2024-2025学年安徽省智学联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省智学联考高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z−2i=i−1i+1，则z=(

)A.−i B.i C.−3i D.3i2.某项比赛共有7个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是(

)A.极差 B.45%分位数 C.平均数 D.众数3.已知a=(2,1)，b=(x,−2)，若a//b，则A.(−6,−3) B.(2,1) C.(6,−3) D.(−2,−1)4.若m，n为空间中两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是(

)A.若m⊥α，n⊥α，则m//n

B.若m⊥α，m//β，则α⊥β

C.若α//β，m⊥α，n⊂β，则m⊥n

D.若m//α，n//α，则m//n5.在△ABC，点D为线段BC的中点，点O在线段AD上，且AO=2OD，若BO=λDC+μAC(λ、μA.53 B.1 C.13 6.已知圆锥的体积为12π，其侧面积与底面积的比为5：3，则该圆锥的表面积为(

)A.9π B.12π C.15π D.24π7.在一组样本数据中，0，1，2，3出现的频数分别为f1，f2，f3，f4A.f1=f4=2，f2=f3=3 B.f1=8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA−sinC)+bsinB=asinB，b+2a=4，CA=3CD−2CB，则线段CDA.2 B.223 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B，C是样本空间Ω中三个概率大于0的随机事件，则下列选项正确的是(

)A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

B.事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立

C.若P(AB)=P(A)P(B)成立，则事件A与B相互独立

D.若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，则事件A，B，C一定两两独立10.已知△ABC，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是(

)A.若sin2A+sin2B+cos2C<1，则△ABC为钝角三角形

B.若AB=3，AC=1，B=30°，则△ABC的面积为32

C.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

D.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，E，F，G分别为棱BB1，DD1，CC1上的点，且BE=13BBA.点P的轨迹为菱形AEGF及其内部

B.当λ=13，μ=23时，AP的长度为6

C.当λ=1时，点P的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量AB，AC分别表示复数z1=1−i，z2=8+i，则13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=AB=1，14.在△ABC，△ABC的面积为3，AB⋅AC=2，sinB=2cosA⋅sinC，△ABC的外接圆为圆O，P为圆四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.求证：

(1)BE//平面PAD；

(2)平面PCD⊥平面PBC．16.(本小题15分)

AI正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“AI情感陪伴系统”等，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)根据频率分布直方图求实数a的值及样本数据的平均数；

(2)若将频率视为概率，现在要从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，分别用A，B，C，D，E，F来表示，再从这6人中随机抽取2人进行电话采访，

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设G为事件“抽取的2人中至多有1人的年龄在[20,30)这一组”，求事件G发生的概率．17.(本小题15分)

如图所示，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，直线AC与平面PBC所成的角为60°，PC=AC=2．

(1)当CD⊥PB时，求点D到平面PAB的距离；

(2)若BC=CD，点E是线段PA上一动点，平面PAC与平面CDE夹角的正弦值为28519，求DE的长．18.(本小题17分)

如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过△ABC内一点M的直线l与直线AB交于D，记BA与DM夹角为θ．

(1)已知sin2A+sin2C−2sinAsinC=sin2B，

(i)若H为△ABC的垂心，BH⋅BC=2c2.求ac的值；

(ii)M为19.(本小题17分)

已知两个非零向量m，n，在空间任取一点0，作OM=m，ON=n，则∠MON叫做向量m，n的夹角，记作m,n，定义m与n的“向量积”为：m×n是一个向量，它与向量m，n都垂直，它的模|m×n|=|m|⋅|n|sinm,n，如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=2，点E为线段AD上一动点，|AD×BP|=4

参考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.B

6.D

7.C

8.D

9.ABC

10.ACD

11.ABC

12.5313.−114.2

15.(1)证明：

以点A为原点建立空间直角坐标系：

有B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．

由E为棱PC的中点，E(1,1,1)．

AB⊂平面ABCD，因此AB⊥PA，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，因此AB⊥平面PAD，

因此向量AB=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，而BE⋅AB=0，

因此BE⊥AB，又BE⊄平面PAD，因此BE//平面PAD．

(2)证明：设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，PD=(0,2,−2),DC=(2,0,0)

则n⋅PD=0n⋅DC=0，因此2y−2z=02x=0，

不妨令y=1，可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量．

设平面PBC的法向量m=(x,y,z)，PB=(1,0,−2)，BC=(1,2,0)，

则m⋅PB=0m⋅BC16.(1)(0.01×2+0.02×2+a)×10=1，解得a=0.04，

样本数据的平均数为25×0.1+35×0.1+0.2×45+0.4×55+0.2×65=50；

(2)[20,30)与[60,70]两组的频率之比为1：2，

现从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，

则[20,30)组抽取2人，记为A，B，[60,70]组抽取4人，记为C，D，E，F，

(i)所有可能的情况为(A,B)，(A,C)，A，D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，

(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)，共15种，

(ii)事件G发生的概率P(G)=1−117.(1)∵PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴CD⊥PC，

又∵CD⊥PB，PC∩PB=P，PC，PB⊂平面PBC，

∴CD⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，

∴CD⊥BC，

又AC是圆柱的底面直径，则AB⊥BC，

∴CD//AB，

∴AB⊥平面PBC，

又∵CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴CD//平面PAB，

∴点D到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离，过点C作CF⊥PB于点F，

∵AB⊥平面PBC，CF⊂平面PBC，

∴AB⊥CF，

∵AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PAB，

∴CF⊥平面PAB，

∵AB⊥平面PBC，

∴BC就是直线AC在平面PBC内的射影，

∴∠ACB就是直线AC与平面PBC所成的角，

∴∠ACB=60°，

∵PC=AC=2，

∴BC=1，BP=5，

∴CF=2×15=255，

∴点D到平面PAB的距离为255．

(2)由已知AD⊥DC，以D为坐标原点，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴，

过点D且与CP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

由BC=CD=1，得P(1,0,2)，A(0,3,0)，C(1,0,0)，D(0,0,0)，

DC=(1,0,0)，AC=(1,−3,0)，CP=(0,0,2)，PA=(−1,3,−2)，

设PE=λPA(0≤λ≤1)，PE=(−λ,3λ,−2λ)，

∴E(1−λ,3λ,2−2λ)，DE=(1−λ,3λ,2−2λ)，

设平面PAC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，

则m⋅AC=0m⋅CP=0，即x1−3y1=02z1=0，

令x118.(1)(i)由sin2A+sin2C−2sinAsinC=sin2B，

结合正弦定理角化边可得：a2+c2−2ac=b2，

所以cosB=a2+b2−c22ab=22，

由B为三角形内角，所以B=π4，

又H为△ABC的垂心，所以AH⋅BC=0，

所以BH⋅BC=(BA+AH)⋅BC=BA⋅BC=22ac=2c2，

所以ac=22；

(ii)因为b=c=1，由(i)可知B=C=π4,A=π2，

由M为△ABC的重心，得AM=13(AB19.(1)因为底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，

所以AD//BC，BC⊥DC，

又BC⊂底面ABCD，

所以PD⊥BC，

又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PDC，

所以BC⊥平面PDC，

又PC⊂平面PDC，

所以BC⊥PC，

所以∠PBC为直线AD与PB所成的角，

即<AD,BP>=∠PBC，

设AB=x(x>0)，

则PC=x2+4，PB=x2+4+22=x2+8，

在Rt△PBC中sin∠PBC=PCPB=x2+4x2+8，

又|AD×BP|=45，

所以2x2+8⋅x2+4x2+8=45，

解得x=4(负值已舍去)，

所以AB=4．

(2)依题意(AD×BP)⊥AD，(AD×BP)⊥BP，

又AD×BP=λEM，

所以EM⊥AD，EM⊥BP，

又AD//BC，

所以EM⊥