【真题】高二下学期期中联考数学试卷（含解析）广东省天天向上联盟2024-2025学年

广东省天天向上联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷1．若Cn2=15A．30 B．20 C．12 D．62．若fx=lnA．0 B．2 C．－2 D．－43．甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为A．24 B．12 C．8 D．64．已知数列{an}为等比数列，且a1=1，a9=16，设等差数列{bnA．-36或36 B．-36 C．36 D．185．等比数列an的前n项和为Sn，若S8=12，A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或126．已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示，则函数y=A．在区间(−1,2)上是减函数 B．在区间(−3C．在区间(12,3)上减函数 7．用半径为1的圆形铁皮剪出一个扇形制成一个圆锥形容器，容器高为ℎ，当容器的容积最大时，ℎ=（）A．263 B．63 C．28．若不等式xlnx+x1−k+2k>0对任意的A．3 B．4 C．5 D．69．已知数列an的首项为4，且满足2A．ann为等差数列 B．C．an的前n项和Sn=n−1⋅2n+110．某中学A，B，C，D，E五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（）A．所有不同的分派方案共45B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者A必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种D．若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种11．已知函数f(x)=axA．−1是f(x)的极大值B．当−1<a<0时，f(a−1)>f(a)C．当a>2时，f(x)有且仅有一个零点x0，且D．若fx存在极小值点x1，且f(x112．1x1−3x413．已知曲线y=xex，过点3,0作该曲线的两条切线，切点分别为x1,y114．已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足xf'(x)>f(x)15．混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.（1）一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法？（2）若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？（要求：解答过程要有必要的文字说明和步骤，结果以数字呈现）16．已知函数fx=2ln（1）求a，b的值；（2）求fx在e17．记Sn为数列{an}的前n项和，已知（1）求{a（2）证明：118．已知函数fx=ae（1）讨论fx（2）证明：当a>1时，fx19．对于数列{an}，如果存在等差数列{bn}和等比数列（1）证明：如果{an}（2）记Δan=an+1−a（3）设数列{an}的前n项和为Sn，如果{an}

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：若Cn2=15,n(n−1)2∴A故答案为：A.【分析】先由组合数公式计算出n的值，再代入An2中，由排列数公式得出2．【答案】C【解析】【解答】解：因为f'所以f'则limΔ故答案为：C.【分析】根据复合函数的求导法则和导数的定义与函数极限的关系，从而得出limΔ3．【答案】C【解析】【解答】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；第三步：排剩下两位同学，A2所以共2×2×A故答案为：C【分析】特殊元素优先，先排乙，再排甲，利用分步乘法计数原理即可求解.4．【答案】C【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，因为a1=1，a9=16，所以q8=故答案为：C.【分析】设等比数列{an}的公比为q，根据等比数列的通项公式求得q4=45．【答案】A【解析】【解答】解：因为等比数列an的前n项和为Sn，

所以S8，S又因为S8=12，S24=36，解得S16=24或S16=−12，所以S16>0，则故答案为：A.【分析】根据等比数列片段和等比数列的性质，从而得到S16的方程，解方程结合检验法，从而求出S6．【答案】B【解析】【解答】解：因为y'=f'x−fxex，

由图象得：当−32＜x＜12时，

则f'（x）−f（x）＞0，7．【答案】D【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，体积为V，则r2所以V=1可得V'令V'=1当0<ℎ<33时，V'>0，

则函数V=13πr2ℎ在区间0,33上单调递增；所以，当ℎ=33时，故答案为：D.【分析】设圆锥的底面半径为r，体积为V，由r28．【答案】B【解析】【解答】解：问题转化为k(x−2)<x+xlnx，当x=2时，不等式显然成立，当x>2时，即有k<xlnx+xx−2对任意令ℎ(x)=xlnx+xx−2，则令g(x)=x−2lnx−4(x>2)，则g'故g(x)在(2,+∞)递增，∵g8=4−6ln2<0，∴∃x0∈(8,9)，使得ℎ故x∈(2,x0)时，ℎ'(x0故ℎ(x)在(2,x0)递减，在(故ℎ(x)故k<ℎ(x故整数k的最大值为4，故答案为：B．【分析】当x>2时将问题转化为k<xlnx+xx−2恒成立，令ℎ(x)=xlnx+xx−2，求导可得9．【答案】B,D【解析】【解答】解：由2n+1an−na因为a1=4，则an对于A，由以上分析，数列an对于B，由以上分析，可得ann=4×因为an+1an=(n+1)⋅对于C，由以上可得an=n⋅2n+1则2Sn由①−②：所以−Sn=−2+2(1−2所以Sn对于D，因为an=n⋅2n+1，所以an2n+1的前n故答案为：BD.

【分析】由数列递推式两边同除以n(n+1)，从而可得an+1n+1=2×ann，再结合等比数列的定义判断出数列ann为等比数列，则判断出选项A；通过证明an+1an>1和10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、每名学生都有4种安排方案，所以共有4×4×4×4×4=4B、先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有C5第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有C52C再将分好的三组分配到三个社团，共有25AC、分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有C42A根据分类加法计数原理可得共有36+24=60种不同的分派方案，故C正确；D、若每个社团至少派1名学生，则有C52A44=240种，其中学生所以若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时，共有240−24=216种不同分派方案，故D正确.故答案为：ACD.【分析】根据分步乘法计数原理计数可知A正确；按照先分组再分配的方法计数可判断B、C；由间接法求解可判断D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】A，由于fx=ax1.当a>0时，令f'x=0，求出x=0当x<0或x>2a时，所以f'x>0，

则x=0是fx的极大值点，极大值为f0=−1，x=2a2.当a=0时，f(x)=−3x2−1，由极值的定义知，f(x)3.当a<0时，令f'x=0

求出x=0或x=2a，

当x<2a或x>0时，f则x=0是fx的极大值点，极大值为f0=−1，x=2a所以，−1是f(x)的极大值，则选项A正确，B，由于−1<a<0，因为A知，fx在区间2并且−1<a<0，所以2a∈−∞,−2，−2<a−1<−1C，因为a>2时，则2a<1，

而fx的增区间为−∞,0所以x→−∞时，fx→−∞，

并且所以根据零点存在性原理知，当a>2时，f(x)有且仅有一个零点x0，且xD，由于fx存在极小值点x1，所以x1并且f(x1)=f(x2提公因式：x1−x22故答案为：ACD.【分析】A，对函数f(x)求导，接着对a进行分类讨论得到函数单调性，得到x=0处取得极大值−1；B，利用A的解析中对f(x)单调性进行判断，即可得到结果；C，根据f(x)的单调性及零点存在性质原理，进行判断；D，结合选项A有a=2x112．【答案】−12【解析】【解答】解：已知二项式1−3x4展开式的通项为Tr+1=则1x1−3x4故答案为：−12【分析】先利用二项式定理展开式的通项公式可得Tr+113．【答案】3【解析】【解答】解：设切点为(x0,x0ex则切线的斜率为k=f所以切线为y−x因为切线过点(3,0)，

所以−x整理得x02−3x0所以x1故答案为：3.【分析】设切点(x0,x0ex0)14．【答案】1,2【解析】【解答】解：因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

所以x+1>0x2−1>0成立，解得又因为xf'(x)>fx，又因为x>0，可以得到xf'x显然g'(x)>0，因此g(x)是由(x−1)f(x+1)>f(x2−1)所以g(x+1)>g(x则g(x)是0,+∞上的增函数，

则x+1>x2−1，解这个不等式可得综合①和②，则不等式(x−1)f(x+1)>f(x2−1)的解集是1,2.

故答案为：1,2

【分析】由函数的定义域，先求出自变量x的取值范围，再由xf'15．【答案】（1）解：依题意，有以下两种情况：

①4次均为正品，共有A4②前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，

共有C2所以共有24+72=96种不同的抽法．（2）解：由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，第1次抽到的是次品有C21种抽法，

第2次抽到的是正品有C41种抽法，当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有C2当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，

共有C2若第4次抽到正品且第5次抽到次品，

共有C2所以，共有24+48+48=120种不同的抽法．【解析】【分析】（1）利用已知条件分两种情形：第一种是4次抽到的全是正品，第二种前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，再利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理结合排列数公式和组合数公式，从而计算可得答案.（2）由题意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，检测结束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不论正品还是次品）都可以结束，再利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理结合组合数公式，从而可得答案.（1）有以下两种情况：①4次均为正品，共有A4②前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共有C2所以共有24+72=96种不同的抽法．（2）由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束.第1次抽到的是次品有C21种抽法，第2次抽到的是正品有C4当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有C2当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，则共有C2若第4次抽到正品且第5次抽到次品，则共有C2所以，共有24+48+48=120种不同的抽法．16．【答案】解：（1）因为fx=2ln依题意得f'1=0，f解得a=−1，b=2，经检验，a=−1，b=2符合题意，所以a=−1，b=2.（2）由（1）可知fx所以f'令f'x=0，得x=−1当x在e−1,e上变化时，fxxee11,eef＋0－f−单调递增极大值1单调递减4−又因为4−e2<−e−2，

所以f【解析】【分析】（1）利用已知条件和导数求极值点的方法，从而建立关于a，b的方程组，解方程组得出a，b的值.

（2）利用（1）中a，b的值得出函数的解析式，利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再结合函数的极值与端点函数值比较法，从而得出函数fx在e17．【答案】（1）因为{Snan}所以Snn≥2时，Sn−1①-②有：an所以a2以上式子相乘，得a经检验，n=1时，a1所以an（2）由（1）知a所以1所以1a1+1因为n∈N∗，所以所以2−2即1a【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得Sn=(13n+23)a（2）由（1）得1an=2(18．【答案】（1）解：由题意可得f'x=2ae2x若a≤0，则aex−2<0，故f若a>0，则x<ln2a时，f'x所以fx在(−∞,综上所述，当a≤0时，fx在R上单调递减；

当a>0时，fx在(−∞（2）证明：由（1）知，

当a>1时，fx在(−∞,所以fx要证fx>7lna−a−4，只需证6−ln令g(a)=6−ln4−4a−5lna+a当1<a<4时，g'(a)<0，g(a)在当a>4时，g'(a)>0，g(a)在所以g(a)≥g(4)=3(3−4ln2)，

又因为所以g(a)≥g(4)>0，

则fx【解析】【分析】（1）对函数求导，利用分类讨论法研究导数的符号，再结合导数符号与函数单调性的关系，从而讨论出函数的单调性.（2）利用已知条件和分析法，将问题转化为证明6−ln4−4a−5（1）由题设f'x=2a若a≤0，则aex−2<0，故f若a>0，则x<ln2a时f'x所以fx在(−∞,综上，a≤0时fx在R上单调递减；a>0时fx在(−∞（2）由（1）知，a>1时fx在(−∞,所以fx要证fx>7ln所以，只需证6−ln令g(a)=6−ln4−4a−5当1<a<4，g'(a)<0，g(a)在当a>4，g'(a)>0，g(a)在所以g(a)≥g(4)=3(3−4ln2)，而所以g(a)≥g(4)>0，故fx19