2024-2025学年云南省玉溪三中实验班高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省玉溪三中实验班高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数3+ai1+i(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(

)A.−3 B.−32 C.322.已知平面向量a,b满足|a|=|b|=2.若(A.30° B.45° C.135° D.150°3.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，函数F(x)=f(x−1)+1，则F(12000)+F(A.2000 B.1999 C.4000 D.39994.已知圆锥的底面半径为1，体积为π，则它的侧面积为(

)A.2π B.3π C.10π 5.某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长(单位：分钟)情况，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图(分为[0,40)，[40,80)，[80,120)，[120,160)，[160,200)，[200,240)，[240,280]共七组)，则估计这些观众观看时长的35%分位数为(

)A.136 B.135 C.116 D.1256.如图，海中有一座小岛P，一艘游轮自东向西航行，在点A处测得该岛在其南偏西75°方向，游轮航行16海里后到达点B处，测得该岛在其南偏西45°方向.若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距离为(

)A.(83−8)海里 B.C.(83+8)海里 7.如图，正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为5，点M，N分别为线段E1EA.37532

B.37532或7558.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，AP=λAB+μAC，则A.0 B.3 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z1，z2是复数，则下列说法正确的是(

)A.若z1⋅z2=0，则z1=0或z2=0 B.若z1310.以下选项正确的是(

)A.i=1n(xi−x−)=0

B.事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B一定互斥

C.事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B一定互斥

D.“掷11.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(

)A.PB⊥AC

B.PC⊥BC

C.平面ABC⊥平面PAC

D.平面PBC⊥平面PAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，b=(cosθ,sinθ)，且a//b，则13.从存放号码分别为1，2，3，⋯，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数15105769189129取到号码为奇数的频率为______．14.等腰梯形ABCD中，A=π6，|AB|=4，|CD|=1，底边AB的中点为O，动点P，Q分别在腰BC，AD(包含端点)上，且<OP，OQ>=2π3.若(OC+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，四边形ABCD中，已知AB=6，BC=2，BC⋅BA=−6．

(1)若AC中点为M，求BM的长；

(2)若∠BCD=120°，设∠BDC=θ，

①用θ表示BD，并写出θ的取值范围；②若∠ADB=60°，求16.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2，E为PD的中点．

(1)证明：CE//平面PAB；

(2)求直线CE与平面PAB间的距离．17.(本小题15分)

我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x(单位：t)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)若该市政府希望使90%的居民每月的用水量不超过标准xt，估计x的值，并说明理由．

(3)在100位居民中，第2组有n位居民，若这n位居民月均用水量的平均数为0.75t，方差为s2，若其中一位居民的用水量为0.75t，请判断其它(n−1)位居民月均用水量的方差s12与s218.(本小题17分)

如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，四边形ABB1A1是菱形，D为AB的中点，A1D⊥平面ABC，BB1=2BC=2．

(1)求证：四边形CBB1C1为矩形；

(2)在A1C1上是否存在点Q19.(本小题17分)

如图，AB是圆O的直径，AD垂直于圆O所在的平面，AB=23，AD=2，点C是圆O上不同于A，B的任意一点，E为BD的中点．

(1)证明：BC⊥平面ACD；

(2)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求二面角O−CE−B的余弦值；

(3)若点P为圆O(含圆周)内任意一点，它到点A的距离与到直线BD的距离相等，求三棱锥P−ABD体积的取值范围．参考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.B

6.A

7.D

8.D

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.−313.0.56

14.[1215.(1)∵AB=6，BC=2，BA⋅BC=−6，

由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos∠ABC=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC=62+22+2×6=52，

∴AC=52=213，

∴BM2=2(AB2+BC216.解：(1)证明：若M为PA的中点，连接EM，BM，E为PD的中点，

则EM//AD且EM=12AD，

由BC//AD，AD=2CB，则EM//BC且EM=BC，

故BCEM为平行四边形，

所以CE//BM，CE⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，

故CE//平面PAB；

(2)由(1)知直线CE与平面PAB间的距离，即为点E与平面PAB间的距离d，

由BC//AD，CD⊥AD，AD=2DC=2CB=2，取AD的中点N，连接BN，PN，

所以四边形BCDN为矩形，BN=CD=1，

由△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PN⊥AD，PN=12AD=1，

由BN⊥AD，BN∩PN=N且都在平面PBN内，

则AD⊥平面PBN，

由BC//AD，则BC⊥平面PBN，BC⊂平面ABCD，

则平面PBN⊥平面ABCD，

以B为原点构建空间直角坐标系B−xyz，

则B(0,0,0)，A(−1,1,0)，D(1,1,0)，

由BC⊥平面PBN，PB⊂平面PBN，则BC⊥PB，

在Rt△PBC中PC=2，BC=1，则PB=PC2−BC2=3，

由BN=PN=1，所以cos∠PNB=1+1−32×1×1=−12，可得∠PNB=120°，

所以P(0,32,32)，E(12,54,34)，则17.(1)0.5×(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)=1，解得a=0.30；

(2)估计x≈3.17，理由如下：

根据题意可知，0.5×(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)=0.88<0.9，

0.5×(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30+0.12)=0.94>0.9，

故x落在第7组，0.88+0.12(x−3)=0.9，解得x≈3.17，

故该市政府希望使90%的居民每月的用水量不超过标准3.17t；

(3)s12>s2，理由如下：

根据题意可知，在100位居民中，第2组有n位居民，100×0.16×0.5=8人，即n=8，

其中一位居民的用水量为0.75t，设其它7位居民用水量分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，

故s18.(1)证明：斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面CBB1C1是平行四边形，

因为A1D⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，因此A1D⊥BC，

因为AB⊥BC，A1D∩AB=D，因此BC⊥平面ABB1A1，

又因为BB1⊂平面ABB1A1，因此BC⊥BB1，因此四边形CBB1C1为矩形．

(2)如图，过点B作CD的垂线交AC于点P，

因为A1D⊥平面ABC，BP⊂平面ABC，因此A1D⊥BP，

又因为DC⊥BP，A1D∩DC=D，A1D，DC⊂A1DC，因此BP⊥平面A1DC，

过点B1作BP的平行线交A1C1于点Q，连接B1Q，因此B1Q⊥平面A1DC，

由斜三棱柱的性质易知A1QQC1=APPC，

在平面ABC中以B为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，

因此B(0,0)，C(1,0)，D(0,−1)，A(0,−2)，AC=(1,2)，

设AP=λAC，则P(λ,2λ−2)，因此BP=(λ,2λ−2)，CD=(−1,−1)，

因为BP⊥CD，因此BP⋅CD=0，

即−λ+2−2λ=0，解得λ=23，

在A1C1上是存在点Q，当A1QQC1=APPC=21时，B1Q⊥平面A1DC．

(3)延长EF，CC1交于点M，连接MB1交BC于点N，连接B1N，FN，

则四边形B1EFN即为所得截面，

因为四边形ABB1A1是菱形，D为AB的中点，A1D⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

因此A1D⊥AB，△ABA1是等边三角形，则A1B=AB=AA1=2，

因为BC=1，因此A1C1=AC=5，

过A1作A1P⊥BB1交BB1于P，

19.(1)证明：因为AD⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，

所以AD⊥BC，

因为点C在以AB为直径的圆上，所以AC⊥BC，

又因为AC∩AD=A，AD⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，

所以BC⊥平面ACD． 

(2)因为AD⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以AD⊥AB，

因为AD=2,AB=23，所以BD=AD2+AB2=22+(23)2=4，

因为BC⊥平面ACD，

则∠BDC为直线BC与平面ACD所成的角，即∠BDC=30°，

所以BC=2，因为E为BD中点，所以CE=BE=2，

所以三角形BCE为等边三角形，取CE中点为F，连结BF，则BF⊥CE，

过F作FG⊥CE交OC于点G，

则∠BFG为O−CE−B的平面角．

在直角三角形OCE中，CF=1,FG=33,CG=233，

在三角形OBC中，

由余弦定理得cos∠OCB=OC2+CB2−OB2