2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【02-暑假预习】专题13 直线的两点式方程（3知识点+4大题型+思维导图+过关检测）（学生版）

专题13直线的两点式方程

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：4大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点01：直线的两点式方程

1、两点式方程的推导

yy

如果直线经过两点，，则直线的斜率21．由直线的点斜式方程

lP1x1,y1P2x2,y2(x1x2)lk

x2x1

yyyyxx

得21．当时，方程可以写成11．

yy1(xx1)y1y2

x2x1y2y1x2x1

2、直线的两点式方程定义

设直线经过两点，，则方程yy1xx1叫作直线的两点式

lP1x1,y1P2x2,y2(x1x2,y1y2)l

y2y1x2x1

方程，简称两点式．

3、直线的两点式方程

已知条件（使用前提）

直线l上的两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)（x1x2，y1y2）（已知两点）

图示

1

点斜式方程形式

yy1xx1

(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1

适用条件斜率存在且不为0；

当直线没有斜率或斜率为时，不能用两点式求出它的方程

(x1x2)0(y1y2)

注：（）当过两点的直线斜率不存在或斜率为时不能用两点

1P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)0((y1y2),

式方程表示.

（2）在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个点的坐标x2,y2是另一个点的

坐标.

知识点02：直线的截距式方程

1、截距式方程的推导

y0xa

如图，已知直线l经过两点Aa,0，B0,b，其中a0,b0，有直线的两点式方程得，，

b00a

xy

即1．

ab

2、直线的截距式方程的定义

xy

设直线l在x轴的截距为a，在y轴的截距为b，且a0,b0，则方程1叫作直线的截距式方程，

ab

简称截距式．

3、直线的截距式方程

已知条件（使用前提）直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b

图示

2

点斜式方程形式xy

1

ab

适用条件a0，b0

注：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y

轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.

知识点03：中点坐标公式

xx

x12

2

若点P,P的坐标分别为(x,y),(x,y)，且线段PP的中点M的坐标为(x,y)，则．此公

12112212yy

y12

2

式为线段P1P2的中点坐标公式．

一、单选题

1．（23-24高二上·河北邢台·月考）下列直线方程是两点式方程的是（）

A．ykxbB．yy0kx2x0

xyyy1xx1

C．1D．x1x2,y1y2

a2by2y1x2x1

xyxy

2．（24-25高二上·全国·课后作业）直线1与1mn在同一平面直角坐标系中的图象可能

mnnm

3

是（）

A．B．C．

D．

3．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点x1,y1,x2,y2的直线方程可以表示为（）

xxyyxxyy

A．11B．22

x2x1y2y1x1x2y1y2

yy

21

C．yy1x2x1xx1y2y1D．yy1xx1

x2x1

y9x8

4．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线l的两点式为，则（）

5928

311

A．直线l经过点(5,2)B．直线l的斜截式为xy

22

2

C．直线l的倾斜角为锐角D．直线l的点斜式为y2(x5)

3

5．（24-25高二上·广东江门·月考）下列说法正确的是（）

yy

1

A．方程k表示过点P1x1,y1且斜率为k的直线

xx1

B．直线ykxb与y轴的交点为B0,b，其中截距bOB

xy

C．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为1

ab

D．方程x2x1yy1y2y1xx1表示过任意不同两点P1x1,y1，P2x2,y2的直线

一、单选题

1．（23-24高二上·甘肃金昌·月考）已知直线l经过点3,2，1,2，则下列不在直线l上的点是（）

A．2,1B．1,0C．0,1D．2,1

2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点Am,5,B3,n，若AB的中点坐标为2,1，则直线AB的方程

为（）

4

A．x4y90B．x4y90

C．4xy90D．4xy90

3．（23-24高二上·贵州·开学考试）某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（kg）之间的关

系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（）

A．20kgB．25kgC．30kgD．35kg

4．（23-24高二上·吉林·月考）一条光线从P(6,4)射出与x轴相交于点Q(2,0)，经x轴反射，求反射光线所

在直线的方程（）

A．xy10B．xy50C．xy20D．xy20

二、解答题

5．（23-24高二上·河南·月考）已知VABC的三个顶点分别满足：点A在x轴上，点B在y轴上，C(2,1)，

1

直线AC的斜率为，直线AC与直线BC垂直．

2

(1)求点A,B的坐标；

(2)求边BC上的中线所在直线的方程．

6．（23-24高二上·福建漳州·月考）已知三角形ABC的顶点坐标为A1,5，B2,1，C4,3，M是BC

边上的中点.

(1)求AB边所在的直线方程；

(2)求中线AM的方程.

一、单选题

1．（24-25高二上·重庆·期末）过A2,0、B0,3两点的直线方程是（）

xyy

A．1B．x1

2332

23

C．yxD．yx

32

2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·月考）在x轴与y轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）

A．150B．135C．90D．45

5

xyxy

3．（24-25高二上·四川绵阳·月考）两条直线l:1和l:1在同一直角坐标系中的图象可以是

1ab2ba

（）

A．B．C．D．

1

4．（24-25高二上·全国·课后作业）过点,1作直线l，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l的条数

3

为（）

A．1B．2C．3D．4

5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l过点3,5，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为

（）

A．xy80B．5x3y0

C．5x3y0或xy80D．5x3y0或xy80

二、解答题

6．（24-25高二上·吉林·月考）求符合下列条件的直线方程：

1

(1)直线过点A1,3，且斜率为；

4

(2)直线过点2,1，且横截距为纵截距的两倍.

一、单选题

1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点1,3且斜率为2的直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（）

252555

A．B．C．D．

2424

2．（24-25高二下·湖南·月考）已知直线l经过点P1,2，与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为

坐标原点，则△OAB的面积的最小值为（）

A．2B．3C．4D．8

3．（23-24高二上·江苏徐州·月考）若过点P3,2的直线l与坐标轴交于A,B两点，围成三角形AOB的面积

为16，则符合条件的直线的条数为（）

A．1B．2C．3D．4

6

二、解答题

4．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）直线l过点3,4，且在两坐标轴上的截距之和为12．

(1)求直线l的方程

(2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积．

5．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线l的方程为a1xy3a10，aR.

(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B，点O是坐标原点．若VAOB的面积为16，求a的值.

一、单选题

xy

1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l:1，则直线l在y轴上的截距为（）

52

A．5B．5C．2D．2

2．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点1,2，5,3的直线方程是（）

7

y2x1y2x1

A．B．

51313251

y1x3x2y3

C．D．

51235213

3．（24-25高二上·江苏镇江·月考）过点A2,1的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A．xy1B．xy3

C．x2y0或xy3D．x2y0或xy1

4．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l过点A2,3，则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积

最小值为（）

A．9B．12C．18D．24

二、多选题

5．（23-24高二上·安徽·期中）已知直线l:yx，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别

为k1，k2，纵截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是（）

A．1k20B．k1k21

b

1

C．b1b2D．0

b2

6．（24-25高二上·吉林·月考）已知直线l过点0,2，3,1，则（）

A．直线l的倾斜角为150°

y1x3

B．直线l的两点式方程为

2103

C．直线l的一个方向向量为1,3

xy

D．直线l的截距式方程为1

232

7．（23-24高二上·广东广州·期中）下列说法不．正．确．的有（）

A．直线的倾斜角越大，斜率越大

xxyy

11

B．过点Px1,y1,Qx2,y2的直线方程是

x1x2y1y2

8

C．经过点1,1且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条

xy

D．直线1在y轴上的截距是3

23

8．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（）

yyxx

11

A．过任意两点Ax1,y1，Bx2,y2的直线方程可以写成

y2y1x2x1

B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1

C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0

D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1

三、填空题

y3x0

9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为．