已知实数x, y满足log2log3A．11 B．12 C．16 D．174．已知an为正项等差数列，若4a3A．4 B．6 C．8 D．105．将函数fx=sin2x+φ,φ<π2的图象向左平移πA．−π12 B．−π6 C．6．已知随机变量ξ~N0,2a，为使ξ在−12, 12内的概率不小于A．8 B．16 C．32 D．647．已知sinα=2cosβ, sinβ=3cosα，若向量mA．−329 B．329 C．58．已知F1, F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0, b>0的左、右焦点，PA．3 B．5 C．6 D．79．已知a>b>c，则下列不等式正确的是（）A．1a−c<1a−b B．ab210．设函数fxA．fxB．过原点作曲线y=fxC．y=fx与y=ax−2D．fx在区间−2, 2上的取值范围是11．三棱锥A−BCD中，AD=23A．三棱锥A−BCD的体积为4B．三棱锥A−BCD外接球的表面积为3πC．过BC中点E的平面截三棱锥A−BCD外接球所得最小截面的半径为1D．当P∈AC, Q∈BD时，|PQ|的最小值为212．若样本数据x1, x2, ⋯, 13．已知F1, F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，C的离心率为33，过F2与C14．已知正整数n，欧拉函数φn表示1、2、⋯、n中与n互质的整数的个数，例如，φ4=2，φ10=4，且a、b互质时，φab=φaφb．若从1、2、15．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=1, AB=2，△PAD为等边三角形，PA⊥CD．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．16．体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生40a女生b25合计100已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为35（1）求a, b；（2）根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为Z，求使事件“Z=k”概率最大的k的值．附：χ2α0.010.0050.001x6.6357.87910.82817．已知函数fx（1）当a>0时，讨论fx（2）设函数gx=fx+ax，已知①求a的取值范围；②求证：gx18．对集合A, B，定义集合A△B=xx∈A, x∉B或x∈B, x∉A，记（1）若A=1, 2, B=2, 3, 4（2）给定集合S=1, 2, 3, 4的子集M，求集合X（3）设A, B, C为有限集合，证明：A△C≤19．已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，P为圆x2（1）求C的方程；（2）已知点M11, 12，按照如下方式构造点Mnn=1, 2, 3, 4, ⋯，设直线ln为C在点Mn处的切线，过点Mn作l①证明：当n≥1时，Mn②设△MnFMn+1

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】A=所以A∩B={0,1,2,3}，故答案为：A.【分析】利用二次不等式求出集合A，再结合交集的运算求解即可得到结果.2．【答案】A【解析】【解答】根据提议z1所以虚部为−45【分析】利用复数的混合运算求解即可得到结果.3．【答案】D【解析】【解答】因为log2log3故答案为：D.【分析】利用对数运算进行化简，结合幂指数运算求解即可得到结果.4．【答案】C【解析】【解答】4a3−由于an为正项等差数列，则a1=a=298−2d所以a1故答案为：C.【分析】根据题意，利用4a3−a7=8化简出a15．【答案】B【解析】【解答】由题意gx从而φ+2π3=故答案为：B.

【分析】利用图象得伸缩变化求出gx的表达式，接着利用gx的图象关于y轴对称求出6．【答案】C【解析】【解答】若随机变量ξ~N0,2a，则μ=0,为使ξ在−12, 12内的概率不小于0.9545即a的最小值为32.故答案为：C.【分析】根据题意，利用正态分布的对称性得P−22a7．【答案】C【解析】【解答】因为sinα=2cosβ，sinβ=3cosα，显然sinβ、sin所以sinα3cosα=所以tanα+β因为向量m=tanα+所以m则tanα+tanβ−15故答案为：C【分析】根据题意，先得到sinβ、sinα、cosβ、cosα不为0，接着对sinα=28．【答案】D【解析】【解答】因为∠F1PF2=π从而PQ=PF1，结合双曲线定义得又QF1−QF故由余弦定理得(2a)2+(4a)2−2×2a×4a×故答案为：D.【分析】根据题意，利用焦点三角形得到PQ=9．【答案】A,D【解析】【解答】对于A，1a−c−1所以c−b<0,a−c>0,a−b>0，即c−ba−ca−b<0对于B，取a>b=0>c，此时ab对于C，取a=−1>b=−2>c=−3，则a+b=c=−3，故C错误，对于D，若a>b=0>c，则a2若a>b>0>c，则a2若a>0>b>c，则a2综上所述，只要a>b>c，就一定有a2故答案为：AD.【分析】A：比较这两个数的大小采用做差法，结合通分化简即可得到结果；对于BC，利用特殊值法进行判断即可得到结果；D：利用重要不等式结合分b>0,b=0,b<0三种情况讨论即可判断.10．【答案】B,C【解析】【解答】f'x(−−1(−1,1)1(1,+f+0−0+f(x)单调增单调减单调增f(−1)=−1+3−2=0,f(1)=1−3−2=−4，所以fx对于选项B：设切点为(x0,代入原点，得−x故切线有且仅有一条，正确；对于选项C：x3−3x−2=ax−2,x若a+3≥0，根据对称性知，根之和为0，若a+3<0，方程只有一个根为0，故正确；对于选项D：f(−2)=−8+6−2=−4,f(2)=8−6−2=0，又f(−1)=0,f(1)=−4，故fx在区间−2, 2上的取值范围是[−4,0]故答案为：BC.【分析】先对函数进行求导，接着利用导函数的零点与正负值画出表格，进而得到函数的单调性，零点，最值，进而画出大致图象进行判断即可得到结果.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】由题设给定的三棱锥D−ABC，AD=23所以AC=22,AC2+CD2所以DC⊥平面ABC，故可将其补全为一个正方体，其中AB=BC=CD=2为三条棱，AD=23由AB⊥BC, BC⊥CD，则VD−ABC由图，易知三棱锥D−ABC的外接球，即为正方体的外接球，且球心为AD的中点O，所以外接球的半径R=3，故其表面积为4π要使过BC中点E的平面截三棱锥A−BCD外接球所得截面半径最小，连接OE，只需截面与OE垂直即可，此时最小半径为r=R2−O所以r=3−2构建如图示的空间直角坐标系A−xyz，又P∈AC, Q∈BD，设P(a,a,0),Q(2,b,b)，则|PQ|=(a−2)所以，当a=43,b=故daanwei：ACD【分析】根据题意，采用补形法进行求解，对于A，利用正方体的边长关系求出体内锥体的体积；对于B，利用正方体求出体对角线的长，进而求出半径即可得到结果；对于C：利用球体的结构特征确定截面半径最小情况下有截面与OE垂直即可判断C；对于D，建系利用空间坐标运算求解，结合二次函数最值即可得到结果.12．【答案】19【解析】【解答】若样本数据x1, x2, ⋯, 故答案为：19.

【分析】根据题意，几何均值的运算性质进行计算即可得到结果.13．【答案】12【解析】【解答】因为离心率e=ca=a=3c，建立如何所示的平面直角坐标系，F1−c,0，因为PQ垂直于x轴，垂足为F2，故x代入椭圆方程可得Pc,b2又M为PQ与y轴交点，可得M0,因为QM=23，由两点之间的距离公式可得又a=3c，解得c=3，a=3则则△PQF|PQ|+|QF故答案为：12.【分析】根据题意，先利用离心率与椭圆的a，b，c间的关系得到a=3c，b=2c，接着建系，利用14．【答案】2【解析】【分析】验证m∈1,2,3,⋯,10时，φ【解答】当m=1时，φ2=1，φ3当m=2时，φ4=2，φ6当m=3时，φ6=2，φ9当m=4时，φ8=4，φ12当m=5时，φ10=4，φ15当m=6时，φ12=4，φ18当m=7时，φ14=6，φ21当m=8时，φ16=8，φ24当m=9时，φ18=6，φ27当m=10时，φ20=8，φ30所以，从1、2、⋯、10中随机取一个数m，则满足φ2m=φ3m的数m故所求概率为410故答案为：25【分析】根据题意，利用题中的结论结合特殊值法将m∈1,2,3,⋯,10逐个代入验证φ15．【答案】（1）因为底面ABCD为矩形，所以AB//CD,AB⊥AD，又因为PA⊥CD，所以AB⊥PA，又因为PA,AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，又因为AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD；（2）取AD中点E连接PE，因为△PAD为等边三角形，所以PE⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，如图所示，以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为AD=1, AB=2，所以P0,0,从而PD=设平面PAD,PBC的法向量分别为n1从而PD⋅n1令y1=1,y故可取n1设平面PAD与平面PBC夹角为θ，则cosθ=故所求为5719【解析】【分析】（1）根据题意用面面垂直的判定定理证明即可得到结果；（2）先证明PE⊥平面ABCD，进而可以点E为原点建立空间直角坐标系，采用空间坐标的方法进行运算，结合空间向量夹角的余弦公式求解即可得到结果.（1）因为底面ABCD为矩形，所以AB//CD,AB⊥AD，又因为PA⊥CD，所以AB⊥PA，又因为PA,AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，又因为AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD；（2）取AD中点E连接PE，因为△PAD为等边三角形，所以PE⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，如图所示，以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为AD=1, AB=2，所以P0,0,从而PD=设平面PAD,PBC的法向量分别为n1从而PD⋅n1令y1=1,y故可取n1设平面PAD与平面PBC夹角为θ，则cosθ=故所求为571916．【答案】（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为35所以b=100×3（2）零假设H0作出列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生401555女生202545合计6040100由题χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0也就是说没有99%（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是P=4060=23，从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为Z，则Z~B30,23，

所以PZ=k=C30k【解析】【分析】（1）根据抽样的概率反算出a，b的值；

（2）先假设出零假设H0，接着画出列联表，进而计算卡方值即可得到结果；

（3）根据题意，男生的人数为Z，且Z~B（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为35所以b=100×3（2）零假设H0作出列联表如下：

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生401555女生202545合计6040100由题χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0也就是说没有99%（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是P=40从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为Z，则Z~B30,所以PZ=k令PZ=k+1PZ=k故使事件“Z=k”概率最大的k的值为20．17．【答案】（1）对函数fx=ax若a>0，则f'若a=2，f'x=2x−12若0<a<2，则1a>12，当x<12或x>1此时fx在0,12若a>2，则0<1a<12，当x<1a或x>此时fx在0,1a综上所述，若a=2，则fx在定义域0,+若0<a<2，则fx在0,12若a>2，则fx在0,1a（2）①gx=fx+ax=ax2−a+2x+lnx+ax=ax2−2x+lnx,x>0，求导得g'x=2ax−2+1x,x>0，

因为gx有两个极值点x1, x2，所以g'x=2ax−2+1x=0,x>0有两个“变号”零点，

即a=2−1x2x=−12x2+1x=−121x−12+12,x>0有两个零点，

令t=1x,x>0⇒t>0，【解析】【分析】（1）对函数进行求导化简，进而得到f'x=ax−12x−1x,x>0，接着对a值进行分类讨论即可得到结果.②利用g'x=2ax−2+1x=0,x>0（1）对函数fx=ax若a>0，则f'若a=2，f'x=2x−12若0<a<2，则1a>12，当x<12或x>1此时fx在0,12若a>2，则0<1a<12，当x<1a或x>此时fx在0,1a综上所述，若a=2，则fx在定义域0,+若0<a<2，则fx在0,12若a>2，则fx在0,1a（2）①gx求导得g'因为gx有两个极值点x1, 即a=2−令t=1x,从而a=−1设gt=−1注意到t>0，所以g0即a的取值范围是0,1②由（2）①不妨设0<t1=g'x=2ax−2+由韦达定理有x1+xg=a=a1令ℎa=−1−ln所以ℎa从而ℎa18．【答案】（1）因为A△B中的元素是要么只属于A，要么只属于B，所以A△B=1,3,4（2）设M=m，则m≤4，因为X△M故符合条件的X的个数为Cm（3）对任意元素x∈A△C，因为x恰属于集合A,C之一，不妨设x∈A且x∉C．若x∈B，则x∈B△C；若x∉B，则x∈A△B．故x∈A△B∪B△C因此A△C≤【解析】【分析】（1）利用题中的定义求解即可；（2）根据新定义得到m≤4，结合条件利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；（3）根据题意，对任意元素x∈A△C，得到x∈A△B或x∈B△C，所以题设中的不等式成立的.