2026版红对勾一轮复习讲与练高考数学第八章　8．5　椭圆

8．5椭圆1．理解椭圆的定义、几何图形和标准方程．2．掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、轴长、离心率）.3．掌握椭圆的简单应用．1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．2．椭圆的标准方程和简单几何性质项目焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形a，b，c的关系a2＝b2＋c2焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c简单几何性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0，1)，e越接近1，椭圆越扁平3.在用椭圆定义时，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段（包括端点）；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．教材拓展椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(3)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝a2.(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)，面积为b2taneq\f(θ,2).1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆.(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)2．（人教A版选择性必修第一册P109T1改编）若椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离为5，则点M到另外一个焦点的距离为(B)A．6 B．7C．8 D．9解析：由椭圆方程可知a2＝36，解得a＝6.又椭圆上一点M到两焦点的距离和为2a＝12，所以M到另一个焦点的距离为12－5＝7.故选B.3．（人教A版选择性必修第一册P112例4改编）若椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，则该椭圆的(D)A．长轴长为2 B．短轴长为eq\r(3)C．焦距为1 D．离心率为eq\f(1,2)解析：由椭圆的方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可知焦点在x轴上，即a2＝4，b2＝3，c2＝a2－b2＝1，则a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1.所以长轴长为2a＝4，短轴长为2b＝2eq\r(3)，焦距为2c＝2，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故选D.4．（人教A版选择性必修第一册P116T12改编）若椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(A)A．3 B．2＋eq\r(3)C．2 D．eq\r(3)＋1解析：由题意知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.故选A.考点1椭圆的定义及应用【例1】(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝16，F(－1，0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为(A)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,4)＋y2＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】F(－1，0)，C(1，0)，点F关于折痕l的对称点A在圆周上，折痕l为线段AF的垂直平分线，折痕l与AC相交于点P，如图所示，则有|PA|＝|PF|，可知|PF|＋|PC|＝|PA|＋|PC|＝|AC|＝4>|FC|＝2，所以点P的轨迹是以F，C为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a＝4，焦距2c＝2，所以点P的轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，易知除点P外，折痕l上任意一点到F，C两点的距离之和均大于|PF|＋|PC|，即除点P外，折痕l上的其余点均在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1外，所以折痕围成轮廓对应的圆锥曲线的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故选A.(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>3)与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦点F1，F2.设P是椭圆与双曲线的一个交点，则△PF1F2的面积是6．【解析】根据对称性，不妨设P在第一象限．由题设可知|F1F2|2＝4(a2－9)＝4(m2＋4)＝4c2，即a2－m2＝13，a2－c2＝9，c2－m2＝4.根据椭圆与双曲线的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|－|PF2|＝2m))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝a＋m，,|PF2|＝a－m，))在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq\f((a＋m)2＋(a－m)2－4c2,2(a＋m)(a－m))＝eq\f(a2＋m2－2c2,a2－m2)＝eq\f((a2－c2)－(c2－m2),a2－m2)＝eq\f(5,13).所以sin∠F1PF2＝eq\f(12,13)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×(a2－m2)×eq\f(12,13)＝6.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．【对点训练1】(1)（2024·山西太原三模）已知点F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，P(4，3)是C上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I(m，1)，则椭圆C的标准方程是(B)A．eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,27)＝1 B．eq\f(x2,28)＋eq\f(y2,21)＝1C．eq\f(x2,52)＋eq\f(y2,13)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,12)＝1解析：依题意，设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由P(4，3)在C上，得eq\f(16,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，显然△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切，则该圆半径为1，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)(2a＋2c)·1＝a＋c，又S△PF1F2＝eq\f(1,2)×2c×3＝3c，得a＝2c，b2＝a2－c2＝eq\f(3,4)a2，因此eq\f(16,a2)＋eq\f(12,a2)＝1，解得a2＝28，b2＝21，所以椭圆C的标准方程是eq\f(x2,28)＋eq\f(y2,21)＝1.故选B.(2)（2024·广东汕头三模）已知椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则下列说法不正确的是(D)A.C的离心率为eq\f(1,2)B．|PF1|的最小值为2C．|PF1|·|PF2|的最大值为16D．可能存在点P，使得∠F1PF2＝65°解析：椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的长半轴长a＝4，短半轴长b＝2eq\r(3)，半焦距c＝eq\r(a2－b2)＝2，则C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，A正确；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,||PF1|－|PF2||≤2c，))得a－c≤|PF1|≤a＋c，因此|PF1|min＝a－c＝2，B正确；|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝a2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时取等号，C正确；当P不在x轴上时，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f((2a)2－(2c)2,2|PF1||PF2|)－1＝eq\f(24,|PF1||PF2|)－1≥eq\f(24,16)－1＝eq\f(1,2)，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时取等号，当P在x轴上时，cos∠F1PF2＝1，上述不等式成立，因此∠F1PF2最大为60°，D错误．故选D.考点2椭圆的方程【例2】(1)与椭圆3x2＋4y2＝12有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(C)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,14)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1【解析】椭圆方程3x2＋4y2＝12化为标准形式为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，设要求的椭圆方程为eq\f(x2,4＋λ)＋eq\f(y2,3＋λ)＝1，λ>－3，将(4，0)代入得eq\f(16,4＋λ)＝1，解得λ＝12，所以eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1.故选C.(2)（2024·江西九江三模）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为eq\f(π,6)的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1F2的面积为2eq\r(3)，则C的方程为(D)A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1【解析】如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，∴OB∥AF2，又OB⊥x轴，∴AF2⊥x轴．在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝eq\f(π,6)，设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝eq\r(3)t.∵△AF1F2的面积为2eq\r(3)，∴eq\f(1,2)×eq\r(3)t×t＝2eq\r(3)，解得t＝2.∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3t＝6，a＝3，2c＝|F1F2|＝eq\r(3)t＝2eq\r(3)，c＝eq\r(3)，b2＝a2－c2＝6，则C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.故选D.根据条件求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，进而求出椭圆方程．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知道焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为eq\f(x2,a2＋m)＋eq\f(y2,b2＋m)＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(a>b>0，λ>0).【对点训练2】(1)经过两点（2，－eq\r(2)），eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))的椭圆的离心率为(B)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),3)解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，因为椭圆经过两点（2，－eq\r(2)），eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4m＋2n＝1，,m＋\f(7,2)n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,8)，,n＝\f(1,4)，))所以椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，所以a＝2eq\r(2)，b＝2，c＝eq\r(a2－b2)＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故选B.(2)（2024·江西新余模拟）已知焦点在x轴上的椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，经过F2的直线l与C交于A，B两点，若eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝16，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝9，eq\o(BF1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，则C的方程为(A)A．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,3)＋y2＝1解析：如图所示，因为eq\o(BF1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，所以BA⊥BF1，则eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝eq\o(F1B,\s\up6(→))2＝16，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝9，可得|eq\o(F1B,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，即|F1B|＝4，|AB|＝3，则|AF1|＝eq\r(|F1B|2＋|AB|2)＝5，由椭圆定义可得4a＝|AF1|＋|F1B|＋|AB|＝12，即a＝3，且|F2B|＝2a－|F1B|＝2，则|F1F2|＝eq\r(|F1B|2＋|F2B|2)＝2eq\r(5)，即2c＝2eq\r(5)，可得c＝eq\r(5)，b＝eq\r(a2－c2)＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.故选A.考点3椭圆的几何性质命题角度1离心率【例3】(1)（2024·山东青岛三模）已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，焦距为2c，以F1F2为直径的圆与椭圆E在第一和第三象限分别交于M，N两点，且eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\r(3)ac，则椭圆E的离心率为(D)A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),3)【解析】以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，,b2x2＋a2y2＝b2a2，))解得x2＝eq\f(a2(c2－b2),c2)，y2＝eq\f(b4,c2)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a\r(c2－b2),c)，\f(b2,c)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a\r(c2－b2),c)，－\f(b2,c)))，又A(－a，0)，B(a，0)，所以eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a\r(c2－b2),c)，\f(2b2,c)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2a，0)，所以eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4a2\r(c2－b2),c)＝2eq\r(3)ac，所以4a2(c2－b2)＝3c4，所以4a2c2－4a2(a2－c2)＝3c4，所以3c4－8a2c2＋4a4＝0，所以3e4－8e2＋4＝0，解得e2＝eq\f(2,3)或e2＝2（舍去）.所以e＝eq\f(\r(6),3).故椭圆E的离心率为eq\f(\r(6),3).故选D.(2)（2024·河南濮阳模拟）点M是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是(D)A．（2－eq\r(3)，1） B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(5)－1,2)))【解析】连接MF，∵圆M与x轴相切于焦点F，∴MF⊥x轴，可设M(c，y)，∵M在椭圆上，∴eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(b2,a)，∴圆M的半径为eq\f(b2,a).作MN⊥y轴，垂足为N，如图所示．∵|MP|＝|MQ|，∴∠PMN＝∠NMQ，∵△PMQ为锐角三角形，∴∠NMQ<eq\f(π,4)，∴eq\f(b2,a)>c>eq\f(\r(2),2)×eq\f(b2,a)，∴ac<a2－c2<eq\r(2)ac，即e<1－e2<eq\r(2)e，∴eq\f(\r(6)－\r(2),2)<e<eq\f(\r(5)－1,2)，即椭圆离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(5)－1,2))).故选D.求椭圆离心率或其范围的常用方法(1)直接求出a，c的值或范围，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)构造关于a，c的齐次方程或不等式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e的值或范围．命题角度2与椭圆有关的最值（范围）问题【例4】（2024·山东潍坊三模）已知F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点，点P(x0，y0)在C上，若∠F1PF2大于eq\f(π,3)，则x0的取值范围是(D)A．（－∞，－eq\r(3)）∪（eq\r(3)，＋∞）B．（－eq\r(3)，eq\r(3)）C．（－∞，－eq\r(5)）∪（eq\r(5)，＋∞）D．（－eq\r(5)，eq\r(5)）【解析】如图所示，因为椭圆C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1，所以a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，所以F1(－2，0)，F2(2，0)，因为点P(x0，y0)在C上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),6)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝2－eq\f(1,3)xeq\o\al(2,0)，－eq\r(6)≤x0≤eq\r(6)，又eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－2－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－4＝eq\f(2,3)xeq\o\al(2,0)－2，又|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝eq\r((－2－x0)2＋(－y0)2)＝eq\r(\f(2,3))|x0＋3|＝eq\r(\f(2,3))(x0＋3)，|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\r((2－x0)2＋(－y0)2)＝eq\r(\f(2,3))|3－x0|＝eq\r(\f(2,3))(3－x0)，因为∠F1PF2大于eq\f(π,3)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|cos∠F1PF2<|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)，所以eq\f(2,3)xeq\o\al(2,0)－2<eq\f(2,3)(x0＋3)·(3－x0)·eq\f(1,2)，解得－eq\r(5)<x0<eq\r(5)，所以x0的取值范围是（－eq\r(5)，eq\r(5)）.故选D.与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．(2)利用函数，尤其是二次函数．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．【对点训练3】(1)（2024·浙江温州三模）已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，C上两点A，B满足eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，cos∠AF1B＝eq\f(4,5)，则椭圆C的离心率是(D)A．eq\f(3,4) B．eq\f(\r(7),4)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(5),3)解析：如图所示，由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))可知|eq\o(AF2,\s\up6(→))|＝2|eq\o(F2B,\s\up6(→))|，设|eq\o(F2B,\s\up6(→))|＝x，则|eq\o(AF2,\s\up6(→))|＝2x，|eq\o(AF1,\s\up6(→))|＝2a－2x，|eq\o(BF1,\s\up6(→))|＝2a－x，|AB|＝3x，则由余弦定理可得(3x)2＝(2a－2x)2＋(2a－x)2－2(2a－2x)(2a－x)×eq\f(4,5)，化简可得2a2－3ax－9x2＝0⇒(a－3x)(2a＋3x)＝0，故a＝3x或a＝－eq\f(3,2)x（舍去），又cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，所以eq\f((2x)2＋4c2－(2a－2x)2,2·2x·2c)＋eq\f(x2＋4c2－(2a－x)2,2·x·2c)＝0，化简可得3c2＋4ax－3a2＝0⇒3c2＋4a·eq\f(a,3)－3a2＝0⇒9c2＝5a2，故3c＝eq\r(5)a⇒e＝eq\f(\r(5),3).故选D.(2)设F1，F2分别为椭圆C：y2＋eq\f(x2,m2)＝1(0<m<1)的上、下焦点，若在椭圆C上存在一点P，使PF1⊥PF2，则实数m的取值范围是(C)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：如图所示，由椭圆的性质知，当P在椭圆左、右顶点时∠F1PF2最大，∴椭圆C上存在一点P使PF1⊥PF2，只需P在椭圆左、右顶点时∠F1PF2≥90°，此时，cos∠F1PF2＝eq\f(2a2－4c2,2a2)≤0，即a2≤2c2，又a2＝1，c2＝1－m2，∴1≤2(1－m2)，解得－eq\f(\r(2),2)≤m≤eq\f(\r(2),2)，又0<m<1，∴0<m≤eq\f(\r(2),2).故选C.【例】已知由椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>1)与椭圆C2：x2＋eq\f(y2,a2)＝1的交点连线可构成矩形ABCD（点A，B在x轴下方），且BC＝3CD，则b2＋eq\f(2,a2)的最小值为(D)A．2eq\r(2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(5,4) D．eq\f(11,4)【解析】如图所示，根据椭圆的对称性及BC＝3CD可得直线AC的方程为y＝3x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x2＋\f(y2,a2)＝1，,y＝3x，))可得eq\f(8,a2)＝eq\f(9,b2)－1，则eq\f(2,a2)＝eq\f(9,4b2)－eq\f(1,4)，所以b2＋eq\f(2,a2)＝b2＋eq\f(9,4b2)－eq\f(1,4)≥2eq\r(b2·\f(9,4b2))－eq\f(1,4)＝eq\f(11,4)，当且仅当b2＝eq\f(9,4b2)，即b＝eq\f(\r(6),2)时等号成立，则b2＋eq\f(2,a2)的最小值为eq\f(11,4).故选D.本题将解析几何与基本不等式结合，题目新颖，需要充分挖掘几何关系并转化为直线方程才能顺利做出题目，充分体现了解析几何“先用几何眼光观察，再用代数方法解决”的学科思想，与新高考倡导的“鼓励学生多角度主动思考、深入探究”的思想不谋而合．课时作业571．（5分）（2024·湖北荆州三模）已知椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,k)＝1的一个焦点为(0，2)，则k的值为(D)A．4 B．8C．10 D．12解析：由题意，得c2＝4，a2＝k，b2＝8，所以k＝4＋8＝12.故选D.2．（5分）（2024·广西南宁二模）已知F1，F2分别是椭圆M：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点，P为M上一点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝(C)A．2 B．3C．5 D．6解析：由椭圆M：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,5)＝1，可得a2＝16，所以a＝4，因为F1，F2分别是椭圆M的左、右焦点，P为M上一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，又|PF1|＝3，所以|PF2|＝5.故选C.3．（5分）（2024·浙江绍兴二模）已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为(B)A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4eq\r(3) D．6eq\r(3)解析：由eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)可得a2＝4c2＝4(a2－b2)(*)，因为2a＝4，所以a＝2，代入(*)解得b＝eq\r(3)，故短轴长为2b＝2eq\r(3).故选B.4．（5分）已知方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,8－k)＝1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是(D)A．(4，6) B．(6，8)C．(4，8) D．(4，6)∪(6，8)解析：因为方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,8－k)＝1表示的曲线是椭圆，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－4>0，,8－k>0，,k－4≠8－k，))解得4<k<8且k≠6，所以实数k的取值范围是(4，6)∪(6，8).故选D.5．（5分）（2024·河北保定二模）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))在椭圆C上，且AF1⊥AF2，则椭圆C的长轴长为(B)A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．eq\r(5)或eq\r(3) D．2eq\r(5)或2eq\r(3)解析：由AF1⊥AF2，O为坐标原点，得|OA|＝eq\f(1,2)|F1F2|，所以c＝|OA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝2，把b2＝a2－4及Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(15,4a2)＋eq\f(1,4(a2－4))＝1，解得a2＝3（舍去）或a2＝5，所以a＝eq\r(5)，椭圆C的长轴长为2eq\r(5).故选B.6．（5分）（2024·江苏南京二模）设F1，F2分别为椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，直线F1P与以F2为圆心，OF2为半径的圆切于点Q（O为坐标原点），且eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝3eq\o(QP,\s\up6(→))，则椭圆E的离心率为(B)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)解析：如图所示，由题意，得|F1F2|＝2c，因为直线F1P与以F2为圆心，OF2为半径的圆相切，所以∠F2QF1＝90°，|F2Q|＝c，因此由勾股定理可知|F1Q|＝eq\r(4c2－c2)＝eq\r(3)c，又eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝3eq\o(QP,\s\up6(→))，所以|QP|＝eq\f(\r(3),3)c，因此|F1P|＝eq\r(3)c＋eq\f(\r(3),3)c＝eq\f(4\r(3),3)c，在Rt△PQF2中，由勾股定理可得|PF2|＝eq\r(\f(3,9)c2＋c2)＝eq\f(2\r(3),3)c，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a⇒eq\f(4\r(3),3)c＋eq\f(2\r(3),3)c＝2a⇒e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).故选B.7．（5分）（2024·重庆模拟）已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点，点P在C上，且线段PF1的中点在以F1F2为直径的圆上，则△PF2F1的面积为(C)A．1 B．eq\f(\r(15),2)C．eq\r(15) D．8解析：如图所示，设PF1的中点为M，由题意得|PF2|＝2|OM|＝2c＝4，于是|PF1|＝2a－2c＝2，又|F1F2|＝2c＝4，则△PF1F2为等腰三角形，S△PF1F2＝eq\f(1,2)×2×eq\r(16－1)＝eq\r(15).故选C.8．（5分）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，下顶点为B，点M为C上的任意一点，则|MB|的最大值是(A)A．eq\f(3\r(2),2)b B．eq\r(2)bC．eq\r(3)b D．2b解析：由椭圆C的离心率e＝eq\f(\r(6),3)，可得a＝eq\r(3)b，所以椭圆的方程为eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，设M(x0，y0)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),3b2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝3b2－3yeq\o\al(2,0)，又由点B(0，－b)，可得|MB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋b)2＝3b2－3yeq\o\al(2,0)＋(y0＋b)2＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(b,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9b2,2)，因为－b≤y0≤b，所以|MB|eq\o\al(2,max)＝eq\f(9b2,2)，所以|MB|max＝eq\f(3\r(2)b,2).故选A.9．（7分）（多选）（2024·辽宁沈阳三模）设椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列说法正确的是(ACD)A．|PF1|的最大值为8B．椭圆C的离心率e＝eq\f(4,5)C．△PF1F2面积的最大值为12D．以线段F1F2为直径的圆与圆(x－4)2＋(y－3)2＝4相切解析：椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝4，则半焦距c＝eq\r(a2－b2)＝3，|PF1|的最大值为a＋c＝8，A正确；椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，B错误；设点P(x0，y0)，则|y0|max＝4，而|F1F2|＝2c＝6，因此△PF1F2面积的最大值等于eq\f(1,2)×6×4＝12，C正确；以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝9，圆心O(0，0)，半径r1＝3，圆(x－4)2＋(y－3)2＝4的圆心M(4，3)，半径r2＝2，|OM|＝5＝r1＋r2，则圆O与圆M外切，D正确．故选ACD.10．（7分）（多选）（2024·河南开封三模）椭圆C：eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的两个焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则(ABD)A．C的焦距为2B．C的短轴长为2eq\r(3)C．C的离心率为eq\f(\r(3),2)D．△ABF2的周长为8解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，如图所示，由于∠F1AF2＝eq\f(π,3)，所以∠F1AO＝∠OAF2＝eq\f(π,6)，故cos∠F1AO＝coseq\f(π,6)＝eq\f(|AO|,|AF1|)＝eq\f(b,\r(c2＋b2))＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，因此eq\f(b2,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(m2,m2＋1)，故m2＝3，所以椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，焦距为2c＝2，A正确；短轴长为2b＝2eq\r(3)，B正确；离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，C错误；△ABF2的周长为4a＝8，D正确．故选ABD.11．（7分）（多选）（2024·安徽合肥一模）已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则(BCD)A．存在点M，使∠AMB＝120°B．eq\o(TA,\s\up6(→))·eq\o(TB,\s\up6(→))＝2eq\o(TM,\s\up6(→))·eq\o(TN,\s\up6(→))C．eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))的最小值为－eq\f(4,3)D．△FMN周长的最大值为8解析：设椭圆的上顶点为E，如图所示，则直角三角形BOE中，tan∠OEB＝eq\f(a,b)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)<eq\r(3)，得∠OEB<eq\f(π,3)，则∠AMB≤∠AEB<eq\f(2π,3)，故A错误；设M(m，n)，则T(m，0)，N(m，－n)，且eq\f(m2,4)＋eq\f(n2,2)＝1，即4－m2＝2n2，又A(－2，0)，B(2，0)，则eq\o(TA,\s\up6(→))·eq\o(TB,\s\up6(→))＝(－2－m，0)·(2－m，0)＝－(2＋m)(2－m)＝－(4－m2)＝－2n2，又2eq\o(TM,\s\up6(→))·eq\o(TN,\s\up6(→))＝－2n2，故eq\o(TA,\s\up6(→))·eq\o(TB,\s\up6(→))＝2eq\o(TM,\s\up6(→))·eq\o(TN,\s\up6(→))，故B正确；F（－eq\r(2)，0），eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝（m＋eq\r(2)，n）·（m＋eq\r(2)，－n）＝（m＋eq\r(2)）2－n2＝（m＋eq\r(2)）2－eq\f(4－m2,2)＝eq\f(3m2,2)＋2eq\r(2)m＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(2)－eq\f(4,3)，－2<m<2，则当m＝－eq\f(2\r(2),3)时，eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(4,3)，故C正确；设椭圆的右焦点为F′，如图所示，△FMN的周长为|MF|＋|NF|＋|MN|＝4－|MF′|＋4－|NF′|＋|MN|＝8－(|MF′|＋|NF′|－|MN|)≤8，当且仅当M，N，F′三点共线时，等号成立，故D正确．故选BCD.12．（6分）（2024·广东江门二模）已知圆A：(x＋1)2＋y2＝1内切于圆P，圆P内切于圆B：(x－1)2＋y2＝49，则动圆P的圆心的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1．解析：设圆P的半径为R，则|PA|＝R－1，|PB|＝7－R，则|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝2，所以点P的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆，则a＝3，c＝1，所以b2＝a2－c2＝8，所以动圆P的圆心的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.13．（6分）（2024·陕西西安二模）若P为椭圆C：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1上一点，F1，F2为C的两个焦点，且|PF1|2－|PF2|2＝16，则|PF1|＝5．解析：对于椭圆C：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1，a2＝16，所以a＝4，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8①，又|PF1|2－|PF2|2＝16，即(|PF1|＋|PF2|)·(|PF1|－|PF2|)＝16，所以|PF1|－|PF2|＝2②，由①②解得|PF1|＝5.14．（6分）（2024·山东济南三模）已知F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P为椭圆上一点，O为坐标原点，△POF2为正三角形，则该椭圆的离心率为eq\r(3)－1．解析：依题意|PO|＝|PF2|＝|OF2|＝c，不妨设点P在第一象限，则点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，易知|PF1|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)c,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)c，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，所以eq\r(3)c＋c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.15．（7分）已知Q是椭圆M：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<3)上的动点，若动点Q到定点P(2，0)的距离|PQ|的最小值为1，则椭圆M的离心率的取值范围是(D)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3)))解析：由题意可设Q(3cosθ，bsinθ)，则|PQ|2＝(3cosθ－2)2＋b2sin2θ＝(3cosθ－2)2＋b2(1－cos2θ)＝(9－b2)cos2θ－12cosθ＋4＋b2，令t＝cosθ∈[－1，1]，则|PQ|2＝(9－b2)t2－12t＋4＋b2，因为0<b<3，所以9－b2>0，可知f(t)＝(9－b2)t2－12t＋4＋b2的图象开口向上，对称轴为直线t＝eq\f(6,9－b2)>0，当eq\f(6,9－b2)<1，即0<b2<3时，可知f(t)在[－1，1]内的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,9－b2)))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,9－b2)))＝(9－b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,9－b2)))eq\s\up1