(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第15讲两角和与差的余弦(2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析)

第04讲两角和与差的余弦课程标准学习目标1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系。3.能运用上述公式进行简单的恒等变换。1.通过单位圆及向量的数量积，证明两角差的余弦公式并熟记；2.通过诱导公式的应用，推导两角和的余弦公式并熟记；3.通过公式的推导记忆，能够熟练运用公式解决三角函数求值问题。知识点01两角差的余弦公式1、公式与简记：，简记为；2、公式理解：（1）公式中的，是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合；（2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。如：，时，.（3）要掌握公式的逆用：如【即学即练1】（24-25高一下·全国·课堂例题）知识点02两角和的余弦公式1、公式与简记：，简记为；2、公式理解记忆：（1）两角和的余弦公式中，也是任意角；（2）理顺公式间的联系：；（3）注意公式的结构特征和符号规律：对公式，，用口诀“余余正正号相反”记忆公式。【即学即练2】（24-25高一·河北衡水·期中）若为锐角，且，则．题型01逆用公式化简求值【典例1】（24-25高一上·天津南开·期末）的值为(

)A． B． C． D．【变式1】（23-24高一下·山东东营·期末）（

）A．1 B． C． D．【变式2】（2024·山东·一模）计算：等于（

）A． B． C． D．【变式3】（2025高二·云南·学业考试）（

）A． B．C． D．【变式4】（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）（

）A． B．0 C． D．【变式5】（24-25高一上·全国·课后作业）（

）A． B． C． D．题型02求非特殊角的余弦值【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）cos235°的值是（

）A． B．C． D．【变式1】（2025高三·全国·专题练习）计算（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）求值：.【变式3】（24-25高一下·上海·课后作业）求值：．题型03给值求值【典例3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，，（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）在中，若，，则等于（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一下·河北·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【变式3】已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式4】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【变式5】（24-25高一上·上海·随堂练习），，，，则.题型04给值求角【典例4】（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高三上·河北·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）中，，且，则（

）A． B． C． D．【变式4】（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．【变式5】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，，则；题型05余弦公式的灵活运用【典例5】（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（

）A．－2 B． C． D．2【变式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（

）A． B． C． D．【变式4】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则.一、单选题1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）（

）A．1 B． C． D．-12．（24-25高三上·贵州黔南·期末）已知是以轴的非负半轴为始边的角，终边与以坐标原点为圆心的单位圆分别交于一点，则（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西西安·一模）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．或5．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．6．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知，，则（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高一·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（

）A．存在，的值，使B．不存在无穷多个，的值，使C．对于任意的，，都有D．不存在，的值，使10．（24-25高一·全国·课后作业）若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是（

）A． B． C． D．11．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，，，，则下列说法错误的是A． B．C． D．三、填空题12．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，是第三象限角，则的值是．13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，则.14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，角为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则．第04讲两角和与差的余弦课程标准学习目标1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系。3.能运用上述公式进行简单的恒等变换。1.通过单位圆及向量的数量积，证明两角差的余弦公式并熟记；2.通过诱导公式的应用，推导两角和的余弦公式并熟记；3.通过公式的推导记忆，能够熟练运用公式解决三角函数求值问题。知识点01两角差的余弦公式1、公式与简记：，简记为；2、公式理解：（1）公式中的，是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合；（2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。如：，时，.（3）要掌握公式的逆用：如【即学即练1】（24-25高一下·全国·课堂例题）【答案】【分析】可以写成，再根据两角差的余弦公式计算即可.【详解】．知识点02两角和的余弦公式1、公式与简记：，简记为；2、公式理解记忆：（1）两角和的余弦公式中，也是任意角；（2）理顺公式间的联系：；（3）注意公式的结构特征和符号规律：对公式，，用口诀“余余正正号相反”记忆公式。【即学即练2】（24-25高一·河北衡水·期中）若为锐角，且，则．【答案】【分析】根据两角和的余弦公式，即可求解.【详解】为锐角，且，，，.故答案为：题型01逆用公式化简求值【典例1】（24-25高一上·天津南开·期末）的值为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可.【详解】..【变式1】（23-24高一下·山东东营·期末）（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】直接利用两角和余弦公式化简计算即可.【详解】.【变式2】（2024·山东·一模）计算：等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两角和余弦公式即可得到答案.【详解】..【变式3】（2025高二·云南·学业考试）（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用逆用余弦差角公式得到答案.【详解】.【变式4】（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案.【详解】.【变式5】（24-25高一上·全国·课后作业）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解.【详解】．题型02求非特殊角的余弦值【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）cos235°的值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式化简可得，然后根据两角和的余弦公式，即可得出答案.【详解】因为..【变式1】（2025高三·全国·专题练习）计算（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角和的余弦公式求解.【详解】.【变式2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）求值：.【答案】0【分析】由，得，然后利用两角和与差的余弦公式化简计算即可【详解】解：，故答案为：0【变式3】（24-25高一下·上海·课后作业）求值：．【答案】【分析】将非特殊角转化为特殊角与的和，然后由两角和的余弦公式即可求解.【详解】解：.故答案为：.题型03给值求值【典例3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出，再利用和角的余弦公式进行求解.【详解】因为，所以，又，所以，所以，故A，C，D错误..【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）在中，若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用余弦和角公式展开，代入即可.【详解】因为在中，，，则，.【变式2】（23-24高一下·河北·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出和的值，利用，即可求出的值．【详解】，，.【变式3】已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数关系及角的范围可得和，再由可得解.【详解】为锐角，且，.为第三象限角，且，，.故选A.【变式4】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，计算出，再由展开公式即可.【详解】因为，，所以，，所以，.【变式5】（24-25高一上·上海·随堂练习），，，，则.【答案】【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再利用两角差的余弦公式进行求解.【详解】.故答案为：.题型04给值求角【典例4】（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得.【详解】因则.又，则，可得.又则由，可得由.因则..【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值.【详解】∵为锐角，，∴，∴．又，∴.．【变式2】（24-25高三上·河北·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解.【详解】由，得，所以，又，所以，所以，又，所以，所以..【变式3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）中，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知及差角余弦公式、三角形内角的性质得，结合已知即可得答案.【详解】由题设，则，又为三角形的内角，则，而，所以.【变式4】（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式化简，再结合诱导公式及余弦函数单调性求解.【详解】由，得，因此，由，得，又余弦函数在上递减，则，所以.【变式5】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，，则；【答案】【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，再根据的范围确定其具体值.【详解】因，所以，又，所以.所以，同时也能确定.因为，，，所以，所以因为，，所以.在这个区间内，时，.故答案为：.题型05余弦公式的灵活运用【典例5】（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（

）A．－2 B． C． D．2【答案】B【分析】根据题意切化弦结合三角恒等变换可得，结合运算求解即可.【详解】由，即，可得，则，可得，因为，即，可得，又因为，即，所以．．【变式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设可得、，再由余弦差角公式即可得结果.【详解】由，即，由，即，而，则，所以，可得.【变式2】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角恒等变换得，进一步即可求解.【详解】，解得，所以..【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解.【详解】由，，得，，∴，即，∴，解得.又，，，∴，∴，∴，∴，∴..【变式4】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则.【答案】【分析】根据题意，化简得到即，由，得到，结合，即可求得的值.【详解】由，可得，两式平方相减，可得：，即，又由，可得，所以，所以因为，且，所以.故答案为：.一、单选题1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）（

）A．1 B． C． D．-1【答案】A【分析】根据两角差的余弦公式计算可得.【详解】.2．（24-25高三上·贵州黔南·期末）已知是以轴的非负半轴为始边的角，终边与以坐标原点为圆心的单位圆分别交于一点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，再求，结合数量积坐标运算公式及两角差余弦公式可得结论.【详解】由已知可得，所以，，所以，．3．（2024·陕西西安·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可.【详解】因为则为.联立求解得，所以.故选:B.4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】由两角差的余弦公式求解即可；【详解】因为，所以，所以或．5．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角和的余弦与切化弦可求得，进而利用两角差的余弦公式可求值.【详解】因为，，所以，解得，因此..6．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数关系得，再根据两角差的余弦公式即可得到答案.【详解】∵，，所以，则，．7．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，，由两角差的余弦公式展开可得，根据同角三角函数的基本关系可得和的值，代入即可求解.【详解】解：，都是锐角，，，，，..8．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果.【详解】由，可得，又，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以.二、多选题9．（24-25高一·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（

）A．存在，的值，使B．不存在无穷多个，的值，使C．对于任意的，，都有D．不存在，的值，使【答案】BD【分析】根据两角和的余弦公式，结合特值法判断即可.【详解】令，则，，此时，故A错误；令，，，此时，故B错误；由两角和的余弦公式可知，对于任意的和，，故C错误；不存在，的值，使，若存在和，则与两角和的余弦公式矛盾，故D错误.D.10．（24-25高一·全国·课