2025年高考数学模拟检测卷-三角函数中的正弦定理与余弦定理应用题

2025年高考数学模拟检测卷-三角函数中的正弦定理与余弦定理应用题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在△ABC中，若A=60°，B=45°，a=10，那么边b的长度是（）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√32.已知△ABC中，C=120°，a=3，b=5，那么边c的长度等于（）A.7B.4C.√34D.√373.在△ABC中，若A=30°，B=60°，c=6，那么边a的长度是（）A.3√3B.3√2C.6√3D.6√24.若△ABC中，A=60°，B=45°，a=6，那么△ABC的面积是（）A.9√2B.9√3C.12√2D.12√35.在△ABC中，若A=75°，B=45°，a=8，那么边b的长度是（）A.4√2B.4√3C.8√2D.8√36.已知△ABC中，C=90°，a=5，b=12，那么边c的长度等于（）A.13B.7C.√119D.√1697.在△ABC中，若A=45°，B=75°，c=10，那么边a的长度是（）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√38.若△ABC中，A=30°，B=60°，b=8，那么△ABC的面积是（）A.16√3B.16√2C.32√3D.32√29.在△ABC中，若A=60°，B=30°，a=12，那么边b的长度是（）A.6√3B.6√2C.12√3D.12√210.已知△ABC中，C=120°，a=4，b=6，那么边c的长度等于（）A.2√7B.2√11C.4√7D.4√11二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.在△ABC中，若A=60°，B=45°，a=6，那么边b的长度是________。12.已知△ABC中，C=120°，a=5，b=7，那么边c的长度等于________。13.在△ABC中，若A=30°，B=60°，c=10，那么边a的长度是________。14.若△ABC中，A=45°，B=75°，c=8，那么△ABC的面积是________。15.在△ABC中，若A=75°，B=45°，a=10，那么边b的长度是________。三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.在△ABC中，已知A=45°，B=75°，c=10。求：（1）边a的长度；（2）△ABC的面积。17.已知△ABC中，C=120°，a=3，b=5。求：（1）边c的长度；（2）△ABC的最大角。18.在△ABC中，若A=30°，B=60°，a=6。求：（1）边b的长度；（2）△ABC的周长。19.若△ABC中，A=60°，B=45°，a=8。求：（1）边b的长度；（2）△ABC的面积。20.在△ABC中，已知C=90°，a=5，b=12。求：（1）边c的长度；（2）△ABC的面积；（3）角A和角B的正弦值。四、应用题（本大题共2小题，共30分。）21.一艘船在海面上航行，船的起点A处测得灯塔B在北偏东30°方向，船以每小时10海里的速度向正北方向航行1小时后到达C处，此时测得灯塔B在北偏东60°方向。求：（1）船的起点A到灯塔B的距离；（2）灯塔B到船的终点C的距离。22.一架飞机从机场A起飞，向北偏东45°方向飞行100公里到达机场B，然后又向北偏西30°方向飞行200公里到达机场C。求：（1）机场A到机场C的距离；（2）机场B到机场C的距离。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.A解析：由正弦定理可得，a/sinA=b/sinB，代入A=60°，B=45°，a=10，可得10/sin60°=b/sin45°，解得b=10sin45°/sin60°=10(√2/2)/(√3/2)=5√2。2.C解析：由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcosC，代入C=120°，a=3，b=5，可得c²=3²+5²-2×3×5cos120°=9+25-2×3×5(-1/2)=34，解得c=√34。3.A解析：由正弦定理可得，a/sinA=c/sinC，代入A=30°，B=60°，c=6，可得a/sin30°=6/sin60°，解得a=6sin30°/sin60°=6(1/2)/(√3/2)=3√3。4.A解析：由正弦定理可得，a/sinA=b/sinB，代入A=60°，B=45°，a=6，可得6/sin60°=b/sin45°，解得b=6sin45°/sin60°=6(√2/2)/(√3/2)=3√2，再由面积公式S=(1/2)absinC，代入a=6，b=3√2，C=75°，可得S=(1/2)×6×3√2×sin75°=9√2。5.B解析：由正弦定理可得，a/sinA=b/sinB，代入A=75°，B=45°，a=8，可得8/sin75°=b/sin45°，解得b=8sin45°/sin75°=8(√2/2)/(√6+√2)/4=4√3。6.A解析：由勾股定理可得，c²=a²+b²，代入a=5，b=12，可得c²=5²+12²=25+144=169，解得c=13。7.B解析：由正弦定理可得，a/sinA=c/sinC，代入A=45°，B=75°，c=10，可得a/sin45°=10/sin75°，解得a=10sin45°/sin75°=10(√2/2)/(√6+√2)/4=5√3。8.A解析：由正弦定理可得，a/sinA=b/sinB，代入A=30°，B=60°，b=8，可得a/sin30°=8/sin60°，解得a=8sin30°/sin60°=8(1/2)/(√3/2)=16√3/3，再由面积公式S=(1/2)absinC，代入a=16√3/3，b=8，C=90°，可得S=(1/2)×16√3/3×8×sin90°=64√3。9.A解析：由正弦定理可得，a/sinA=b/sinB，代入A=60°，B=30°，a=12，可得12/sin60°=b/sin30°，解得b=12sin30°/sin60°=12(1/2)/(√3/2)=4√3。10.D解析：由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcosC，代入C=120°，a=4，b=6，可得c²=4²+6²-2×4×6cos120°=16+36-2×4×6(-1/2)=52，解得c=4√11。二、填空题答案及解析11.4√3解析：由正弦定理可得，a/sinA=b/sinB，代入A=60°，B=45°，a=6，可得6/sin60°=b/sin45°，解得b=6sin45°/sin60°=6(√2/2)/(√3/2)=4√3。12.√19解析：由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcosC，代入C=120°，a=5，b=7，可得c²=5²+7²-2×5×7cos120°=25+49-2×5×7(-1/2)=89，解得c=√89。13.4√3解析：由正弦定理可得，a/sinA=c/sinC，代入A=30°，B=60°，c=10，可得a/sin30°=10/sin60°，解得a=10sin30°/sin60°=10(1/2)/(√3/2)=4√3。14.16√2/3解析：由正弦定理可得，a/sinA=c/sinC，代入A=45°，B=75°，c=8，可得a/sin45°=8/sin75°，解得a=8sin45°/sin75°=8(√2/2)/(√6+√2)/4=16√2/3，再由面积公式S=(1/2)absinC，代入a=16√2/3，b=8，C=60°，可得S=(1/2)×16√2/3×8×sin60°=16√2/3。15.4√3解析：由正弦定理可得，a/sinA=b/sinB，代入A=75°，B=45°，a=10，可得10/sin75°=b/sin45°，解得b=10sin45°/sin75°=10(√2/2)/(√6+√2)/4=4√3。三、解答题答案及解析16.解：（1）由正弦定理可得，a/sinA=c/sinC，代入A=45°，B=75°，c=10，可得a/sin45°=10/sin75°，解得a=10sin45°/sin75°=10(√2/2)/(√6+√2)/4=4√2，所以边a的长度为4√2。（2）由面积公式S=(1/2)absinC，代入a=4√2，b=10，C=60°，可得S=(1/2)×4√2×10×sin60°=20√2×(√3/2)=10√6，所以△ABC的面积为10√6。17.解：（1）由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcosC，代入C=120°，a=3，b=5，可得c²=3²+5²-2×3×5cos120°=9+25-2×3×5(-1/2)=34，解得c=√34。（2）由余弦定理可得，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，代入a=3，b=5，c=√34，可得cosA=(5²+(√34)²-3²)/(2×5×√34)=(25+34-9)/(10√34)=50/(10√34)=5/√34，所以A=arccos(5/√34)，同理可得B=arccos(3/√34)，因为A+B+C=180°，所以最大角为C=180°-A-B。18.解：（1）由正弦定理可得，a/sinA=c/sinC，代入A=30°，B=60°，c=6，可得a/sin30°=6/sin60°，解得a=6sin30°/sin60°=6(1/2)/(√3/2)=2√3，所以边a的长度为2√3。（2）由正弦定理可得，b/sinB=c/sinC，代入A=30°，B=60°，c=6，可得b/sin60°=6/sin60°，解得b=6，所以边b的长度为6，所以△ABC的周长为a+b+c=2√3+6+6=12+2√3。19.解：（1）由正弦定理可得，a/sinA=b/sinB，代入A=60°，B=45°，a=8，可得8/sin60°=b/sin45°，解得b=8sin45°/sin60°=8(√2/2)/(√3/2)=4√6，所以边b的长度为4√6。（2）由面积公式S=(1/2)absinC，代入a=8，b=4√6，C=75°，可得S=(1/2)×8×4√6×sin75°=16√6×(√6+√2)/4=4(6+√12)=24+4√3，所以△ABC的面积为24+4√3。20.解：（1）由勾股定理可得，c²=a²+b²，代入a=5，b=12，可得c²=5²+12²=25+144=169，解得c=13。（2）由面积公式S=(1/2)absinC，代入a=5，b=12，C=90°，可得S=(1/2)×5×12×sin90°=30，所以△ABC的面积为30。（3）由正弦定义可得，sinA=a/c=5/13，sinB=b/c=12/13，所以角A和角B的正弦值分别为5/13和12/13。四、应用题答案及解析21.解：（1）设船的起点A到灯塔B的距离为x，由正弦定理可得，x/sin60°=10/si