2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数a+i1+i是实数(i是虚数单位)，则实数a的值为(

)A.−2 B.−1 C.1 D.22.在△ABC中，M为AB边上的中点，则CM=(

)A.12CB+12CA B.−3.4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为(

)A.0.256 B.0.016 C.0.0256 D.0.0364.已知向量a=(1,−3)，b=(2,1)，则a在b上的投影向量为(

)A.(−15,−110) B.(5.中国古代数学名著《九章算术》的商功章记载了圆锥型几何体的体积公式，“水曰：下周自乘，以高乘之三十六而一”，其意思是：已知圆锥的底面周长C，高ℎ，那么圆锥的体积公式是V=112πC2ℎ，若一圆锥的轴截面是边长为A.233π B.236.甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是(

)

甲同学：中位数为22，众数为20

乙同学：中位数为25，平均数为22

丙同学：第40百分位数为22，极差为2

丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8A.1 B.2 C.3 D.47.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcosA+acosB=csinC，则△ABC为(

)A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形8.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且PD=PA=32，AB=6，则四棱锥P−ABCD的外接球的体积为(

)A.722π B.276π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件.则下列说法中不正确的是(

)A.事件C发生的概率为110 B.事件C发生的频率为110

C.事件C发生的概率接近110 D.每抽1010.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是(

)A.若复数z∈R，则z−∈R

B.若复数z2∈R，则z∈R

C.若复数m2+3m−4+(m2−2m−24)i=0，则实数m=1或11.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AA1=2，点P为CC1A.BD⊥AC1

B.若点Q在线段D1C上，则四面体A1BPQ的体积为定值

C.若A1Q=7，则点Q轨迹的长度为π3三、填空题：本题共3小题，共15分。12.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为______分.13.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则a+b>5的概率为______．9a7bcd4e514.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，PA=23，PA⊥平面ABCD，M为线段PA的中点，若空间中存在平面α满足BD//α，MC⊂α，记平面α与直线PD，PB分别交于点E，F，则PEED=______，四边形四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(1,3)，b=(1,−2)．

(1)求向量a，b的夹角的余弦值；

(2)若c=(3,t)，且2a−316.(本小题15分)

某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为10mg/片.由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．

(1)计算样本的平均数x−和方差s2；

(2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标(若|17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=1，BC=2，PB=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFFC=12．

(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)在棱BP上是否存在点G，使得点G到平面18.(本小题17分)

如图，在平面四边形ABCD中，DC=2AD=42，∠BAD=π2，∠BDC=π6．

(1)若cos∠ABD=5319.(本小题17分)

我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)视为一个向量，记作α=(z1,z2).类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量α=(z1,z2)，β=(z3,z4)的数量积记作α⋅β，定义为α⋅β=z1z3−+z2z4−；复向量α的模定义为|α|=α⋅α．

(1)设α=(3,4)，β=(1−i,i)，求复向量α与β的模；

(2)已知对任意的实向量参考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.C

6.C

7.C

8.A

9.ACD

10.AD

11.ABD

12.86.25

13.2314.2

615.(1)因为向量a=(1,3)，b=(1,−2)，

所以a⋅b=1−6=−5，|a|=1+9=10，|b|=1+4=5，

所以向量a，b夹角的余弦值为cos<a，b>=a⋅b|a||b|=−510×16.解：(1)根据题意，样本数据为：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1，

则其平均数x−=110(9.7+10+9.7+9.6+9.7+9.9+10.2+10.1+10+10.1)=9.9mg，

其方差S2=110(0.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0+0.09+0.04+0.01+0.04)=0.04，

(2)根据题意，由(1)的结论，样本的平均数x−=9.9，方差s2=0.04，

则有|x−−10|=0.1，而3.25s210=0.6510>0.653，

则有|x−−10|<3.25s210，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．

17.解：(Ⅰ)证明：在直角梯形中，AD⊥CD，AD//BC，AD=CD=1，BC=2，

可得AB=2，

又PA=1，PB=3，即有PA2+AB2=PB2，

可得PA⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

可得PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)以D为坐标原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过D平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，则P(1,0,1)，D(0,0,0)，E为PD的中点，可得E(12,0,12)，

由C(0,1,0)，P(1,0,1)，点F在PC上，且PFFC=12，可得F(23,13,23)，

又A(1,0,0)18.解：(1)因为cos∠ABD=53>0，所以sin∠ABD=1−cos2∠ABD=23，

所以tan∠ABD=sin∠ABDcos∠ABD=25，

在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADAB=22AB=25，

所以AB=10，

所以△ABD的面积S=12AB⋅AD=12×10×22=25．19.解：(1)因为α=(3,4)，所以α⋅α=3×3+4×4=25，所以α的模为|α|=5；

因为β=(1−i,i)，所以β⋅β=(1−i)(1−i)+i⋅i−=(1−i)(1+i)+i⋅(−i)=2+1=3，可得β的模为|β|=