2024-2025学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(−1,3)，B(1,2)，则AB=(

)A.(−2,−1) B.(−2,1) C.(−1,2) D.(2,−1)2.下列几何体是棱台的是(

)A.B.C.D.3.(1−2iA.−3−4i B.−3+4i C.3−4i D.3+4i4.若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.55.已知正四棱锥S−ABCD的所有棱长均相等，则直线SA与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为(

)A.30° B.45° C.60° D.90°6.2sin40°−3sin10°=A.cos10° B.cos20° C.sin40° D.sin50°7.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，AP=λAB+13AD，当点P在△BCD内部运动时，λ的取值区间为A.76 B.1712 C.328.如图，AD是半径为4的半圆O的直径，点B，C在弧AD上，若AB=BC，则四边形BCDO周长的最大值为(

)A.16

B.17

C.18

D.19二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间中三条不同的直线a，b，c和平面α，且a//b，则下列结论正确的是(

)A.若a//c，则b//c B.若a//α，则b//α

C.若a与c相交，则b与c相交 D.若a与α相交，则b与α相交10.欧拉公式exi=cosx+isinx是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若z=eπA.2z的虚部为1 B.z−=e−π311.将函数f(x)=sin2x+3cos2x的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，若ℎ(x)=f(x)g(x)，φ(x)=A.ℎ(x)与φ(x)的最小正周期相同

B.ℎ(x)与φ(x)的对称中心完全相同

C.f(x)与g(x)在[−π4,π4]上的值域相同

D.f(x)与g(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a在单位向量b上的投影向量为−b，则a⋅b=13.函数f(x)=sin4(x−π1214.已知△ABC中，CA⊥CB，AB=2，若将△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体的内切球半径等于23BC，则该内切球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义运算a⊗b=(x1y2,y116.(本小题15分)

某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]这6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数(四舍五入取整数)；

(2)从所抽取的数学成绩在[110,130)，[130,150]内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在[130,150]内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在[110,130)内的学生数学成绩的平均数与方差．17.(本小题15分)

如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．

(1)证明：BC//平面ADE；

(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧AB的中点时，求直线AE与平面ACD所成角的正切值．18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(cos2C−cos2A)=(a−b)sin2B.

(1)求角C；

(2)若△ABC的边c上的高等于sinC．

(i)当c=2时，求19.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A=AB=BC=2，D为AC的中点，平面A1BD⊥平面ABC．

(1)求证：△A1BC1是直角三角形；

(2)E为B1C1的中点，F为CE与BC1的交点，点M在线段A1B上，DM⊥BD，若MF//平面

答案解析1.【答案】D

【解析】解：B(1,2)，A(−1,3)，则AB=(2,−1)．

故选：D．

根据给定条件，利用坐标表示向量即可．

2.【答案】D

【解析】解：选项A和C都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，所以选项A和C都不满足题意；

选项B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，所以选项B不满足题意．

故选：D．

根据棱台的定义和结构特征，抓住关键两点：棱台由棱锥截成；棱台的上下两个面互相平行．

本题考查棱台的定义和结构特征，考查学生的空间立体感，属于基础题．3.【答案】B

【解析】解：原式=(1+2i)2=1+4i2+4i=1−4+4i=−3+4i．

故选：4.【答案】D

【解析】解：由题意可知，众数是2，

所以极差为4，

又因为5−1=4，

所以只有当1≤x≤5，即x=1，2，3，4，5时均满足题意，共5个．

故选：D．

确定出众数，再由已知数据中最大值与最小值的差是众数的2倍，从而得出x的范围及结论．

本题主要考查了众数和极差的定义，属于基础题．5.【答案】A

【解析】解：如图：

因为四棱锥S−ABCD是正四棱锥，且所有棱长均相等．

所以∠SAB=60°，故C可能成立；

在△SAC中，AC=2SA=2SC，所以∠ASC=90°，∠SAC=45°，所以B、D可能成立；

SA与其余的棱或对角线都不能成30°，故A不可能成立．

故选：A．

6.【答案】A

【解析】解：由题意得2sin40°=2sin(30°+10°)=2(sin30°cos10°+cos30°sin10°)

=2(12cos10°+32sin10°)=cos10°+3sin10°，

所以2sin40°−3sin10°=(cos10°+7.【答案】C

【解析】解：梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD，AP=λAB+13AD，

取AE=13AD，过E作EF/​/AB，交BD于点G，交BC于点F．

设AG=λ1AB+13AD，因为B，G，D三点共线，

所以λ1+13=1⇒λ1=23．

设AF=λ2AB+13AD，因为AC=12AB+AD，

所以CF=AF−AC=(λ2−8.【答案】B

【解析】解：取BC，CD的中点M，N，连接OM，ON，OB，OC，

则OM⊥BC，ON⊥CD，

由于AB=BC，

可得AB=BC，可得∠BOC=∠AOB，

又由于OB=OC，

可得∠OCB=∠OBC，

设∠AOB=θ，0<θ<π2，可得∠BOM=θ2，∠CON=π2−θ，

所以CN=DN=4sin(π2−θ)=4cosθ，CM=BM=4sinθ2，

所以BO+CD+BC+OD

=4+2DN+2BM+4

=8+8sinθ2+8cosθ

=8sinθ2+8(1−2sin2θ2)+8

=−16sin2θ2+8sinθ2+16

=−16(sinθ2−14)9.【答案】AD

【解析】解：对A：因为a/​/b，a/​/c，则b/​/c，所以A选项正确；

对B：若a/​/b，a/​/α，则b/​/α或b⊂α，所以B选项错误；

对C：若a/​/b，a与c相交，则b与c相交或b与c异面，所以C选项错误；

对D：若a/​/b，a与α相交，则b与α相交，所以D选项正确．

故选：AD．

利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．10.【答案】BCD

【解析】解：由z=eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i，所以2z=1+3i，虚部为3，选项A错误；

z11.【答案】ABD

【解析】解：由条件得f(x)=2sin(2x+π3)的图象向左平移π4个单位长度后得到

函数g(x)=f(x+π4)=2cos(2x+π3)的图象，

则ℎ(x)=2sin(4x+2π3)，φ(x)=tan(2x+π3)，

对于A，ℎ(x)的最小正周期为2π4=π2，φ(x)的最小正周期为π2，A正确；

对于B，由4x+2π3=kπ,k∈Z，得ℎ(x)图象对称中心(−π6+kπ4,0)(k∈Z)，

由2x+π3=kπ2,k∈Z，得φ(x)图象对称中心(−π6+kπ4,0)(k∈Z)，B正确；

对于C，当x∈[−π4,π412.【答案】−1

【解析】解：向量a在单位向量b上的投影向量为−b，所以|a|⋅cos〈a,b〉=−|b|=−1，

所以a13.【答案】[7π【解析】解：因为f(x)=sin4(x−π12)−cos2(x−π12)

=[sin2(x−π12)+cos2(x−π12)]⋅[sin2(x−π12)−cos2(x−π12)]14.【答案】64π45【解析】解：如图：

作旋转体的轴截面，为如图筝形，设筝形的内切圆半径为r，BC=a，AC=b，

因为△ABC中，CA⊥CB，AB=2，

则ra=OA2，所以OA=2ra；又rb=OB2，所以OB=2rb，

因为AB=2，所以2ra+2rb=2，所以ra+rb=1，

又r=2a315.【答案】t=−1；

−35【解析】(1)因为m=(1,t)，n=(−2,2)，

所以m⊗n=(2,−2t)，n⊗m=(−2t,2)，

因为m⊗n=n⊗m，所以−2t=2，解得t=−1；

(2)向量m=(1,t)，n=(−2,2)，由题意得4m−n=(6,4t−2)，

又(4m−n)⊥n，所以−12+8t−4=0，解得t=2，

此时m=(1,2)，m⊗n=(2,−4)，

设m16.【答案】a=0.0025，中位数为99分，

平均数为124分，方差为36．

【解析】(1)由题意可得(a+2a+4a+0.0175+0.0125+a)×20=1，解得a=0.0025；

由(a+2a+4a)×20=7×0.0025×20=0.35<0.5，

0.35+0.0175×20=0.7>0.5，

所以这400名学生数学成绩的中位数m∈[90,110)，

由0.35+(m−90)×0.0175=0.5，解得m≈99，

所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分．

(2)依题意，a0.0125=0.00250.0125=1n−1，解得n=6，

设这6名学生的数学成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5，136，

由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，

得x1+x2+x3+x4+x5+1366=126，

整理得x1+x2+x3+x4+x5=620，

所以数学成绩在[110,130)内的这5名学生的平均数为：

x1+x2+17.【答案】证明见解析；

63【解析】(1)证明：因为CD，BE是圆柱的两条母线，

所以CD//BE，且CD=BE，所以四边形BCDE为平行四边形，

所以BC/​/DE，

又BC⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，

所以BC/​/平面ADE．

(2)因为AB是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点，

所以BC⊥AC，

又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ACB，

而BC⊂底面ACB，所以CD⊥BC．

因为CD⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，且CD∩AC=C，

所以BC⊥平面ACD．

又由(1)知BC/​/DE，所以DE⊥平面ACD，

所以∠EAD为直线AE与平面ACD所成的角．

设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，

因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，

所以2πrl=2πr2，得l=r，即CD=r，

又C为弧AB的中点，所以AC=BC=DE=2r，

所以在Rt△ACD中，AD=AC2+CD2=3r，

在Rt△ADE中，tan∠EAD=DEAD=63，

所以直线AE与平面18.【答案】C=π3；

(i)−18【解析】(1)由b(cos2C−cos2A)=(a−b)sin2B得b(sin2A−sin2C)=(a−b)sin2B，

在△ABC中，由正弦定理得b(a2−c2)=(a−b)b2，

即a2−c2=(a−b)b=ab−b2，∴cosC=a2+b2−c22ab=12，

∵0<C<π，∴C=π3；

(2)(i)由(1)知C=π3，∵△ABC的边c上的高等于sinC，且c=2，

∴△ABC的面积S=12csinC=12absinC，∴c=ab=2，

∵在△ABC中，asinA⋅bsinB=c2sin2C，即2sinAsinB=434=163，

∴sinAsinB=319.【答案】证明见解析；

(i)32(ii)【解析】(1)证明：因为AB=BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，

因为平面A1BD⊥平面ABC，平面A1BD∩平面ABC=BD，AC⊂平面ABC，

所以AC⊥平面A1BD，

因为三棱柱ABC−A1B1C1中，AC/​/A1C1，

所以A1C1⊥平面A1BD，

又A1B⊂平面A1BD，所以A1C1⊥A1B，

即△A1BC1是直角三角形．

(2)(i)如图，由MF/​/平面ABC，得MF/​/平面