2021-2025全国高考数学真题汇编 专题16 圆锥曲线(选填题)16种常见考法归类

专题16圆锥曲线（选填题）16种常见考法归类知识五年考情（2021-2025）命题趋势知识1椭圆及其性质（5年4考）考点01求椭圆的标准方程2024·新课标Ⅱ卷2022·全国甲卷1.双曲线：离心率与渐近线成“绝对重点”双曲线在5年中保持“5考”的高频出现，其中离心率（2025年全国一卷、二卷、北京卷、天津卷，2024年新课标Ⅰ卷等多卷次考查）和渐近线（2024年天津卷、2023年全国甲卷等）是核心。二者常结合双曲线的基本量关系，通过几何图形（如焦点到渐近线的距离、渐近线与坐标轴夹角等）或方程条件（如渐近线方程、顶点坐标等）求解2.抛物线定义与焦点相关性质是“主旋律”抛物线同样5年5考，定义的应用和焦点弦性质是高频考点。选填题中侧重利用定义简化计算（如求距离最值、判断点的轨迹），或结合焦点弦的几何特征（如斜率、中点坐标）快速求解，淡化复杂代数运算。椭圆：基础性质与几何关系并重3.椭圆5年4考，离心率和焦点三角形是重点。离心率求解常与椭圆定义、焦点三角形的边角关系（如余弦定理、正弦定理）结合；焦点三角形则侧重考查周长、面积（结合正弦定理或向量）等几何性质，强调数形结合。考点02椭圆的焦点三角形2023·全国甲卷2021·新高考全国Ⅰ卷2021·全国甲卷考点03椭圆的离心率问题2023·新课标Ⅰ卷2022·全国甲卷2021·全国乙卷2021·浙江考点04直线与椭圆的位置关系2023·新课标Ⅱ卷2022·新高考全国Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅱ卷考点05椭圆的最值问题2021·全国乙卷知识2双曲线及其性质（5年5考）考点06求双曲线的标准方程2024·天津2023·天津2023·北京2022·天津2021·北京2021·浙江考点07双曲线的基本量的计算2022·上海2021·全国乙卷考点08双曲线的离心率2025·全国一卷2025·全国二卷2025·北京2025·天津2024·新课标Ⅰ卷2024·全国甲卷2023·新课标Ⅰ卷2022·全国乙卷2022·浙江2021·全国甲卷2021·天津考点09双曲线的渐近线2024·天津2023·全国甲卷2022·北京2022·全国甲卷2021·全国甲卷2021·全国乙卷考点10直线与双曲线的位置关系2024·北京2023·全国乙卷2022·全国甲卷知识3抛物线及其性质（5年5考）考点11抛物线定义的应用2025·全国二卷2024·上海2023·北京2022·全国乙卷2021·北京考点12根据抛物线方程求焦点或准线2025·北京2024·北京2024·天津2023·全国乙卷2021·新高考全国Ⅱ卷2021·新高考全国Ⅰ卷考点13与抛物线焦点弦有关的几何性质2025·全国一卷2023·新课标Ⅱ卷2022·新高考全国Ⅱ卷考点14直线与抛物线的位置关系2023·天津2022·新高考全国Ⅰ卷知识4圆锥曲线综合（5年2考）考点15新型曲线2024·新课标Ⅰ卷考点16圆锥曲线新定义2023·上海考点01求椭圆的标准方程1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．考点02椭圆的焦点三角形3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．54．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．5．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．66．（2021·全国甲卷·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．考点03椭圆的离心率问题7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．8．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．9．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.考点04直线与椭圆的位置关系11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．考点05椭圆的最值问题14．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2考点06求双曲线的标准方程15．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．16．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．17．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．18．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．19．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（

）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线20．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．考点07双曲线的基本量的计算21．（2022·上海·高考真题）双曲线的实轴长为．22．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为．考点08双曲线的离心率23．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．24．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．25．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．26．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．27．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．328．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．30．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（

）A．2 B．5 C． D．31．【多选】（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（

）A． B．C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为32．【多选】（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．33．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是．考点09双曲线的渐近线34．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则．35．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为．36．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．37．（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．38．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．39．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为．考点10直线与双曲线的位置关系40．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为．41．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．42．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．考点11抛物线定义的应用43．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．444．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（

）A．3 B．4 C．5 D．645．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．46．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为；的面积为．47．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为．考点12根据抛物线方程求焦点或准线48．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为．49．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．450．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则．51．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.52．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为．53．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.考点13与抛物线焦点弦有关的几何性质54．【多选】（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（

）A． B．C． D．55．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．56．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形考点14直线与抛物线的位置关系57．【多选】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．58．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则．考点15新型曲线59．【多选】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（

）A． B．点在C上C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，考点16圆锥曲线新定义60．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（

）①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题

专题16圆锥曲线（选填题）16种常见考法归类知识五年考情（2021-2025）命题趋势知识1椭圆及其性质（5年4考）考点01求椭圆的标准方程2024·新课标Ⅱ卷2022·全国甲卷1.双曲线：离心率与渐近线成“绝对重点”双曲线在5年中保持“5考”的高频出现，其中离心率（2025年全国一卷、二卷、北京卷、天津卷，2024年新课标Ⅰ卷等多卷次考查）和渐近线（2024年天津卷、2023年全国甲卷等）是核心。二者常结合双曲线的基本量关系，通过几何图形（如焦点到渐近线的距离、渐近线与坐标轴夹角等）或方程条件（如渐近线方程、顶点坐标等）求解2.抛物线定义与焦点相关性质是“主旋律”抛物线同样5年5考，定义的应用和焦点弦性质是高频考点。选填题中侧重利用定义简化计算（如求距离最值、判断点的轨迹），或结合焦点弦的几何特征（如斜率、中点坐标）快速求解，淡化复杂代数运算。椭圆：基础性质与几何关系并重3.椭圆5年4考，离心率和焦点三角形是重点。离心率求解常与椭圆定义、焦点三角形的边角关系（如余弦定理、正弦定理）结合；焦点三角形则侧重考查周长、面积（结合正弦定理或向量）等几何性质，强调数形结合。考点02椭圆的焦点三角形2023·全国甲卷2021·新高考全国Ⅰ卷2021·全国甲卷考点03椭圆的离心率问题2023·新课标Ⅰ卷2022·全国甲卷2021·全国乙卷2021·浙江考点04直线与椭圆的位置关系2023·新课标Ⅱ卷2022·新高考全国Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅱ卷考点05椭圆的最值问题2021·全国乙卷知识2双曲线及其性质（5年5考）考点06求双曲线的标准方程2024·天津2023·天津2023·北京2022·天津2021·北京2021·浙江考点07双曲线的基本量的计算2022·上海2021·全国乙卷考点08双曲线的离心率2025·全国一卷2025·全国二卷2025·北京2025·天津2024·新课标Ⅰ卷2024·全国甲卷2023·新课标Ⅰ卷2022·全国乙卷2022·浙江2021·全国甲卷2021·天津考点09双曲线的渐近线2024·天津2023·全国甲卷2022·北京2022·全国甲卷2021·全国甲卷2021·全国乙卷考点10直线与双曲线的位置关系2024·北京2023·全国乙卷2022·全国甲卷知识3抛物线及其性质（5年5考）考点11抛物线定义的应用2025·全国二卷2024·上海2023·北京2022·全国乙卷2021·北京考点12根据抛物线方程求焦点或准线2025·北京2024·北京2024·天津2023·全国乙卷2021·新高考全国Ⅱ卷2021·新高考全国Ⅰ卷考点13与抛物线焦点弦有关的几何性质2025·全国一卷2023·新课标Ⅱ卷2022·新高考全国Ⅱ卷考点14直线与抛物线的位置关系2023·天津2022·新高考全国Ⅰ卷知识4圆锥曲线综合（5年2考）考点15新型曲线2024·新课标Ⅰ卷考点16圆锥曲线新定义2023·上海考点01求椭圆的标准方程1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选：A2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.考点02椭圆的焦点三角形3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.4．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．5．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．【点睛】6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．【答案】【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于.故答案为：.考点03椭圆的离心率问题7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A8．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.9．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．10．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.【答案】【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设，设切点为，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案为：；．考点04直线与椭圆的位置关系11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.考点05椭圆的最值问题14．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点，因为，，所以，而，所以当时，的最大值为．故选：A．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．考点06求双曲线的标准方程15．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B16．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，由，求得，因为，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.故选：A17．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D18．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：D.19．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（

）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【答案】C【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.20．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．【答案】【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：考点07双曲线的基本量的计算21．（2022·上海·高考真题）双曲线的实轴长为．【答案】6【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案.【详解】由知，，所以，所以实轴长.故答案为：6【点睛】本题考查了由双曲线的标准方程以及几何性质，属于基础题.22．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为．【答案】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：考点08双曲线的离心率23．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率．【详解】由得，，所以，即，所以，故选：B．24．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，，于是，则，即.故选：D25．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.26．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.【详解】由题意，设、、，则，，，则，则.故选：C.27．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.28．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．【答案】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案为：29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．【答案】/【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.30．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（

）A．2 B．5 C． D．【答案】A【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则，由双曲线的定义及已知条件可知，则，由勾股定理可知，易知，即，整理得，∴，即离心率为2.故选：31．【多选】（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（

）A． B．C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为【答案】ACD【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确；对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，设，则，故，故，由A得，故即，故B错误；方法二：因为，因为双曲线中，，则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，方法三：在利用余弦定理知，，即，则，则为直角三角形，且，则，故B错误；对于C，方法一：因为，故，由B可知，故即，故离心率，故C正确；方法二：因为，则，则，故C正确；对于D，当时，由C可知，故，故，故四边形为，故D正确，故选：ACD.32．【多选】（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.33．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是．【答案】【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．考点09双曲线的渐近线34．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则．【答案】【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为：35．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.36．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的渐近线为，当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D37．（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.38．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．【答案】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．39．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为．【答案】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.【详解】令，即，由题可得，当时，，有，则，不符合要求，舍去；当时，则，即函数与函数有唯一交点，由，可得或，当时，则，则，即，整理得，当时，即，即，当，或（正值舍去），当时，或，有两解，舍去，即当时，在时有唯一解，则当时，在时需无解，当，且时，由函数关于对称，令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增，令，即，故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，由的渐近线方程为，即部分的渐近线方程为，其斜率为，又，即在时的斜率，令，可得或（舍去），且函数在上单调递增，故有，解得，故符合要求；当时，则，即函数与函数有唯一交点，由，可得或，当时，则，则，即，整理得，当时，即，即，当，（负值舍去）或，当时，或，有两解，舍去，即当时，在时有唯一解，则当时，在时需无解，当，且时，由函数关于对称，令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增，同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，部分的渐近线方程为，其斜率为，又，即在时的斜率，令，可得或（舍去），且函数在上单调递减，故有，解得，故符合要求；综上所述，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.考点10直线与双曲线的位置关系40．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为．【答案】（或，答案不唯一）【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立，化简并整理得：，由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意.故答案为：（或，答案不唯一）.41．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．【答案】2（满足皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）42．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.考点11抛物线定义的应用43．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.故选：D.44．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.【详解】对，令，则，所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得.所以.故选：C45．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B46．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为；的面积为．【答案】5【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5；.47．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为．【答案】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．考点12根据抛物线方程求焦点或准线48．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为．【答案】【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.49．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.50．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则．【答案】【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，故答案为：.51．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.【答案】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.52．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为．【答案】/【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.【详解】圆的圆心为，故即，由可得，故或（舍），故，故直线即，故原点到直线的距离为，故答案为：53．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.【答案】【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛物线：()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为故答案为：.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.考点13与抛物线焦点弦有关的几何性质54．【多选】（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.【详解】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则，故D正确.故选：ACD.法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去