江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高一下学期6月期末考试 数学 含解析

江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高一下学期6月期末学业质量监测数学试题一、单选题1．复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设，若，则实数（

）A． B．0 C．2 D．3．已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（

）A．1 B． C． D．4．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（

）A．56 B．60 C．120 D．1405．已知，则（

）A． B． C． D．6．在中，若，且，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形7．在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则10．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（

）A．与B相互独立 B．与互斥C． D．11．正方体的棱长为2，点是四边形内部及边界上一动点，点是棱上靠近点的三等分点，下列结论正确的有（

）A．B．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为C．若，则点的运动轨迹长度为D．直线被正方体的外接球所截得的线段的长度为三、填空题12．某次期中考试10位同学的数学成绩数据如下：.则这组数据的第75百分位数为.13．我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为．14．在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为．四、解答题15．已知向量，，函数.(1)求的解析式；(2)求的最小正周期及单调递增区间；(3)若在区间上的值域为，求实数的取值范围.16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的值；(2)若，，点D，E在边AC上，且BD是的角平分线，BE是的角平分线，求的面积.17．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点．(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成的角．18．某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作：为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率；(3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差.注：第一部分有m个数，平均数为，方差为，第二部分有n个数，平均数为，方差为，记样本均值为，样本方差为，则，.19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）．(1)证明：；(2)若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求；(3)设点Q是边上的点（含端点），求的最小值．

题号12345678910答案CDCDDDDBBCDABC题号11答案ABD1．C利用复数的除法化简复数，结合复数的几何意义可得出结论.【详解】因为，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.2．D利用向量的线性运算的坐标运算求得，结合向量数量积的坐标运算可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，解得.故选：D.3．C根据向量的数量积，计算向量在另一向量上的投影向量.【详解】向量在向量上的投影向量模长为，因为，所以向量在向量上的投影向量与向量方向相反，则投影向量为，故选：C.4．D根据频率分布直方图求得频率，由总数乘频率，可得答案.【详解】由频率分布直方图中的数据可得每周的自习时间不少于22.5小时的频率为，则200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是.故选：D.5．D利用利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式及诱导公式即可求得.【详解】，所以，所以，故.故选：D6．D结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状.【详解】因为，所以，又根据余弦定理可知，所以，因为，所以.又由，得，所以，所以，因为A和B是三角形的内角，所以，即，所以是等腰三角形，又因为，所以，是等边三角形.故选：D.7．D连接、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，求出的长，即可求出的余弦值，即为所求.【详解】连接、，则也为的中点，如下图所示：在直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体，又因为，且，则，因为，，所以，故，因为四边形为矩形，则，所以异面直线与所成角为或其补角，且，因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.8．B作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解.【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，因为

，，所以，则，所以为与平面所成角，故，，设正三棱锥外接球的半径为，则，得，所以，故，如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，，则，所以，则，所以与该截面所成角为，故，，即与该截面所成角为.故选：B.9．BCD利用线面、线线的位置关系可判断A选项；利用线面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行和线面垂直的性质定理可判断C选项；利用线面垂直和面面垂直的性质可判断D选项.【详解】对于A选项，若若，，则、平行、相交或异面，A错；对于B选项，若，过直线作平面，使得，由线面平行的性质定理可知，因为，，则，故，B对；对于C选项，若，，，设，在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可得，因为，故，因为，，故，C对；对于D选项，如下图所示：因为，，，设，在平面内作异于直线的直线，使得，由面面垂直的性质定理得，由C选项可知，因为，，则，故，D对.故选：BCD.10．ABC利用古典概型公式求出，，，进一步结合独立事件的概率公式和互斥事件的定理逐个选项判断即可.【详解】由题意得共有个基本事件，第一次向上的点数是1有，共6种情况，由古典概型概率公式得，第二次向上的点数是偶数有，共种情况，由古典概型概率公式得，两次向上的点数之和是8有，共5种情况，由古典概型概率公式得，而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数，符合条件的有，共3种，则，下面，我们开始分析各个选项，对于A，由已知得，，满足，则与相互独立，故A正确，对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生，符合条件的有，，共11个，故，满足，可得与互斥，故B正确，对于C，由概率加法公式得，即C正确，对于D，题意得共有个基本事件，则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8，符合条件的有，共3种，则，故D错误.故选：ABC11．ABD连接，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；连接，易得即为直线与平面所成角的平面角，求出，即可判断B；分别在取靠近点的三等分点，在上取靠近点的三等分点，连接，先证明四点共面，再证明平面，进而可判断C；易得被正方形外接圆所截得的线段即为所求，在平面图形中求解即可判断D.【详解】对于A，连接，则，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，因为直线与平面所成的角为，而平面与平面平行，所以直线与平面所成的角为，连接，因为平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，则，所以，所以点的轨迹是以点为圆心的圆与四边形的公共部分，所以点的轨迹长度为，故B正确；对于C，分别在取靠近点的三等分点，在上取靠近点的三等分点，连接，则，因为点是棱上靠近点的三等分点，所以，所以，所以四点共面，有正方体的结构特征可得，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又平面，所以平面，又因，点是四边形内部及边界上一动点，所以点的轨迹即为，，故C错误；直线被正方体的外接球所截得的线段，即为被正方形外接圆所截得的线段，如图，点为正方形外接圆的圆心，则点为的中点，过点作于点，则所求线段即为，，则，所以，所以，所以所截得的线段的长度为，故D正确.故选：ABD.12．89根据百分位数的概念和公式求解即可.【详解】因为，所以第75百分位数是第8个数，由数据可以看出第8个数字是89，所以第75百分位数是89.故答案为：89.13．根据祖暅原理可知所求半球台体积等于圆柱与圆锥体积差，由此求解即可.【详解】因为半球台下底面半径，上底面半径，所以半球台高度.由祖暅原理得，半球台的体积等于底面半径为、高为的圆柱的体积减去底面半径为、高为的圆锥的体积，所以半球台的体积.故答案为：.14．8根据二倍角公式以及正弦定理边角转化可得为直角，由等面积法得，结合基本不等式即可求解【详解】设在中，角所对的边分别为.因为，所以，所以，由正弦定理可得，故，因为为的角平分线，所以.由得，整理得，即.因为，所以，当且仅当时取等号，所以，故面积的最小值为8.故答案为：8.15．(1)；(2)最小正周期为，(3).【详解】（1）由向量，得；（2）函数的最小正周期，由，得，所以的单调递增区间为.（3）由（1）知，，当时，，由在上的值域为，得，解得，所以实数的取值范围是.16．(1)(2)（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；（2）利用先求出，再由得，即可得解.【详解】（1）已知，由正弦定理得，即.因为，展开式子得移项可得，即.因为，所以，则.解得，又，所以.（2）已知，，，因为BD是的角平分线，则，，所以.又因为BE是的角平分线，则，，所以.所以.17．(1)证明见解析；(2)（1）连结交于，连接，推导出，利用线面平行判定定理证明平面；（2）根据，可得直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形中易求．【详解】（1）连接，交于O，连结，∵四棱锥的底面是边长为1的正方形，∴O是的中点，∵为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）∵，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，底面，∴为直线与平面所成的角，∵，∴，∴直线与平面所成的角等于.18．(1)(2)(3),（1）根据直方图各区间的频率和为1列方程求参数；（2）先依据频率分布直方图求出及格的频率，得到单次抽取及格的概率，再利用概率公式计算即可；（3）先确定区间、上的样本个数，再根据公式计算总平均数和总方差的值.【详解】（1）由题意，解得；（2）由直方图知，的频率为设至少有2份试卷及格为事件，有2份试卷及格为事件，有3份试卷及格为事件，（3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，所以，总方差为.19．(1)证明见解析(2)1(3)【详解】（1）连接，在中，由余弦定理得，，所以，所以，又因为四边形为