2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【01-暑假复习】第09讲 立体几何中线线角、线面角、二面角问题全归纳（思维导图+知识串讲+8大考点+复习提升）（教师版）

第09讲立体几何中线线角、线面角、二面角问题全归纳

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点01线线角的定义与求解

一、线线角主要是求异面直线所成角。

1、线线角的定义：

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a//a，b//b，把a与b所成的锐角或直角叫

做异面直线a,b所成的角(或夹角)

1

②范围：0,

2

2、求异面直线所成角一般步骤：

（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．

（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是0,，

2

所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．

3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

①平行四边形平移法；

②中位线平移法；

③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

知识点02线面角的定义与求解

1、直线与平面所成角的定义

如图，一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平

面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜

线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成

的角.

2、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确

定垂足O；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

2

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。

ℎ

𝑠𝑖=��ℎ�

知识点03二面角

1、二面角的定义

①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.

②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角

-l-，如图(1).

②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这

个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

3、二面角的平面角

①自然语言

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和

OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

②图形语言

③符号语言

∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，

规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.

3

知识点04求二面角的一般方法

1、定义法

利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射

线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对

角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法.

2、三垂线法

1.方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜

足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

2.具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足

为O，连接AO，则∠�AOB就是二面角的平面角�。

3、射影面积法

（1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为射影，

射影�

平面和平面所成的二面角的大小为，则.

�

这个方法对于无棱二面角的求解很简便。𝐶𝑖=�

（2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。

A

A'

BDC

证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△A'BC，作ADBC于D，连结AD.

AA'于A'，D，

AD在内的射影为A'D.

又ADBC,BC，

A'DBC（三垂线定理的逆定理）.

ADA'为二面角—BC—的平面角.

4

11

设△ABC和△A'BC的面积分别为S和S'，ADA'，则SBCAD,S'BCA'D.

22

1'

'BCAD'

ADS

cos2.

AD1S

BCAD

2

4、补形法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助

前述的定义法与三垂线法解题．

【考点一：利用平行四边形平移求线线角】

一、单选题

1．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与AB1所成的角为（）

A．30oB．45C．60oD．90

【答案】C

【分析】做出平行线，找到异面直线所成角的平面角，即可求解.

【详解】

如图所示，不妨设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.

因为AD//B1C1，ADB1C1，所以四边形ADC1B1为平行四边形，

所以AB1//DC1，所以A1DC1（或其补角）为异面直线A1D与AB1所成的角.

△

在A1DC1中，A1C1C1DA1D2，

△

所以A1DC1为等边三角形，则A1DC160，

因此，异面直线A1D与AB1所成的角为60.

故选：C.

2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1,AB12AB,M为A1C1的中点，则AM

与BC1所成角的余弦值为（）

5

1065

A．1B．C．D．

4410

【答案】B

【分析】取AC的中点D，则BC1D（或其补角）为异面直线AM与BC1所成角，解三角形即可求解.

【详解】如图，取AC的中点D，连接DC1、BD，易知AM∥DC1，

所以异面直线AM与BC1所成角就是直线DC1与直线BC1所成的角，即BC1D（或其补角），

由题意可知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，

可设三棱柱的棱长都为2，则DC15，BD3，BC122，

222

因为BC1DC1BD，所以BDC1为直角三角形，

DC110

所以cosBC1D

BC14

10

即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为.

4

故选：B.

3．（24-25高一下·天津和平·期中）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）

315103

A．B．C．D．

2553

【答案】C

【分析】将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，因为AD1//BC1，所以B1AD1或其补角即

为异面直线AB1与BC1所成的角，在AB1D1中，运用余弦定理即可求解.

6

【详解】如图所示，过点C作DC//AB且DCAB，同理过点C1作D1C1//A1B1且D1C1A1B1，

将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1和B1D1，

因为AD1//BC1，所以B1AD1或其补角即为异面直线AB1与BC1所成的角.

因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB15，AD12，

在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，

22，

B1D112212cos603

222

B1AAD1B1D152310

所以，在AB1D1中，cosB1AD1，

2B1AAD12525

故选：C.

4．（24-25高一下·浙江·期中）在正方体ABCDABCD中，P、M分别是BD、DD的中点，则直线AM

与BP所成角的余弦值为（）

83043023030

A．B．C．D．

15151515

【答案】C

【分析】取CC中点N，连接BN，MN，NP，利用正方体的性质得AM//BN，则NBP或其补角即为所

求的异面直线AM与BP所成角，在△NBP中，由余弦定理求解即可.

【详解】如图：

取CC中点N，连接BN，MN，NP，PC，

由正方体可知AB//MN，AB=MN，所以四边形ABNM为平行四边形，所以AM//BN，

则异面直线AM与BP所成角即为直线BN与BP所成角，

即NBP或其补角即为所求，设AB2，则BN5，BP426，

由正方体可知，CC平面ABCD，PC平面ABCD，

7

即CCPC，则PN123，

BP2BN2PN2563230

在△NBP中，由余弦定理cosNBP，

2BPBN26515

230

即直线AM与BP所成角的余弦值为.

15

故选：C.

5．（24-25高一下·黑龙江·月考）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM

所成角的余弦值为（）

1326

A．B．C．D．

3333

【答案】C

【分析】将正四面体ABCD中置于正方体中，分析易得NE∥CM，可得ANE为直线AN与CM所成角（或

补角），进而结合余弦定理求解即可.

【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图，

易得CN//ME，CNME，

所以四边形CNEM为平行四边形，则NE∥CM，

则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角，

即ANE为直线AN与CM所成角（或补角），

设正方体的棱长为2，则AEDE2,DN2，ANNE6，

AN2NE2AE26642

在ANE中，由余弦定理可得，cosANE，

2ANNE2663

2

因此直线AN与CM所成角的余弦值为.

3

故选：C.

【考点二：利用中位线平移求线线角】

一、单选题

1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在正三棱锥PABC中，AB4，PA6，D是BC的中点，则异面直

线AD与PB所成角的余弦值是（）

8

3366

A．B．C．D．

9393

【答案】A

【分析】作出辅助线，得到ADE或其补角是直线AD与PB所成的角，求出各边长，利用余弦定理求出答

案..

【详解】取棱PC的中点E，连接AE，DE，

因为D是BC的中点，所以DE//PB，AD⊥BC，

则ADE或其补角是直线AD与PB所成的角，.

1

由题中数据可知PE3，DEPB3，BD2，

2

由勾股定理得ADAB2BD223，

PA2PC2AC26262427

在△APC中，由余弦定理可得cosAPC，

2PAPC2669

7

则AEAP2PE22APPEcosAPC36926317，

9

AD2DE2AE2129173

故cosADE.

2ADDE22339

故选：A

2．（24-25高一上·吉林·期末）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AC,A1B的中点，异面直

线MN与DD1所成角为（）

9

πππ5π

A．B．C．D．

64312

【答案】B

【分析】连结A1D，BD，根据题中条件，得到异面直线MN与DD1所成角即为直线A1D与DD1所成角，进

而可求出结果.

【详解】

连结A1D，BD，因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AC,A1B的中点，

所以MNA1D，

因此，异面直线MN与DD1所成角即为直线A1D与DD1所成角，即A1DD1，显然为45.

故选：B

3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知棱长都为4的四棱锥PABCD，底面ABCD是矩形，E为AD

的中点，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（）

3522

A．B．C．D．

41046

【答案】B

【分析】根据平行关系构造异面直线所成角，再结合余弦定理，即可求解.

【详解】如图所示，分别取BC，PB的中点F，G，连接DF，FG，DG．

因为E为AD的中点，四边形ABCD是矩形，所以DE//BF,DEBF，

所以BFDE为平行四边形，所以DF∥BE，FG∥PC，

10

所以DFG是异面直线PC与BE所成的角或其补角．

因为四棱锥PABCD的棱长都为4，所以DFBE25，FG2，DG25，

22

2

DF2FG2DG2252255

所以cosDFG，

2DFFG225210

5

所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为.

10

故选：B

4．（23-24高一下·山东德州·月考）已知正四棱锥PABCD的所有棱长均为4,E为棱PA的中点，则异面直

线BE与PC所成角的余弦值为（）

6633

A．B．C．D．

3333

【答案】C

【分析】根据题中条件连接AC，取AC的中点O，连接BO,EO，作出异面直线所成角或补角，利用余弦

定理求解即可.

【详解】连接AC，取AC的中点O，连接BO,EO，

由题意可得EO//PC，则异面直线BE与PC所成角为BEO或其补角，

在△BOE中，EO1,OB2,BE3，

BE2EO2BO23123

则cosBEO，

2BEEO233

3

则异面直线BE与PC所成角的余弦值为.

3

故选：C

5．（23-24高一下·广西河池·期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，

则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（）

11

3131313313

A．B．C．D．

26132613

【答案】A

【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则CEF为异面直线EC与BD所成角或

其补角，利用余弦定理求解即可.

【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，

则CEF为异面直线EC与BD所成角或其补角，

不妨设AB4，易得EF3，

CFCEDC2DE22DCDEcosCDE13，

EC2EF2CF2313

在△CEF中，由余弦定理得cosCEF，

2ECEF26

313

所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．

26

故选：A．

6．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷ABCDA1B1C1D1中，

282与

AB2A1B14，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AA1EF所成角的余弦值为（）

3

12

1232

A．B．C．D．

2322

【答案】D

【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角

所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案.

【详解】连接AC,A1C1,A1B,A1D，过A1作A1O平面ABCD，其中垂足为O，连接OD,OB，如下图：

在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，易知A1ABA1AD，ABAD，

则A1ABA1AD，所以A1BA1D，

因为A1O平面ABCD，OB,OD平面ABCD，所以A1OOB，A1OOD，

易知RtA1OBRtA1OD，所以OBOD，

因为AOAO，ABAD，所以△AOB△AOD，则DAOBAO45，

故OAC，

因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EF//AC，

则异面直线AA1与EF的夹角为A1AC，

因为A1O平面ABCD，AC平面ABCD，所以A1OAC，

在正方形ABCD中，AC2AB42，同理可得A1C122，

1

在等腰梯形AACC中，易知AOACAC2，

11211

在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上下底面面积分别为S14，S216，

1

正四棱台的体积，

ABCDA1B1C1D1VA1OS1S2S1S2

3

则2821，解得

A1O416416A1O2

33

AO2

在△中，22，

RtA1AOAA1AOA1O2cosA1AO.

AA12

故选：D.

【考点三：补形法求线线角】

一、填空题

1．（2024高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ACBC3，ACB90，

13

点D是线段AA1上靠近A1的三等分点，则直线C1D与B1C所成角的余弦值为.

51

【答案】/5

1010

【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可.

【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体.

如图所示.取NM的三等分点D1，连接B1D1，根据正方体性质，知道B1D1//C1D.

则CB1D1为直线C1D与B1C所成角或补角.

连接CD1，CM.根据正方体性质，知道MD1CM．

CMBM2CB2323232，

2222，

CD1D1MCM2(32)22

2222，

CB1BCBB13332

2222，

D1B1ND1NB11310

222

△D1B1CB1CD110182265

在D1B1C中，由余弦定理可得，cosD1B1C，

2D1B1CB12103212510

5

则直线C1D与B1C所成角的余弦值为.

10

5

故答案为：.

10

2．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）在三棱锥PAOB中，PB2OA4,PA平面AOB,OAOB,POA45，

则AB与PO所成的角的余弦值为．

61

【答案】/6

66

【分析】根据异面直线所成角的定义，将AB与PO所成的角转化为平面交，根据余弦定理，即可求解.

14

【详解】过点O作OC//AB，且OCAB，连接AC,PC，四边形ACOB是平行四边形，

所以AB与PO所成的角为POC或其补角，

因为PA平面AOB，AO,AB平面AOB，所以PAAO，PAAB，

又POA45，且OA2，所以PA2，PO22，

又PB4，所以ABPB2PA2422223，

则OC23，又OAOB，ACOBAB2OA212422，

PAAC，所以PCPA2AC24823,

PO2OC2PC2812126

△POC中，cosPOC

2POOC222236

故答案为：6

6

3．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥ABCD中，ABAC1，ABAC，AD2，AD

平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为.

2

【答案】

3

【分析】利用线面垂直的性质定理，给合题设条件推得AD,AB,AC两两垂直，从而将三棱锥ABCD置于

一个长方体中，再利用异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解.

【详解】因为AD平面ABC，AB平面ABC，，AC平面ABC，

所以ADAB，ADAC，又ABAC，

所以AD,AB,AC两两垂直，将三棱锥ABCD置于一个长方体中，如图所示，

15

易知BF//AD，所以直线BE与AD所成角即为BF与BE所成角为FBE（或其补角），

2

由题意可知，2213，

BF2，BEFE11

22

22

233

2222

BFBEFE222

在FBE中，由余弦定理，得cosFBE，

3

2BFBE223

2

2

所以直线BE与AD所成角的余弦值为.

3

2

故答案为：.

3

【考点四：求线面角（定义法和等积法）】

一、单选题

1．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，ABC60，

2AA13AB，E是棱A1D1的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的余弦值是（）

7313

A．B．C．D．

4422

【答案】A

【分析】取棱AD的中点F，证EF平面ABCD，得出EBF是直线BE与平面ABCD所成的角，结合解

三角形的知识即可得解.

【详解】

取棱AD的中点F，连接BF，EF，又E是棱A1D1的中点，所以EF//AA1，

因为AA平面ABCD，所以EF平面ABCD，则EBF是直线BE与平面ABCD所成的角.

16

设AB2，则EFAA13，AF1，BAF120.

在ABF中，由余弦定理可得BFAB2AF22ABAFcosBAF7，

BF7

则BEBF2EF24，所以cosEBF.

BE4

故选：A

2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥CPAB中，若PAPB，APCBPC60，PC2,PAPB，

则直线PC与平面PAB所成角的正弦值是（）

1236

A．B．C．D．

2233

【答案】B

【分析】过点C作CG平面PAB于G，在平面PAB内过G作GHPA，GEPB，垂足分别为H，E，

连接CH，CE，可得CPG为直线PC与平面PAB所成的角，进而结合题设求角即可.

【详解】过点C作CG平面PAB于G，在平面PAB内过G作GHPA，GEPB，

垂足分别为H，E，连接CH，CE，

则CPG为直线PC与平面PAB所成的角，

由CG平面PAB，PA,PG平面PAB，所以CG^PA，CGPG，

又GHPA，CGGHG，GH，CG平面CHG，则PA平面CHG，

因为CH平面CHG，则PACH，

同理可得PBCE，由APCBPC60，

1

得PEPHPC，又PAPB，

2

22

因此四边形PEGH为正方形，PG2PHPC，CGPC，

22

CG2

所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值sinCPG.

PC2

故选：B.

3．（23-24高一下·重庆·月考）如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，

PAAD2AB2，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（）

17

3361

A．B．C．D．

2332

【答案】B

【分析】过点D作DNCM于点N，证明DN平面ACM，得CD与平面ACM所成的角为DCM，在

Rt△CDM中，求DCM的余弦值.

【详解】如图，过点D作DNCM于点N，

因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，

又四边形ABCD为矩形，ADCD，PAADA，PA,AD平面AMD，

所以CD平面AMD，因为AM平面AMD，所以CDAM，

1

在△PAD中，PAAD2，M为PD的中点，所以AMPD且DMPD2，

2

又PDCDD，PD,CD平面CDM，所以AM平面CDM，

因为AM平面ACM，所以平面CDM平面ACM，

因为平面CDM平面ACMCM，DNCM，DN平面CDM，

所以DN平面ACM，所以CD与平面ACM所成的角为DCM.

因为CD平面AMD，DM平面AMD，所以CDDM，

CDCD3

在Rt△CDM中，cosDCM.

CMCD2DM23

故选：B.

18

二、解答题

4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四面体ABCD中，BDC90,ABBC2,CD1,AD7，点M

1

为线段AC的中点，且MDAC.

2

(1)证明：直线AB平面BCD；

(2)求直线MD与平面ABC所成角的正弦值；

【答案】(1)证明见解析

6

(2)

4

【分析】（1）先求出ADCD，结合BDCD得到CD平面ABD，故CDAB，由勾股定理逆定理得

到BDAB，从而得到线面垂直；

DE

（2）作出辅助线，得到线面垂直，则DME为MD与平面ABC所成的角，求出各边长，利用sinDME

MD

得到答案.

1

【详解】（1）点M为AC中点，且DMAC，

2

∴DMCMAM，

∴MCDMDC,MADMDA，

又MCDMDCMADMDAπ，

π

∴MDCMDA，故ADCD

2

BDC90，即BDCD，

ADBDD，AD,BD平面ABD，

∴CD平面ABD，

∵AB平面ABD，

∴CDAB.

∵BDC90,BC2,CD1，

由勾股定理得BDBC2CD23，

∵AD7，AB2，

19

∴BD2AB2AD2，

∴BDAB，

又CDIBDD，CD,BD平面BCD，

∴AB平面BCD；

（2）如图，过点D作DEBC，垂足为E，连接EM，

由（1）知AB平面BCD，又DE,BC平面BCD，

故DEAB，又ABBCB，AB,BC平面ABC，

所以DE平面ABC.

则DME为MD与平面ABC所成的角.

BCAB，由勾股定理得ACAB2BC222，

1DCDB133

所以DMAC2，其中DE，

2BC22

DE326

则sinDME.

MD224

5．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点，底面VABC的边长

为2，BB13．

求证：平面；

(1)BC1//CA1D

(2)求三棱锥B1A1DC的体积；

(3)求直线AB与平面A1DC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

20

(2)1

3

(3)

2

【分析】（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，即可证DE//BC1，利用线面平行的判断定理即可证明；

（）先证平面，再由VV计算即可；

2CDAA1B1BB1A1DCCA1B1D

（3）设点B到平面A1DC的距离为d，直线AB与平面A1DC所成角为，利用等体积法求出d，最后计算sin

即可.

【详解】（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，

因为四边形AA1C1C是矩形，所以E为AC1的中点，又D是AB的中点，

又，又平面，平面，

DE//BC1DECA1DBC1CA1D

所以平面

BC1//CA1D.

（2）由于ACBC，又D是AB的中点，所以ABCD，

在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，CD平面ABC，所以AA1CD，

又AA1ABA,AA1平面AA1B1B,AB平面AA1B1B，

1

所以CD平面AA1B1B，所以CD是三棱锥CA1B1D的高，又S233，所以

A1B1D2

11

VVS△CD331，

B1A1DCCA1B1D3A1B1D3

（3）设点B1到平面A1DC的距离为d，直线AB与平面A1DC所成角为，

由（2）有CD平面AA1B1B，又A1D平面AA1B1B，所以CDA1D，

2

21

因为CD3，AD132，所以SADC233，

112

1

又VBADCVCAAD，即d31，解得d3，

1113

d3

所以sin，

A1B12

3

所以直线AB与平面A1DC所成角的正弦值为.

2

21

6．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA

平面ABCD，Q为棱PD的中点.

(1)求证：PB//平面ACQ；

(2)已知：AQPD

①求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；

②求点P到平面ACQ的距离.

【答案】(1)证明见解析

123

(2)①；②

33

【分析】（1）构造线线平行，根据线线平行，证明线面平行.

（2）利用体积法求点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦.

【详解】（1）如图：

连接BD，交AC于E，因为四边形ABCD为正方形，所以E为BD中点，

又Q为PD中点，所以EQ//PB，又EQ平面ACQ，PB平面ACQ，

所以