3.1 导数几何意义及运算（精练）（题组版）（解析版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

.1导数几何意义及运算（精练题组版）题组一导数的运算1.（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（

）A．(a为常数) B．C． D．【答案】B【解析】A：因为a为常数，所以，故A错误；B：，故B正确；C：，故C错误；D：，故D错误.故选：B2.（24-25安徽蚌埠）（多选）下列命题正确的有（

）A．B．已知的数，若，则C．D．设函数的导函数为，且，则【答案】BD【解析】，故A错误．对于B,因为，若则，即，故B正确．对于C,因为，故C错误．对于D,因为，故，故，D正确．故选：BD3.（2024山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．(5)(6)(7)(8)【答案】(1)(2)；(3)；(4)．(5)；(6)；(7)；(8).【解析】（1）．（2）．（3）．（4）（5）.（6），则.（7），则.（8）.题组二导数值1.（2024·上海黄浦）已知函数，则．【答案】【解析】因为，所以，则，解得：，所以，则.故答案为：.2.（2025·河北）已知函数的导函数为，且满足，则【答案】-1【解析】由，可得，所以，则.3.（2024·江苏）已知，且，则的值等于【答案】【解析】，，解得4.（2024海南）如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则【答案】3【解析】因为函数的图像在点P处的切线方程是，所以，所以。题组三导数定义及几何意义1.（2024广东江门）已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】C【解析】由直线与曲线切于点，知.由导数的定义知，.故选：C2.（24-25广东东莞）曲线上的任意一点处切线的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则，当且仅当时，等号成立，因此，曲线上的任意一点处切线的斜率的取值范围是.故选：D.3.（2025·四川）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为.因为曲线在点处的切线与曲线y=lnx在点P处的切线垂直，所以曲线y=lnx在点P处的切线的斜率.而y=lnx的导数，所以切点的横坐标为，所以切点.故选：D4.（2025·广东）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（）A．-21 B．-27 C．-24 D．-25【答案】A【解析】是奇函数，恒成立，所以，，，所以，，即，．故答案为：A．5（2024·福建福州）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以所以，解得，所以由题意可知，，所以.故选：B.6（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是.【答案】【解析】因为，所以，则所以曲线在点处的切线斜率为，所以斜线的倾斜角为：.故答案为：题组四在型切线1.（23-24内蒙古）曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，则所求切线切点坐标为，，有，则所求切线斜率为，所求的切线方程为，即.故选：B2.（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函数的定义域为，且是奇函数，则，即，解得，于是，求导得，则，而，所以曲线在处的切线的方程为：，即.故选：B3.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，联立可解得，所以，所以.所以曲线在点处的切线方程为，故所求的切线方程为.故选：C.4（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为.【答案】【解析】因为，所以，所以，则，从而曲线在点处的切线方程为，整理得.5.（2024江苏盐城·阶段练习）曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以切线斜率为，切线方程为，6.（2026安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线方程为.【答案】【解析】因为，得，则，所以切线的方程为，即.故答案为：.7．（23-24高三上·山东·期中）已知函数，则在点处切线方程为．【答案】【解析】对求导可得，则，解得，，，切线方程为，整理得.故答案为：.题组五过型切线1．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，点不在曲线上，设切点为，则，解得：，得切点，则切线方程为：，故选：．2（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】设过点的曲线的切线为：，有,解得或,代入可得或.故选：3.（2025·辽宁）过点作曲线的切线，则切点坐标为.【答案】/【解析】由，得，，化简得，，则，设切点为，显然不在曲线上，则，解得，则切点坐标为.故答案为：4.（24-25广西）过点且与曲线相切的直线的方程为．【答案】或【解析】设切点坐标为，则有．因为，所以切线方程为，将点的坐标代入，得，所以，解得或．当时，，故切线方程为；当时，，故切线方程为．所以所求直线的方程为或．故答案为：或．5.（2024湖南）曲线过点的切线方程为.【答案】或【解析】，因为点不在曲线上，所以设切线的切点是，则切线的斜率，又切线过点和，所以，所以，化简得，因为，所以或.所以，或，所以所求切线方程是或，即或.故答案为：或.6.（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为.【答案】【解析】设切点为，由得，则切点处的切线，因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为即.故答案为：题组六切线求参数1.（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】依题意有，，又，即，，，.故选：D.2（2025·贵州安顺·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】设切点坐标为.∵，∴，则，由②得，，代入①得，，整理得，解得，故.故选：A.3.（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，且反比例函数的图象也关于直线对称，可知点关于直线对称，设，则，设，则，由题意可得：，解得或（舍去），可得，则，所以.故选：A.4.（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】设直线与曲线的切点为.对求导，根据，可得.因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知，在切点处，即.又因为切点既在直线上又在曲线上，所以且，即.将代入可得：，即.将代入可得：，所以当，时，取得最小值为.故选：A5.（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则.【答案】【解析】函数，求导得，则，而，因此曲线在处的切线方程为，依题意，，所以.故答案为：6．（2024·四川宜宾·一模）设曲线在处的切线与直线垂直，则【答案】1【解析】直线的斜率，∵切线与直线垂直，∴切线的斜率，，当时，，∴，故答案为：1.7.（2024·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则．【答案】/【解析】设直线与曲线相切于点，求导可得，因此切线斜率，又切线过原点，可得，化简可得，令，则，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，，即可得，因此可得，即可得.故答案为：8.（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为.【答案】【解析】设切点坐标为，由得，所以切线的斜率为：，所以曲线在处的切线方程为：，即，所以，所以，所以.故答案为：.9.（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知，直线与曲线相切，则的最小值为.【答案】【解析】设切点为，由得，由题意，解得，所以，即，故，当且仅当时，等号成立，故答案为：10（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为.【答案】/【解析】设，则，设切点为，则，则切线方程为，整理可得，所以，解得，所以，所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：题组七公切线1.（2024·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】设公切线与函数,的图象分别切于点，因为，所以，所以公切线方程为，即，因为，所以，所以公切线方程为，即，因为函数与的图象有且只有一条公切线，所以，由得,代入，则，整理得，令，则，当时，，则函数单调递增，当时，，则函数单调递减，所以时，，则当时，函数与的图象有且只有一条公切线，即，解得.故选：B.2（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则切线方程分别为，，所以由①得，代入②得．令，则，所以当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以，又当时，，所以的值域为，所以的取值范围是．故选：D．3.（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设曲线切点为，的切点为，则曲线在点处的切线方程为，即，同理，在点处的切线方程为，根据与有两条公切线，则，所以，化简可得具有两个交点，转化为有两个解，构造函数，则，当，，单调递增；当，，单调递减，故在时有极大值即为最大值，故，当时，，当时，，故的取值范围为，故选：A4（2024·四川绵阳·模拟预测）（多选）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】设由两曲线与分别求导得，所以，故在处切线为：，整理得：，在处切线为，整理得：，所以，解得，构造函数，，令，解得：，故在递增，在递减，故，∵正实数，∴的取值范围是，故选：ABC5．（2024·四川·模拟预测）若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则.【答案】【解析】因为，所以，设直线与的切点为，则切线方程为，即，又因为，所以解得，所以切线方程为，因为，所以，设直线与的切点为，所以①，又因为切点在直线上，所以②，由①和②可得，所以，解得.故答案为：6.．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则.【答案】【解析】设曲线与的切点分别为，易知两曲线的导函数分别为，，由题意可知：，可得，则，解得，所以.故答案为：.7．（2025·陕西）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为．【答案】【解析】设曲线与的切点分别为，，∵，，∴，，∴，，∴，，即，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，即，即，即．故答案为：.8．（2025·河北）已知直线是曲线和的公切线，则实数a=．【答案】3【解析】设直线l与曲线相切于点，由，得，因为l与曲线相切，所以消去，得，解得．设l与曲线相切于点，由，得，即，因为是l与曲线的公共点，所以消去，得，即，解得．故答案为：3.9.（24-25高三下·湖南永州）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是.【答案】【解析】设公切线为是与的切点，由，得，设是与的切点，由，得，所以的方程为，因为，整理得，同理，因为，整理得，依题意两条直线重合，可得，消去，得，由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点，因为，令，则，当或时，；当时，，所以有极小值为，有极大值为，因为，，，所以，当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，故的图象简单表示为下图:所以当，即时，直线与曲线有三个交点，故答案为：10（23-24山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为．【答案】/【解析】设直线切曲线于点，切曲线于点，由得，则直线的方程为，即；由可得，则直线的方程为，即，所以，，消去可得，即，可得，因此，直线的斜率为.故答案为：.11.（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则.【答案】/【解析】曲线在点处的切线与曲线相切于点，，∴曲线在点处的切线斜率，曲线在点处的切线斜率，∴曲线在点处的切线方程为，或，，即，，易知，，.故答案为：.12（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为.【答案】1【解析】由，，有，，在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，则有，得，所以，可得.故答案为：1.题组八切线的数量1．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】设切点，因为曲线，所以，所以，所以，所以或，当时，所以，所以切线方程为，即；当时，所以，所以切线方程为，即；当时，所以，所以切线方程为，即；所以切线有3条.故选：C.2.（2024安徽合肥）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解法一

由，得．设切点坐标为，则切线方程为，把代入可得，即，因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．解法二

由，得，令，得．当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，且，则点在曲线的下方，数形结合可知，过点可作曲线的2条切线．故选：B3.（2025安徽）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为函数，所以，设过点作曲线的切线，切点为，则有，也即，又因为，所以令，，当时，，函数单调递减，当或时，，函数单调递增，综上：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又因为，，所以函数有三个零点，分别在区间上，也即方程有三个不同的根，所以过点作曲线的切线，有三个不同的切点，也即过点可作曲线的切线的条数最多为，故选：.4.（2025山西）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】BC【解析】因为，所以，设切点，在点处的导数为，根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：整理得，所以，①当时，可化为，由函数定义域知分母不为0，，所以只能解得，因此过只能找到一条与曲线相切的直线；②当时，可化为，是关于的二次方程，，且两根之积为，所以所求根之中一定不含0，此时对任意能够找到两个满足条件.综上所述，过点且与曲线相切的直线可能有1或2条.故选：BC.5（2025估计）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．曲线的切线斜率可以是1B．曲线的切线斜率可以是C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条【答案】AC【解析】因为函数，所以A.令，得，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确；B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误；C.因为在曲线上，所以点是切点，则，所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确；D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误；故选：AC题组九已知切线的条数求参数1.（2025·云南）（多选）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】设切点为，则，所以切线的斜率为，则切线的方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得或，当或时，；当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为过点恰能作3条曲线的切线，所以直线与的图象有3个交点，如图所示：

所以m的取值范围是，故选：BC2.（2024辽宁）（多选）若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【解析】设切点为，，所以切线的斜率，则此曲线在P处的切线方程为，又此切线过坐标原点，所以，由此推出有两个不等的实根，所以，解得或，故选：AD．3.（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，设切点为，则切线方程，而过，将代入方程得到，令，，令，，此时单调递减，令，，此时单调递增，故有极小值，有极大值，则得到，故A正确.故选：A.4.（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】由题意，设点为曲线的切点，则切线方程为，整理得，将点代入可得.令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.又，，当时，方程有3个不同的实数根，即当时，有3个不同的满足方程，即过点可作三条直线与曲线相切.故答案为：.5．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是.【答案】【解析】设切点为：，，所以切线方程为，又因为切线过点，所以，即，令，则，令，得或，当或时，，当时，，，当时，则，且；当时，则，所以的图象如图所示：因为过点仅可作曲线的两条切线，所以与的图象有两个交点，则或.故答案为：.6.（2024福建福州·阶段练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围为．【答案】或【解析】由得，设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为，又因为切线过坐标原点，所以，整理得，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以，解得或，故答案为：或题组十切线方程的应用1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，切线的斜率为