专题01全等三角形的九大模型及两大构造方法专项训练数学浙教版2024八年级上学期

型应角相等；@通过公共边、型等的角的顶点，<1=等AP平分<BAC，△ABD≥△ACD，得到角平分线模型等．利用对称性把一型明△POE≌△QOFAE，F是BC的中点方法：倍长中线AF2AFAE，AF⊥BC方法：作DM⊥AF，EN⊥AF结论：G是AE，F是BC的中点方法：倍长中线AF2AFAE，AF⊥BC方法：作DM⊥AF，EN⊥AF结论：G是法法AD∥CB，AD=CB，求证：△ADF≌△CBE．3．如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，连接BD交AC于点F．5．如图，△ABC中，上BAC=90°,AB=AC，将△ABC刚好落在边AC上，AG平分ÐBAC交DE于点G，连接FG．若CE=AG，则6．如图，△ABC中，AF丄BC于点F，将AF沿AC翻折至AE，连接EC并延长，在射线沿AM翻折，点D恰好落在AB上的点N处．求AB的长．(1)如图1，点D,E在BC边上，∠DAE=45°,判断线段BD,DE,EC组成的三角形的形状：△ABD沿直线AD翻折，得到△ADF，连接EF，利用三角形全等把线段EC进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段BD,DE,EC组成的三角形的形状；9．如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，连接EC，若存在实数k，使得为定值a，则k和a分别是()(1)求证：AD=BE；在同一直线上，CM丄DE于点M，连接BE．试判断线段DM，AE，BE△DFC为直角三角形．E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且求证：EF＝BE-FD．如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的上EAF=45°,AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点，易证得EF=BE+FD．证明思路：如图2，将延长CB至点H，使BH=DF，连接AH，可证△ADF≌△ABH，再证△AEF≌△AEH，故EF=BE+DF．【知识应用】的上EAF=60°,AE，AF与BC，CD边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说【拓展提升】（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，点E为CD中点且AE平分上DAM，如图4，试判断AM，AD和MC之间的数量关系并给出证明．为顶点作上MDN=60°,点M、N分别在AB、AC上．（1）如图①,当MN//BC时，则△AMN的周长为______；（2）如图@，求证：BM+NC=MN．合连接AD并延长到点E，使得DE=AD，连接BE，过点B作BE的垂线交直线AC于点F．@判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明．(2)如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；20．如图①,在△ABC中，上ACB=90°,AC=BC，过点C在△ABC外作直线(1)试说明：MN=AM＋BN；请问（1）中的结论DE=AD＋BE是否还成立？请说明理由.交BF的延长线于点D，试说明：BF=2CD．(1)根据给出的线段AB及<B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的（1）观察分析:延长BE，CA，交于点F．可证明△_≌△,依据是；（2）类比探究:如图②,在△ABC中，AB=AC，<BAC=90°,点D在线段BC上，交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为()26．如图，在△ABC中，AD平分ÐBAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动27．已知：AD是△ABC的角平分线，且ADTBC例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分7BAC，CD丄AD，连接BD，若△ABD的解：如图2，过点B作BH丄CD交CD延长线于点H，CH、AB交于点E，QAD平分ÐBAC，:△ADE≌△ADC（依据1）:ED=CD（依据2S△ADE=S△ADC，是△ABC的中线，延长AO到点F，使得BFⅡAC，连接EF，EF交BC于点G，AF交BE于点H，交BD于点M．30．已知：如图，ABⅡCD，AB=CD，点E、F在AD上，且满足AF=DE．的平分线交于点C．（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合交PQ于点E,①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；@若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED=DF，求证：①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；@如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延【类比分析】如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交【学以致用】的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于出线段AE，CN和BC之间的数量关系．33．如图，在△ABC中，分别以AB和AC为边作△ABE和△ACD，AB=AE，AC=AD，连接DE，延长CA交DE于F．若上ACB=上BAE=上CAD=作等腰直角△ACE、△BCD，连接DE交BC的延长线于F，则△CEF的面积为．F．(2)猜想线段AF、BC的数量关系并证明．36．如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB=AE，②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED=2AM；③如图3中，若AM丄BC，则MA的延长线平分EAF，求证：2AF=CE．37．在四边形ABCD中，AB=AD，ÐABC与ÐADC互补，点E、F分别在射线CB、DC39．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作上MDN，交边AC、BC于M、N．件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明)线CD于点F．(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线41．如图，△ABC中，D为BC的中点，点E为BA延长线上一点，DF丄DE交射线AC于点F，连接EF，则BE+CF与EF的大小关系为()△DFC为直角三角形．11）见解析2）成立，见解析:AE-FE=CF-EF，:AF=CE，:△ADF≌△CBE(SAS)；∵AD∥CB，:△ADF≌△CBE(SAS)；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边21）△AA′E≥△C′CF；△A′DF≥△CBE2）见解析.【详解】解1）由图可得，①△AA′E≥△C′CF；②△A′DF≥△CBE；:△AA′E≥△C′CF（ASA:△AFB≌△CFD．:BF=FD，:2<BD<16，:2<2BF<16，:1<BF<8．41）120°2）27．（2）由平移可得AD=BE，△ABC≌△DEF，根据已知数据分别计算出AD,BE,EF，即:AD//BC，△ABC≌△DEF，:△DEF是等边三角形,QAD//BC，:△DEF是等边三角形，:DF=EF=BC=6，:AG平分7BAC，又:CE=AG，:EF=EG，故答案为：67.5°.:AFTBC，:△ABF≌△ADE，AD=AN，MD=MN，根据中点可得MC=MN，根据全等三角形的判定和性质可证△BCM≌△BNM(HL)，BC=BN，由【详解】证明：将△ADM沿AM翻折，点D恰好落在AB上的点N处，:△ADM≌△ANM，:MN丄AB，:点M是CD的中点，:MD=MC，:MN=MC，在Rt△BCM，Rt△BNM中，ìBM=BMìBM=BM:Rt△BCM≌Rt△BNM(HL)，:AB=AN+BN，8．(1)线段BD,DE,EC组成的三角形是直角三角形，证明见详解(2)线段BD,DE,EC组成的三角形是直角三角形，证明见详解将△ABD沿AD折叠，得△ADF，连接EF，:AF=AC，:上4=45°-上1，:VAEF≌VAEC(SAS)，:上DFE=45°+45°=90°,:线段BD,DE,EC组成的三角形是直角三角形．（2）解：线段BD,DE,EC组成的三角形是直角三角形，将△AEC沿直线AE翻折，得到△AEC¢,将△ABD沿直线AD翻折，得到VAB¢D，:线段BD,DE,EC组成的三角形是直角三角形．【分析】在BC上截取CG=CF，连接F【详解】解：如图，在BC上截取CG=CF，连接FG，:CF=CG=AB=BC，22:△FCG是等边三角形，:DG=EC，:CF+EC=CD，【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据SAS在△ABD和△ACD中，:△ACD≌△ABE(SAS)，:上ACD=45°,:BE=6，:CD=6，（3）同（1）易证△ACD≌△BCE(SAS)，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性:△ACD≌△BCE(SAS)，:AD=BE；∵VACD≌VBCE，o:∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCDïï:△ACD≌△BCE(SAS)，:AD=BE，:DE=2DM，AF，先证△DFC≌△DGC(SAS)，再证△BDE≌△CGE(SAS)，最后证△ABD≌△ACF(SAS)，得QDF=2DE，:DF=DG，ïï:△DFC≌△DGC(SAS)，QE是BC中点，:BE=CE，在△BDE和△CGE中，:△BDE≌△CGE(SAS)，:BD=CF，:上ABD=上ACF，在△ABD和△ACF中，ïìAB=ACï:△ABD≌△ACF(SAS)，:上ADF=40。，:上ADB=360°-上BDC-上FDC-=360°-140°-90°-40°故答案为：130°或90°.【分析】将VADE关于AE对称得到△AFE，从而可得△AFE的面积为15，再根据对称的性于△AFE与△CEF的面积之和即可得．【详解】解：如图，将VADE关于AE对称得到△AFE，:△ACF三△ABD(SAS)，:S△CEF=CE.CF=，【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≥△ADF得到AG==EF，那么EF＝GE＝BE-BG＝BE-DF．【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF:△ABG≥△ADF（SAS:△AEG≥△AEF（SAS:EG＝EF，∵EG＝BE-BG:EF＝BE-FD．151）成立，见详解2）AM=AD+MC，见详解【详解】解1）成立．证明：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120。得到△ABM:△ABM≌△ADF，:M，B，E三点共线．:△MAE≌△FAE(SAS)，:ME=EF，:EF=ME=MB+BE=DF+BE；证明：延长AE，BC交于点P，如图：:ADⅡBC，:MA=MP，ïï:△ADE≌△PCE(AAS)．:AD=PC，161）42）见解析（2）延长AC至点E，使得CE=BM，连接DE，首先证明△BDM≌△CDE，再证明【详解】解1）∵VABC是等边三角形，MN//BC，:△AMN是等边三角形，:AM=AN，则BM=NC，在△BDM和△CDN中，ïï:△BDM≌△CDN(SAS)，:DM=DN，上BDM=上CDN，（2）如图，延长AC至点E，使得CE=BM，连接DE，:△BDM≌△CDE(SAS)，在△MDN和△EDN中，:△MDN≌△EDN(SAS)．:MN=NE，:BM+NC=MN．握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形:CD=DG，AC=EG，:EG=BC，:CF=BG，:CD=DG，AC=EG，:EG=BC，:CF=BG，形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角又∵AB=AC，:△ABE≌△CAF(ASA)，:S△ACD=2S△ABD，:S△CFD=S△ACD-S△CAF=14-5=9．:上ADB=上DEC，:△ABD≌△DCE(AAS)；:上DAC=上AED，:VADE是等腰三角形；:上ADC=100°,:上DAC=40°,:上DAC=上ADE，:VADE的形状是等腰三角形．(2)DE=AD＋BE成立，见解析（1）先证明△ACM≌△CBN，再根据全等三角形的性质得出AM=CN，BN=CM，从而根据MN=CM+CN，可得MN=AM＋BN；（3）先证明△AED≌△BDF，再根据全等三角形的性质得出AE=DB，AD=BF，根据:上AMC=上BNC=90°:上MAC+上ACM=90°:上MAC=上BCN，又AC=BC，:△ACM≌△CBN(AAS)，:AM=CN，BN=CM，:△ACD≌△CBE(AAS)，:△AED≌△BDF(AAS)，:AE=DB，AD=BF，,见解析2）△BEG是等腰直角三角形，见解析22.5°,于是<EGB＝<GAB+<GBA＝45°,可证明△BEG是等腰直角三角形．如图，延长BE、AC交于点H，:△BAE≥△HAE（ASA:<BCH＝180°-<ACB＝90°=<ACD，:<CBH＝90°-<H＝<CAD，:△BCH≥△ACD（ASA:BH＝AD，:CF⊥AB，:AG＝BG，:EG＝EB，:△BEG是等腰直角三角形．角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常【分析】解法一：延长AB、CD相交于点E，根据角平分线性质得到ÐCBD=ÐABF，证明△BDC≌△BDE(ASA)，得到，再证明△ABF≌△ACE(ASA)，得到BF=CE，即可证明BF=2CD；解法二：作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE=BE=EF，由BD平分ÐABC就可以得出上ABE=上DBC=22.5°,从而可以得出【详解】解法一：解：延长AB、CD相交于点E，:△BDC≌△BDE(ASA)，:BC=AE，CD=DE，在△ABF和△ACE中，:△ABF≌△ACE(ASA)，:BF=CE，:BF=2CD；解：取BF的中点E，连接AE、AD，:AE=BE=EF，:AE=AD，在△ABE与△ADC中，:△ABE≌△ADC，:BE=CD，:BF=2CD．解法一：如图，在AC上截取一点D，使得CD=解法二：如图，延长CB至点D，使CB:△ABC≌△ABD(SAS)．:AC=AD．:△ACD是等边三角形．:AC=CD．241）ABF，ACD，ASA，BF＝CD2）证明见解析:△BCF为等腰三角形，:BF=2BE:在△ABF和△ACD中:△ABF≌△ACD:CD=BF=2BE），H:BH=DH:DE平分上BDG:△BDG为等腰三角形结合（1）的证明方法，可证△BHG≌△D:BG＝FD．【分析】在BC上截取BH=BE，连接OH，先证出△BOE≌△BOH，根据全等三角形的性【详解】解：如图，在BC上截取BH=BE，连接OH，:BD平分ÐABC，CE平分ACB，ïìBE=BHï:VABC周长为20，:AB+AC+BC=20，:AB+AC=20-BC，:AE+AD:AE:AD=4:3，解得：AE=，【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角平分线全等模在AC上取一点N¢,使AN¢=AN，连接MN¢,过点B作BE丄AC于E，易得E，QAM=AM，:△ANM≌△AN¢M(ASA)，:MN=MN¢,【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义.（1）用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；在△ABD和△ACD中，ïï:AB=AC；ïï:△BAG≌△CAE(ASA)，:AG=AE，:△FAG≌△FAE(ASA)，:上AFG=上AFC；②过F作FK丄AG于K，如图：:S△CAE:S△ACF=2:3，:S△FAE:S△ACF=1:3，:S△FAG:S△ACF=1:3，:AG:AC=1:3，对应边相等；任务二：见解析；应用：12应用：延长CE、BA交于点F，先推出△FBE≌△CBE(ASA任务二：……:S△BDE=S△BDC，:S△ADE+S△BDE=S△ADC+S△BDC，:S△ABC=2S△ABD=20；应用：延长CE、BA交于点F，:上ABD=上CBD，:△FBE≌△CBE(ASA)，:EF=CE=6，:上ABD=上ACF，在△ABD和△ACF中，QBE平分ÐABC，ïíAB=ACïíAB=AC:△ABD≌△ACF(ASA)，:BD=CF=12．和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全:BD是AE的垂直平分线，:BE=BA，:BFⅡAC，:BF=CA，:EF丄BC．(2)△ABE、△BOE、VCDF、△COFAO=DO，BO=CO，证明△BOE≌△COF(SAS)，则BE=CF；【详解】（1）证明：:ABⅡCD，又:AB=CD，:△ABO≌△DCO(ASA)，:OE=OF，:△BOE≌△COF(SAS)，:BE=CF；:△ABE、△BOE、VCDF、△COF的面积为△COD面积一半．311）见解析2）见解析3）BE=AD+AB(2)①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≥△FCE,即可得AD+BE=AB;②方法与①相同．【详解】解1）:MNⅡPQ:<NAB+<ABQ=180°在△ABC中，:<BAC+<ABC+<C=180°:<C=180°-(<BAC+<ABC)=180°-90°=90°（2）①延长AC交PQ于点F:<ACB=<FCB=90°:BC平分<ABF:<ABC=<FBC:BC=BC:△ABC≥△FBC:AC=CF，AB=BF:<DAC=<EFC:△ACD≥△FCE:AD=EF:AB=BF=BE+EF=BE+AD:∠BAF=∠FAN:∠BAF=∠AFB:AB=FB:C是AF的中点:AC=FC在△ACD与△FCE中:AD=EF:AD+AB=BE321）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析2）∠M=∠BAD，根据等腰三角形判定得出CM=CN，即可证明结论；ÐM=ÐBED，证明ÐCNM=ÐM，得出CN=CM，根据直角三角形性质得出AB=BC，根据BE-AE=AB=BC，即可证明结论．:△BDE≌△MDF(SAS)，:FM=BE，∠E=∠DFM，:ÐABC=ÐC，:FM=FC，:BE=CF；②∵EM∥AC，∵DE=DF，ÐMDE=ÐCDF，:CF=EM，:ÐABC=ÐC，:∠EMB=∠MBE，:BE=ME，:BE=CF；（2）延长AD，取DM=AD，连接CM，如图所示：:BD=CD，:△ADB≌△CDM(SAS)，:AB=CM，∠M=∠BAD，:∠CNM=∠EAD，:ÐCNM=ÐM，:CM=CN，:AB=CN；:△CDM≌△BDE(SAS)，:CM=BE，ÐM=ÐBED，:CMⅡBE，:AF平分ÐBAC，:ED∥AF，:∠CNM=∠CAF=45°,:∠M=180°-∠CNM-∠ACM=45°,:ÐCNM=ÐM，:CN=CM，:CN=BE，【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定过点E作EG^AF交AF延长线于点G，首先证明出△ABC≌△EAG(AAS)，得到EG=AC，【详解】如图所示，过点E作EG^AF交AF延长线于点G:△ABC≌△EAG(AAS):EG=AC，AG=BC:AC=AD:EG=AD积公式即可求出△CEF的面积．【详解】解：如图，作EH丄CF交CF的延长线于点H．:ΔCEH≥ΔACB(AAS),:EH=DC．:ΔEHF≥ΔDCF(AAS),（2）解：BC=2AF．:△AGD≌△BCA(AAS)，:DG=AC；AG=BC，在△AEF和△GDF中，:△AEF≌△GDF(AAS)，:BC=2AF．(1)①如图，由“AAS”可证△ADH≌△ACP，得CP=DH，由三角形的面积公式可求解，②如图，延长AM至N，使得MN=AM，连接BN，由“SAS”可证△BMN≌△CMA，得BN=AC，ÐCAM=ÐBNM，由“SAS”可论；③如图，过点E作EP丄MN，交MN的延长线于P，过点D作DQ丄MN于Q，先证AM=EP，AM=DQ，可得EP=DQ，由“AAS”可证△EPN≌△DQN，进而即可得证；(2)延长AF至K，使FK=AF，连接DK，由“SAS”可证△AFB≌△KFD，可得AB=KD，ÐABD=ÐBDK，由“SAS”可证△ADK≌△EAC，CE=AK，进而可得结论．【详解】（1）解：如图，过点D作DH丄AE于H，过点C作P，:ÐEAP=90°=ÐDAC:ÐDAH=ÐCAP，:△ADH≌△ACP(AAS)，:CP=DH，:S△ABC=S△ADE；如图，延长AM至N，使得MN=AM，连接BN，QAM是边BC上的中线，:BM=CM，QÐAMC=ÐBMN，AM=MN，:△BMN≌△CMA(SAS)，:BN=AC，ÐCAM=ÐBNM，:ACⅡBN，:ÐABN=ÐEAD，:BN=AD，ïïííÐABN=ÐEAD，:△ABN≌△EAD(SAS)，:AN=DE，QMN=AM，:DE=AN=2AM，如图，过点E作EP丄MN，交MN的延长线于P，过点D作DQ丄MN于Q，:ÐEPA=ÐDQA=90°=ÐEAB=ÐAMB，:ÐEAP=ÐABM，QAB=AE，:△ABM≌△EAP(AAS)，:AM=EP，同理可证AM=DQ，:EP=DQ，QÐENP=ÐDNQ，ÐEPN=ÐDQN=90°,:△EPN≌△DQN(AAS)，:EN=DN，:MA的延长线平分ED于点N；（2）如图，延长AF至K，使FK=AF，连接DK，:DF=BF，QAF=FK，ÐAFB=ÐDFK，:△AFB≌△KFD(SAS)，:AB=KD，ÐABD=ÐBDK，:AB=AC=DK，:ÐDAB+ÐADK=180°,:ÐCAE=ÐADK，QAD=AE，DK=AC，:△ADK≌△EAC(SAS)，:CE=AK，:2AF=CE．【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是在DF上截取DG=BE，先证△ADG≌△ABE:ÐD=ÐABE，在△ADG与△ABE中:AG=AE，ÐEAB=ÐDAG，在△AFG与△AEF中:EF=FG．等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．证明AT=DK，【详解】解：在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．:EB=ET，:△AET≌△DCK(SAS)，:DB=DK，:BD=AT，:AD=BT，:AD=，(3)BN-AM=MN（3）在CB上截取BE=AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出上DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出M证明：延长CB到E，使BE=AM，在△DAM和△DBE中，ììAM=BEïï:△DAM≌△DBE，:上BDE=上MDA，DM=DE，:上ADM=上NDC，:上BDE=上NDC，在△MDN和△EDN中，ïìDM=DEï:△MDN≌△EDN，:MN=NE，:AM+BN=MN；（2）解：AM+BN=MN，证明：延长CB到E，使BE=AM，连接DE，在△DAM和△DBE中，ïìAM=BEï:△DAM≌△DBE，在△MDN和△EDN中，ìDM=DEìDM=DE:△MDN≌△EDN，:MN=NE，:AM+BN=MN；（3）解：BN-AM=MN，证明：在CB上截取BE=AM，连接DE，ïìAM=BEï:△DAM≌△DBE，在△MDN和△EDN中，:△MDN≌△EDN，:MN=NE，QNE=BN-BE