2024-2025学年江苏省南京航空航天大学附中高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京航空航天大学附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2x−15<0}，B={x|x=3k−2,k∈Z}，则集合A∩B中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.42.若关于x的不等式x2−2x−m>0的解集为{x|x<−2或x>n}，则CmA.70 B.90 C.180 D.4953.如表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格y(单位：千元)与月份代码x的统计数据.由表中数据计算得到经验回归方程为y=bx+0.19，则预测2023年月份代码x12345碳酸锂价格y0.50.711.21.6A.2.41千元 B.2.38千元 C.2.35千元 D.2.32千元4.已知随机变量X服从正态分布N(4,σ2)(σ>0)，则“m=3”是“P(X≥mA.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.函数f(x)=sinx⋅lnx−1x+1的大致图象为A. B.

C. D.6.下列说法中正确的是(

)

①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=516

②一批零件共有20个，其中有3个不合格.随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为4657

③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(6−x)+f(x)=0，且f(2x+1)为偶函数，则f(2023)=(

)A.0 B.1 C.2 D.38.若实数x，y，z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z，则A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若正数a，b满足a+b=1，则(

)A.log2a+log2b≤−2 B.2a10.甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记A1表示事件“从甲袋摸出的是红球”，A2表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记B1表示事件“从乙袋摸出的是红球”，B2A.A1，A2是对立事件 B.A1，B2是独立事件

C.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1A.B1D⊥平面A1C1B

B.若直线D1M与平面ABCD所成角为π3，则点M的轨迹是椭圆

C.存在点M，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.“∀x∈R，(a2−4)x213.假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是______．14.将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次x1，x2，x3，则x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：不达标达标合计男300女100300合计450600(1)完成2×2列联表.根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？

(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为45，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为25.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数X的分布列及期望.(xαα0.10.050.01x2.7063.8416.63516.(本小题15分)

已知函数f(x)=loga(3−x)−loga(3+x)(a>0，且a≠1)．

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若f(1)=−1，当17.(本小题15分)

2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4.乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．

(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

(2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球(左右手完成各取两球为两次取球)的成功取法次数的随机变量X，求X的分布列．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥平面PAD，AD//BC，CD=AP，AD=3，PD=AB=BC=6.点E在棱PA上且与P，A不重合，平面BCE交棱PD于点F．

(1)求证：AD//EF；

(2)若E为棱PA的中点，求二面角A−BE−C的正弦值；

(3)记点A，P到平面BCE的距离分别为d1，d2，求d119.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为23，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点(与A，B不重合)，连接AC，BD交于点Q．

①求证：点Q在定直线上；

②答案解析1.【答案】C

【解析】解：集合A={x|x2−2x−15<0}={x|−3<x<5}，

B={x|x=3k−2,k∈Z}={⋅⋅⋅,−5,−2,1,4,7,⋅⋅⋅}，

则集合A∩B={−2,1,4}，

∴集合A∩B中元素的个数为3．

故选：C．

求出集合A2.【答案】A

【解析】解：关于x的不等式x2−2x−m>0的解集为{x|x<−2或x>n}，

则−2+n=2，−2n=−m，得n=4，m=8，

故Cmn=70．

故选：A3.【答案】C

【解析】解：由已知得x−=1+2+3+4+55=3，y−=0.5+0.7+1+1.2+1.65=1，

∵回归方程y=bx+0.19必过样本中心点为(3,1)，

∴1=3b+0.19，解得b=0.27，∴4.【答案】A

【解析】解：随机变量X服从正态分布N(4,σ2)(σ>0)，则该正态分布曲线的对称轴为μ=4，

P(X≥m2)+P(X>m−4)=1即P(X≥m2)=P(X≤m−4)，故m2+m−4=8，解得m=3或−4，

则“m=3”是“P(X≥5.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，属于一般题．

判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合f(3)的符号是否对应，进行排除即可．

【解答】

解：由题可得，f(x)的定义域为−∞,−1∪1,+∞，

f(−x)=−sinx⋅ln−x−1−x+1=−sinx⋅lnx+1x−1

=sinx⋅lnx−1x+1=f(x)，

则函数f(x)是偶函数，图象关于y6.【答案】D

【解析】解：对于①，根据二项分布概率公式可得，P(X=3)=C63×(12)3×(12)3=516，故①正确；

对于②，根据已知所求概率为p=1−C178C208=4657，故②正确；

对于③，由已知可得，P(AB)=P(A)=A4444=332，P(B)=C41×7.【答案】A

【解析】解：因为f(2x+1)为偶函数，

所以f(2x+1)=f(−2x+1)，

所以f(−x)=f(x+2)，

又f(6−x)+f(x)=0，所以f(−x)+f(x+6)=0，

所以f(x+2)+f(x+6)=0，

所以f(x)+f(x+4)=0，所以f(x+4)+f(x+8)=0，

所以f(x+8)=f(x)，所以8为函数f(x)的周期，

又f(6−x)+f(x)=0得f(6−3)+f(3)=0，所以f(3)=0，

所以f(2023)=f(252×8+7)=f(7)=−f(3)=0．

故选：A．

由已知条件得8为函数f(x)的周期，结合f(3)=0利用函数的周期性即可求值．

本题考查抽象函数的性质，属中档题．8.【答案】B

【解析】解：令x=2，则3=2+log22=3+log3y=5+log5z，

可得y=1，z=125，

所以x>y>z.A可能正确；

当z=1时，y=9，x=8，所以y>x>z，所以C可能正确；

z=125时，y=243，此时x=64，满足y>z>x9.【答案】ABC

【解析】解：因为a>0，b>0且a+b=1，

所以1=a+b≥2ab，

即ab≤14(当且仅当a=b=12时取“=”)．

所以log2a+log2b=log2(ab)≤log214=−2，

故A正确；

因为2a+2b≥22a×2b=22a+b=22，

故B正确；

设f(x)=1−x+lnx (0<x<1 )，

则f′(x)=−1+1x=1−xx>0在(0,1)上恒成立，

所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，

所以f(x)<f(1)=0，

所以a+lnb<0成立，

故C正确；

10.【答案】AD

【解析】解：对于A，由题意知，每次只摸出一个球，A1∩A2=⌀，P(A1)=37,P(A2)=47，

则P(A1)+P(A2)=1，所以A1，A2对立，故A正确；

对于B，P(A1)=37,P(B2)=37×28+47×38=928，P(11.【答案】ACD

【解析】解：如图所示：

对A选项，∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊥B1D1，

∴根据三垂线定理易知B1D⊥A1C1，

同理可得B1D⊥BC1，又A1C1∩BC1=C1，

∴B1D⊥平面A1C1B，∴A选项正确；

对B选项，∵DD1⊥平面ABCD，

∴直线D1M与平面ABCD所成角为∠D1MD=π3，又DD1=1，

∴DM=33，∴点M的轨迹是以D为圆心，33为半径的圆，∴B选项错误；

对C选项，设AD，BD的中点分别为E，则M为BD的中点，理由如下，

∵D1M=D1D+112.【答案】−2(答案不唯一)

【解析】解：当a=−2时，(a2−4)x2+(a+2)x+1=1>0．

故答案为：−2(答案不唯一13.【答案】740【解析】解：设Ai(i=1,2)表示从第i箱取到的零件是次品，B表示从第一箱中取零件，B−表示从第二箱中取零件，

由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是：

P(A)=P(A1|B)P(B)+P(A2|B−)P(B−)

=21014.【答案】727【解析】解：将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次x1，x2，x3，

考虑取定x1的值，分类统计事件“x1≤xx1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)第一类：x1=6时，满足“x1≤x2≤x3”的样本点有1个；

第二类：x1=5时，满足“x1≤x2≤x3”的样本点有2+1=3个；

第三类：x1=4时，满足“x1≤x2≤x3”的样本点有3+2+1=6个；

第四类：x1=3时，满足“x1≤x2≤x3”的样本点有4+3+2+1=10个；

第五类：x1=2时，满足“x1≤x2≤x315.【答案】解：(1)2×2列联表如下表：不达标达标合计男50250300女100200300合计150450600零假设为H0：体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关，

因为χ2=600(50×200−250×100)2300×300×150×450=2009≈22.222>6.635，

所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01；

(2)设事件A=“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件B=“随机抽取一人体能测试合格”，

则P(A)=34，P(B)=14，P(B|A)=45，P(B|A−)=25，

所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A【解析】(1)根据提供的数据补全2×2列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可；

(2)设事件A=“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件B=“随机抽取一人体能测试合格”，利用全概率公式求出P(B)，再结合二项分布的分布列公式和期望公式求解．

16.【答案】解：(1)f(x)为奇函数，证明如下：

因为3−x>03+x>0，

所以−3<x<3，

即f(x)的定义域为(−3,3)，

因为f(−x)=loga(3+x)−loga(3−x)=−f(x)，

所以f(x)为奇函数；

(2)因为f(1)=−1，

所以f(1)=loga2−loga4=loga12=−1，

所以a=2，

所以f(x)=log2(3−x)−log【解析】本题主要考查函数的奇偶性的判断，考查对数型函数的定义域和值域，属于中档题．

(1)先求出函数定义域，再根据函数奇偶性的定义判断；

(2)由f(1)=−1可求出a=2，所以f(x)=log17.【答案】解：(1)记事件A为“两手所取的球不同色”，事件A−表示“两手所取球颜色相同”，

则P(A−)=2×3+3×3+4×39×9=13，

所以P(A)=1−P(A−)=23；

(2)依题意，X的可能取值为0，1，2，

左手所取的两球颜色相同的概率为C22X

0

1

2

P

13

75

【解析】(1)根据给定条件，利用古典概型及对立事件的概率公式即可得解；

(2)求出X的可能取值，再求出各个值对应的概率，求出分布列即可得解．

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为AD//BC，BC⊂平面BCEF，AD⊄平面BCEF，所以AD/​/平面BCEF．

又AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面BCEF=EF，所以AD/​/EF．

(2)取BC中点M，连接DM，如图所示：

因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD．

在四边形ABMD中，AD/​/BM，且AD=BM=3，

所以四边形ABMD为矩形，DM⊥平面PAD．

又在△PDA和△DMC中，PD=DM=6，DA=MC=3，AP=CD．

所以△PDA≅△DMC(SSS)，所以PD⊥AD，所以DA，DM，DP两两垂直．

以D为原点，分别以DA、DM、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，

当E为PA中点时，A(3,0,0)，B(3,6,0)，C(−3,6,0)，P(0,0,6)，E(32,0,3)．

所以AB=(0,6,0)，CB=(6,0,0)，EB=(32,6,−3)．

设平面ABE的法向量为n=(x1,y1,z1)，

则n⊥ABn⊥EB，即(x1,y1,z1)⋅(0,6,0)=0(x1,y1,z1)⋅(32,6,−3)=0，化简得y1=0x1−2z1=0，取n=(2,0,