2025年高考数学立体几何应用题解析与模拟试题

2025年高考数学立体几何应用题解析与模拟试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点A'的坐标是（）A.(0,0,0)B.(1,1,1)C.(2,2,2)D.(3,3,3)我记得啊，这题考察的是点关于平面的对称，得用点到平面的距离公式，再结合向量知识来解。来来来，咱们一步步来，先找点A到平面的垂足，垂足坐标求出来，再反过来算对称点A'，就这么简单！2.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，点P在棱SB上运动，则点P到平面SAC的距离为（）A.1B.√2C.√3D.2哎哟喂，这题得用体积法来解，先求出四棱锥的体积，再算出底面积，体积除以底面积就是高，对不对？不过啊，点P在棱上运动，得分类讨论，SB中点、靠近S端、靠近B端，三种情况都要算到，不能马虎！3.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点，E是B1C1的中点，则直线DE与平面ABB1A1所成的角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/3我一瞅这题就头疼啊，三棱柱、中点、中点，这么多中点，得用向量法来解，先建系，再求向量，最后算夹角，过程有点繁琐，不过没关系，咱们慢慢来，一步一步啃下来！4.已知球O的半径为R，点P在球面上运动，且点P到球面上两点A、B的距离都为√2R，则直线AB与OP所成的角的取值范围是（）A.[0,π/4]B.[π/4,π/2]C.[π/2,3π/4]D.[3π/4,π]哇塞，这题得用球的性质来解，点P到A、B的距离相等，说明点P在AB的垂直平分面上，而OP是过球心的射线，所以OP与AB的夹角就是要求的角，再结合几何关系，就能求出范围了，对吧？5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=1，AA1=2，D是A1C1的中点，E是CC1的中点，则直线AE与平面B1BD所成的角的余弦值是（）A.1/3B.√2/3C.2√2/3D.√5/3嗯，这题也得用向量法来解，建系，求向量，算夹角，不过啊，这题的几何关系比较复杂，得仔细分析，AE在平面B1BD外，所以得先求出平面B1BD的法向量，再算夹角，不能搞错！6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在棱BB1上运动，则点P到平面ADD1A1的距离的最小值是（）A.√2/2B.√3/3C.1/2D.1/√2嘿，这题得用等体积法来解，点P到平面的距离等于三棱锥体积除以底面积，而三棱锥的体积是固定的，所以底面积最小，距离就最小，底面积最小就是三角形ADD1的面积的一半，所以最小距离是1/2，对不对？7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，点E是PC的中点，则直线BE与平面PAD所成的角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/5哎，这题也得用向量法来解，建系，求向量，算夹角，不过啊，这题的几何关系比较简单，BE在平面PAD外，所以得先求出平面PAD的法向量，再算夹角，不能搞错！8.已知球O的半径为1，点A、B、C在球面上，且向量OA、OB、OC两两垂直，则△ABC的面积的最大值是（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√2哇，这题得用球面几何的性质来解，OA、OB、OC两两垂直，说明A、B、C在球面上构成一个正三角形，而正三角形的面积最大，所以答案是√3/2，对吧？9.在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为1的等边三角形，PA=PB=PC=√2，则点P到平面ABC的距离是（）A.1B.√2/2C.√3/3D.√6/3嗯，这题得用等体积法来解，点P到平面的距离等于三棱锥体积除以底面积，而三棱锥的体积是固定的，所以底面积最小，距离就最小，底面积最小就是三角形ABC的面积，所以距离是√2/2，对不对？10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=1，AA1=2，D是A1C1的中点，E是CC1的中点，则直线AE与直线B1D所成的角的余弦值是（）A.1/3B.√2/3C.2√2/3D.√5/3哎呀，这题又得用向量法来解，建系，求向量，算夹角，不过啊，这题的几何关系比较复杂，AE和B1D都不在同一个平面上，所以得先求出两个向量的夹角，再算余弦值，不能搞错！11.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，点P在棱SB上运动，则点P到平面SAC的距离的最大值是（）A.√2B.√3C.2D.√5嗯，这题得用几何法来解，点P到平面的距离等于三棱锥体积除以底面积，而三棱锥的体积是变化的，所以底面积最小，距离就最大，底面积最小就是三角形SAC的面积的一半，所以最大距离是√5，对不对？12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点，E是B1C1的中点，则直线DE与直线B1A所成的角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/3嘿，这题又得用向量法来解，建系，求向量，算夹角，不过啊，这题的几何关系比较简单，DE和B1A都在同一个平面上，所以得先求出两个向量的夹角，再算余弦值，不能搞错！二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）13.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则点A到平面PBC的距离是_______。我记得啊，这题得用等体积法来解，点A到平面的距离等于三棱锥体积除以底面积，而三棱锥的体积是固定的，所以底面积最小，距离就最小，底面积最小就是三角形PBC的面积的一半，所以距离是√2/2，对不对？14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在棱BB1上运动，则点P到平面ADD1A1的距离的取值范围是_______。嗯，这题得用几何法来解，点P到平面的距离等于三棱锥体积除以底面积，而三棱锥的体积是变化的，所以底面积最小，距离就最大，底面积最小就是三角形ADD1的面积的一半，所以取值范围是[1/2,1]，对不对？15.在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为1的等边三角形，PA=PB=PC=√2，则平面PAB与平面PAC所成的二面角的余弦值是_______。哇塞，这题得用向量法来解，先求出平面PAB和PAC的法向量，再算两个法向量的夹角，不过啊，这两个平面相交于PB，所以夹角就是二面角，不能搞错！算出来是√3/3，对吧？16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=1，AA1=2，D是A1C1的中点，E是CC1的中点，则直线AE与平面B1BD所成的角的正弦值是_______。嗯，这题得用向量法来解，建系，求向量，算夹角，不过啊，这题的几何关系比较复杂，AE在平面B1BD外，所以得先求出平面B1BD的法向量，再算夹角，不能搞错！算出来是√2/3，对吧？三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.在五面体ABCDEF中，ABCDE是边长为2的正方形，点F是CD的中点，点G是棱EF的中点。求证：CG垂直于平面ABE。我记得啊，要证CG垂直于平面ABE，就得证CG垂直于平面内的两条相交直线，比如AB和AE，那得先建系，找点坐标，再来向量，算向量积，如果向量积是零向量，那就垂直了，就这么简单！18.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为3，点P在棱SB上运动。当点P到平面SAC的距离等于1时，求点P到平面SBC的距离。哎哟喂，这题得用等体积法，点P到两个平面的距离乘以对应的底面积等于三棱锥的体积，而三棱锥的体积是固定的，所以可以先求出体积，再算出底面积比，就能求出距离了，不过啊，得先算出SA的长度，再算出体积，不能搞错！19.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点，E是B1C1的中点，F是A1B1的中点。求证：平面DEF与平面ABC平行。我一瞅这题就头疼啊，要证两个平面平行，就得证其中一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，那得先找向量，算向量积，如果向量积都是零向量，那就平行了，不过啊，得注意向量的方向，不能搞反了！20.已知球O的半径为1，点A、B、C在球面上，且向量OA、OB、OC两两垂直，点P在球面上运动。当点P到直线AB的距离等于√2/2时，求点P到直线BC的距离。哇塞，这题得用几何法，点P到直线的距离等于三棱锥体积除以底面积，而三棱锥的体积是变化的，所以底面积最小，距离就最大，不过啊，得先算出AB、BC的长度，再算出三棱锥的体积，不能搞错！算出来是√6/4，对吧？21.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=1，AA1=2，D是A1C1的中点，E是CC1的中点，F是B1C1的中点。求证：直线AE垂直于平面B1BD。嗯，这题得用向量法，先求出向量AE，再求出平面B1BD的法向量，如果向量AE和法向量平行，那就垂直了，不过啊，得注意向量的方向，不能搞反了！建系，找坐标，来向量，算向量积，如果向量积是零向量，那就垂直了，就这么简单！22.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，点E是PC的中点，点F是PD的中点。求点E到平面ABF的距离。嗯，这题得用等体积法，点E到平面的距离等于三棱锥体积除以底面积，而三棱锥的体积是固定的，所以底面积最小，距离就最小，底面积最小就是三角形ABF的面积的一半，所以距离是√5/5，对不对？四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。请根据自己学习的知识选择其中一题作答。）23.[选做题一]在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=PC=√6，点D是AB的中点，点E是PC的中点。求证：平面PDE垂直于平面ABC。我记得啊，要证两个平面垂直，就得证其中一个平面内的两条相交直线垂直于另一个平面内的两条相交直线，那得先找向量，算向量积，如果向量积是零向量，那就垂直了，不过啊，得注意向量的方向，不能搞反了！建系，找坐标，来向量，算向量积，如果向量积是零向量，那就垂直了，就这么简单！24.[选做题二]在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=1，AA1=2，D是A1C1的中点，E是CC1的中点，F是B1C1的中点。求直线AE与直线B1D所成的角的余弦值。嗯，这题得用向量法，先求出向量AE和向量B1D，再算两个向量的夹角的余弦值，不过啊，得注意向量的方向，不能搞反了！建系，找坐标，来向量，算向量积，再算模长，最后算余弦值，就这么简单！五、附加题（本大题共1小题，共10分。请根据自己学习的知识作答。）25.在六面体ABCDEF中，ABCDE是边长为2的正方形，点F是CD的中点，点G是棱EF的中点，点H是棱CF的中点。求证：平面AGH垂直于平面BCE。我记得啊，要证两个平面垂直，就得证其中一个平面内的两条相交直线垂直于另一个平面内的两条相交直线，那得先找向量，算向量积，如果向量积是零向量，那就垂直了，不过啊，得注意向量的方向，不能搞反了！建系，找坐标，来向量，算向量积，如果向量积是零向量，那就垂直了，就这么简单！本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：D解析：点A(1,2,3)到平面x+y+z=1的距离d=|1*1+2*1+3*1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3。设A'(x',y',z')，由对称性知AA'中点在平面上，即((1+x')/2,(2+y')/2,(3+z')/2)=(1/2,1/2,1/2)，解得x'=0,y'=0,z'=0，故A'坐标为(0,0,0)。2.答案：A解析：取AC中点O，连接SO，则SO⊥平面ABC。设SB中点为M，连接PM，则PM⊥平面ABC。易知PM=√2，SO=√(3^2-1^2)=2√2。设P到平面SAC距离为h，由等体积法V(S-ABC)=V(S-PAC)，得(1/3)*1*√3*(2√2)=(1/3)*√2*√(1^2+1^2)*h，解得h=1。3.答案：D解析：以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(√3,1,0),D(√3/2,1/2,0),E(√3/2,1/2,2)。向量DE=(-√3/2,0,2),向量n_1=(0,0,1)为平面ABB1A1的一个法向量。向量AB=(2,0,0)。设∠DEB=θ，则sinθ=|DE_xn_1_x+DE_yn_1_y+DE_zn_1_z|/(|DE|*|n_1|)=2/√(3/4+4)=√3/3。4.答案：B解析：设A(1,0,0),B(0,1,0)。因为|OP|=R=1,|PA|=|PB|=√2R=√2，所以P在以AB为直径的球面上，球心为(1/2,1/2,0)，半径为1/2。设OP与AB夹角为θ，则cosθ=OP·AB/(|OP||AB|)=(1/2+1/2+0)/(1*√2)=√2/2。当P在球面上运动时，θ∈[π/4,π/2]。5.答案：B解析：以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),C1(1,1,2),D1(0,1,2),E(1,1,1),F(1,1/2,2),G(1/2,3/2,2)。向量AE=(1,1,1),向量n_1=(0,-1,0)为平面B1BD的一个法向量。向量BD=(-1,0,2)。设∠AEB=θ，则cosθ=|AE_xn_1_x+AE_yn_1_y+AE_zn_1_z|/(|AE|*|n_1|)=1/√2*√2=1/√2。sinθ=√(1-1/2)=√2/2。6.答案：C解析：点P到平面ADD1A1的距离等于点P到顶点A的距离。当P为SB中点时，|PA|=√(1^2+1^2)=√2。当P靠近S端时，|PA|=|SA|=√(1^2+1^2+3^2)=√11>√2。当P靠近B端时，|PA|=|SB|=√(2^2+3^2)=√13>√11。故最小值为√2/2。7.答案：A解析：以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1/2,1,1)。向量BE=(1/2,1,1),向量n=(0,2,-2)为平面PAD的一个法向量。设∠BEP=θ，则sinθ=|BE_xn_x+BE_yn_y+BE_zn_z|/(|BE|*|n|)=2/√(1/4+1+1)*2√2=1/2。8.答案：B解析：设A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。因为|OA|=|OB|=|OC|=1,|AB|=|BC|=|CA|=√2，所以A、B、C在以O为球心，半径为1的球面上。设OP与AB夹角为θ，则cosθ=OP·AB/(|OP||AB|)=(1/2+1/2+0)/(1*√2)=√2/2。当P在球面上运动时，θ∈[π/4,π/2]。9.答案：B解析：取BC中点O，连接PO，则PO⊥平面ABC。设P到平面ABC距离为h，由等体积法V(P-ABC)=V(A-BCP)，得(1/3)*√3*1*h=(1/3)*1*√2*√(1^2+1^2)，解得h=√2/2。10.答案：D解析：以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),C1(1,1,2),D1(0,1,2),E(1/2,1,2),F(1/2,0,2),B1D=(-1,1,-2)。向量AE=(1,1,2)。设∠AEB=θ，则cosθ=|AE_xB1D_x+AE_yB1D_y+AE_zB1D_z|/(|AE|*|B1D|)=√5/5。sinθ=√(1-1/5)=2√5/5。11.答案：D解析：当P为SB中点时，|PA|=√(1^2+1^2+3^2)=√11。设P到平面SAC距离为h，由等体积法V(S-ABC)=V(S-PAC)，得(1/3)*√3*1*(2√2)=(1/3)*√(1^2+1^2)*√(1^2+1^2)*h，解得h=√2/2。当P靠近S端时，|PA|=√11>√2。当P靠近B端时，|PA|=√(1^2+3^2+2^2)=√14>√11。故最大值为√5。12.答案：D解析：以O为原点，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。向量OA=(1,0,0),向量OB=(0,1,0),向量OC=(0,0,1)。设P(x,y,z)，则向量OP=(x,y,z)。因为|PA|=|PB|=√2，所以x^2+z^2=2。因为|PB|=|PC|=√2，所以x^2+y^2=2。因为|PC|=|PA|=√2，所以y^2+z^2=2。解得x=y=z=1/√2。向量OP=(1/√2,1/√2,1/√2)。设AB与OP夹角为θ，则cosθ=OP·AB/(|OP||AB|)=(1/√2*0+1/√2*1+1/√2*0)/(√(3/2)*√2)=1/√3。θ∈[3π/4,π]。二、填空题答案及解析13.答案：√5/5解析：取BC中点O，连接PO，则PO⊥平面ABC。设A到平面PBC距离为h，由等体积法V(A-PBC)=V(A-BCP)，得(1/3)*√2*1*h=(1/3)*1*√(1^2+1^2)*√(1^2+1^2)，解得h=√2/2。设AO与PO夹角为θ，则sinθ=|AO_xPO_x+AO_yPO_y+AO_zPO_z|/(|AO|*|PO|)=2/√(1^2+4+9)=2/√14。h=|AO|sinθ=√5/5。14.答案：[1/2,1]解析：设P(x,0,z)，则向量OP=(x,0,z)。向量AD=(-1,1,0)，向量AA1=(0,0,2)。设P到平面ADD1A1距离为h，由等体积法V(A-ADD1A1)=V(P-ADD1A1)，得(1/3)*1*2*h=(1/3)*√(1^2+1^2)*√(1^2+2^2)*|x|，解得h=√2/4|x|。因为x∈[0,1]，所以h∈[1/2,√2/4]。又因为P在棱BB1上，所以z=1，不影响距离。故h∈[1/2,1]。15.答案：√3/3解析：设P(√6cosα,√6sinα,√6)，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0)。向量PA=(√6cosα-1,√6sinα,√6-0),向量PB=(√6cosα,√6sinα-1,√6-0),向量PC=(√6cosα,√6sinα,√6-0)。向量n_1=向量PB×向量PC=((-√6sinα+1,√6cosα-1,0),(-√6√6cosαsinα,√6√6cos^2α-√6sinα,√6√6sin^2α),(0,0,6-√6sinα))。向量n_2=向量PA×向量PC=((-√6sinα,√6cosα,-√6cosα+1),(-√6√6cosαsinα,-√6√6cos^2α+√6sinα,√6√6sin^2α),(0,0,√6-√6sinα))。向量n_1·向量n_2=0，故平面PAB⊥平面PAC。设二面角为θ，则cosθ=|n_1·n_2|/(|n_1|*|n_2|)=1/3。sinθ=√(1-1/9)=2√2/3。cosθ=√3/3。16.答案：√2/3解析：以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),C1(1,1,2),D1(0,1,2),E(1/2,1,2),F(1/2,0,2),B1D=(-1,1,-2)。向量AE=(1,1,2)。设∠AEB=θ，则cosθ=|AE_xB1D_x+AE_yB1D_y+AE_zB1D_z|/(|AE|*|B1D|)=√2/3。sinθ=√(1-2/9)=√7/3。sinθ=√2/3。三、解答题答案及解析17.证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),F(1,1,0),G(1,1,1),E(1,1,2)。向量CG=(1,1,0),向量AB=(2,0,0),向量AE=(1,1,2)。设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z)。由n·AB=0得2x=0，即x=0。由n·AE=0得x+y+2z=0。取z=1，得y=-2。故n=(0,-2,1)。因为CG·n=0，所以CG垂直于平面ABE。18.解：由等体积法V(S-ABC)=V(P-ABC)，得(1/3)*√3*1*(3)=(1/3)*√(1^2+1^2)*√(1^2+1^2)*h，解得h=√6/2。设SB中点为M，连接PM，则PM⊥平面ABC。设P到平面SBC距离为h1，由等体积法V(S-ABC)=V(S-PBC)，得(1/3)*√3*1*(2√2)=(1/3)*√(1^2+1^2)*√(1^2+2^2)*h1，解得h1=√3/2。由勾股定理h1^2+h^2=1，得(√3/2)^2+(√6/2)^2=1，故h1=√3/2。19.证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(√3,1,0),D(√3/2,1/2,0),E(√3/2,1/2,1),F(√3/2,1,1)。向量DE=(-√3/2,0,1),向量n_1=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量。向量BC=(√3-2,1,0)。设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z)。由n·DE=0得-√3/2x+z=0，由n·BC=0得(√3-2)x+y=0。取x=1，得z=√3/2，y=2-√3。故n=(1,2-√3,√3/2)。因为n_1·n=0，所以平面DEF⊥平面ABC。20.解：设球心为O，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。向量OA=(1,0,0),向量OB=(0,1,0),向量OC=(0,0,1)。设P(x,y,z)，则向量OP=(x,y,z)。因为|OP|=1,|PA|=√2，所以x^2+z^2=1。因为|PB|=√2，所以x^2+y^2=1。因为|PC|=√2，所以y^2+z^2=1。解得x=y=z=1/√2。向量OP=(1/√2,1/√2,1/√2)。向量AB=(-1,1,0)。设P到直线AB距离为d，则d=|向量AB×向量OP|/|向量AB|=√2/2。设BC=(1,-1,0)。设P到直线BC距离为d1，则d1=|向量BC×向量OP|/|向量BC|=√6/4。由勾股定理d1^2+d^2=1，得(√6/4)^2+(√2/2)^2=1，故d1=√6/4。21.证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),C1(1,1,2),D1(0,1,2),E(1/2,1,2),F(1/2,1,0),G(1/2,1/2,1)。向量AE=(1/2,1,2),向量n_1=(0,1,0)为平面B1BD的一个法向量。向量BD=(-1,0,2)。因为AE·n_1=0，所以AE⊥平面B1BD，即直线AE垂直于平面B1BD。22.解：以A为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),C1(1,1,2),D1(0,1,2),E(1,1,1),F(0,1,1)。向量AE=(1